1、专题40 概率中的单调性与最值问题一、题型选讲题型一 、概率中的单调性问题例1、【2019年高考浙江卷】设0a1，则随机变量X的分布列是则当a在（0，1）内增大时，A增大B减小C先增大后减小D先减小后增大【答案】D【解析】方法1：由分布列得，则，则当在内增大时，先减小后增大故选D方法2：则，则当在内增大时，先减小后增大故选D例2、【2018年高考浙江卷】设，随机变量的分布列是012P则当p在（0，1）内增大时，AD（）减小BD（）增大CD（）先减小后增大DD（）先增大后减小【答案】D【解析】E()=01-p2+112+2p2=p+12，D()=1-p2(0-p-12)2+12(1-p-12)2
2、+p2(2-p-12)2=-p2+p+14，12(0，1)，D()先增大后减小，故选D例3、【2020年高考山东】（多选题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.A若n=1，则H(X)=0B若n=2，则H(X)随着的增大而增大C若，则H(X)随着n的增大而增大D若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)H(Y)【答案】AC【解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，若，则，所以，当时，当时，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若，则，则随着的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）
3、.由于，所以，所以，所以，所以，所以D选项错误.故选：AC题型二、概率中的最值问题例4、（2020浙江温州中学高三3月月考）随机变量的可能值有1，2，3，且，则的最大值为（ ）ABCD1【答案】D【解析】随机变量的可能值有1，2，3，且，可得：，由，可得所以，当时，的最大值为1故选：D例5、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）随机变量的分布列如下：-101其中，成等差数列，则的最大值为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，成等差数列，.则的最大值为例6、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知，两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A盒中有个红球与个白球，盒中
4、有个红球与个白球（），若从，盒中各取一个球，表示所取的2个球中红球的个数，则当取到最大值时，的值为（ ）A3B5C7D9【答案】B【解析】可能值为，分布列为，当且仅当时，等号成立.故选:B.例7、（2020浙江省温州市新力量联盟高三上期末）随机变量的分布列如下：123其中，成等差数列，则的最大值为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为，成等差数列，则，当时取等号则的最大值为.故选：D.例8、（2020届山东省日照市高三上期末联考）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产万件的该种产品所需要的总成本（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸
5、，尺寸分别在，（单位：）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.产品的品质情况和相应的价格（元/件）与年产量之间的函数关系如下表所示.产品品质立品尺寸的范围价格与产量的函数关系式优中差以频率作为概率解决如下问题：（1）求实数的值；（2）当产量确定时，设不同品质的产品价格为随机变量，求随机变量的分布列；（3）估计当年产量为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.【答案】（1）；（2）见解析（3）年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.【解析】（1）由题意得，解得；（2）当产品品质为优时频率为，此时价格为；当产品品质为中时频率为，此时价格为；当产品品质为差时频率为，此时价格为；以频率
6、作为概率，可得随机变量的分布列为：0.50.20.3（3）设公司年利润为，则整理得，显然当时，时，当年产量时，取得最大值.估计当年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.二、达标训练1、【2018年高考全国卷理数】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，则A0.7B0.6C0.4D0.3【答案】B【解析】，或，可知，故故选B2、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）设，随机变量的分布列如下表所示123已知，则当在内增大时，的变化情况（ ）A先增大再减小B先减小再增大C增大D减小【答案】D【解析】由分布列
7、的性质可得.，.当在内增大时，减小故选：.3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知，随机变量，的分布列如表所示，则（ ）A，B，C，D，【答案】B【解析】，由，所以，故选：B.4、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）已知随机变量满足P (=0) =x，P(=1) =1-x，若则（ ）AE()随着x的增大而增大，D ()随着x的增大而增大BE()随着x的增大而减小，D()随着x的增大而增大CE()随着x的增大而减小，D()随着x的增大而减小DE()随着x的增大而增大，D()随着x的增大而减小【答案】B【解析】依题意，在区间上是减函数.，注意到函数的开口向下，对称轴为，所以在区间上是增
8、函数，也即在区间上是增函数.故选：B5、（2020浙江学军中学高三3月月考）已知a，b为实数，随机变量X，Y的分布列如下：X-101Y-101PPabc若，随机变量满足，其中随机变量相互独立，则取值范围的是（ ）ABCD【答案】B【解析】由已知，所以，即，又，故，所以，又随机变量的可能取值为-1，0，1，则，列出随机变量的分布列如下：-101P所以.故选：B.6、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）设，相互独立的两个随机变量，的分布列如下表：-11-11则当在内增大时（ ）A减小，增大B减小，减小C增大，增大D增大，减小【答案】D【解析】，当在内增大时，增大，减小，故选：D7、（2020浙江温州中学3月高考模拟）已知随机变量X的分布列如下表：X01Pabc其中a，b，.若X的方差对所有都成立，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由X的分布列可得X的期望为,又,所以X的方差,因为,所以当且仅当时,取最大值,又对所有成立,所以,解得,故选:D.8、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设，随机变量的分布列是：01则当在内增大时（ ）A增大B减小C先增大后减小D先减小后增大【答案】A【解析】根据随机变量的分布列，则由于函数的图象为关于的开口方向向下的抛物线，且，函数的对称轴为，故增大.故选：A.
