1、专题34 多元问题的处理一、题型选讲题型一、消元法多元最值问题是最典型的代数问题，代数问题要注重结构的观察和变形，变形恰当后，直接可以构造几何意义也可以使问题明朗化，具体归纳如下：多元最值首选消元：三元问题二元问题一元问题例1、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】先作图象，由图象可得因此为，从而，选A.例2、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知a，b，c均为正数，且abc4(ab)，则abc的最小值为_【答案】 8【解析】由a，b，c均为正数，abc4(ab)，得c，代入得abcab228，当且
2、仅当ab2时，等号成立，所以abc的最小值为8.例3、(2019苏州三市、苏北四市二调） 已知关于x的不等式ax2bxc0(a，b，cR)的解集为x|3x4，则的最小值为_【答案】. 4【解析】 先根据一元二次不等式的解集，确定a0，以及a，b，c的关系，再将所求运用消元法，统一成单变量a的函数问题，运用基本不等式求最值依题意得a19sinBsinC对任意ABC都成立，则实数k的最小值为_【答案】 100【解析】本题首先用正弦定理将三角函数转化为边，然后再利用三角形中的边的不等关系，消元后转化为二元问题研究二元问题的最值问题，可以用基本不等式来处理解法1(函数的最值) 因为ksin2BsinA
3、sinC19sinBsinC，所以由正弦定理可得kb2ac19bc，即k.因为ABC为任意三角形，所以a|bc|，即当01时，20100，即的最大值为100，所以k100，即实数k的最小值为100.解法2(基本不等式) 因为ksin2BsinAsinC19sinBsinC，所以由正弦定理可得kb2ac19bc，即k.又.因为cab，所以1，即100(要求最大值，19至少大于0)当且仅当119，即9时取等号例6、(2018镇江期末） 已知a，bR，ab4，则的最大值为_【答案】.【解析】 将通分，变形为关于(ab)和ab的式子，将ab作为一个变元，用导数作为工具求最大值，或用不等式放缩求最大值，
4、但要先求出ab的取值范围解法(ab作为一个变元) ab4，.设t9ab5，则，当且仅当t280时等号成立，所以，的最大值为.题型三、求导法例7、(2019扬州期末）若存在正实数x，y，z满足3y23z210yz，且lnxlnz，则的最小值为_【答案】. e2【解析】由3y23z210yz，得(3yz)(y3z)0，解得y3z，即3.由lnxlnz，得lnxlnylnylnz，即lnln.令t，t，得lnlntetf(t)，则f(t)e0，得t.当t时，f(t)0，f(t)单调递增，所以当t时，f(t)有唯一的极小值，即最小值f(t)minf2，故2lne2，所以的最小值为e2.二、达标训练1、
5、(2019南京、盐城一模） 若正实数a，b，c满足aba2b，abca2bc，则c的最大值为_【答案】【解析】 注意到求c的最大值，所以将参数c进行分离，为此，可以利用abca2bc进行分离得c1，从而将问题转化为求a2b的最小值； 结合abca2bc与aba2b化简得abcabc来进行分离得c1，进而求ab的最小值解法1 由abca2bc得，c1，由aba2b得，1，所以a2b(a2b)442448，故c.解法2 因为abca2bc，aba2b，所以abcabc，故c1，由aba2b利用基本不等式得ab2，故ab8，当且仅当a4，b2时等号成立，故c11.2、(2019扬州期末）已知正实数x
6、，y满足x4yxy0，若xym恒成立，则实数m的取值范围为_【答案】(，9【解析】 mxy恒成立，m(xy)min.解法1(消元法)由x4yxy0，得y，因为x，y是正实数，所以y0，x4，则xyxxx1(x4)5259，当且仅当x6时，等号成立，即xy的最小值是9，故m9.解法2(“1”的代换)因为x，y是正实数，由x4yxy0，得1，xy(xy)5259，当且仅当x6，y3时，等号成立，即xy的最小值是9，故m9.解法3(函数法)令txy，则ytx，代入x4yxy0，得x2(3t)x4t0.(t3)216tt210tq0，得t1或t9.又y0，且x0，则x4，故t4，从而t9.所以m9.3
7、、(2018苏州期末） 已知正实数a，b，c满足1，1，则c的取值范围是_【答案】【解析】 由第二个等式知，要求出c的取值范围，只要先求出ab的取值范围，而这可由第一个等式求得解法1 因为ab(ab)24，)，所以，从而1，得c.解法2 由题两等式得abab，c(ab)c(ab)，所以cabc(ab)，即c1.因为abab2，所以ab4，所以c1.4、（2019宿迁期末）已知正实数a，b满足a2b2，则的最小值为_. 【答案】【解析】解法1(消元法)由a2b2得a22b0，所以0b1，令f(b)，f(b).当b时，f(b)0，f(b)递增，所以当b时，f(b)有唯一的极小值，也是最小值f.解法
8、2(齐次化)因为a2b2，所以2，当且仅当a，b时取等号，所以所求的最小值为.6、(2019苏北三市期末） 已知x0，y0，z0，且xyz6，则x3y23z的最小值为_【答案】 【解析】解法1(配方导数求函数最值) x3y23zx3y23(6xy)x33xy23y18x33xx33x，当且仅当y时取等号设g(x)x33x，g(x)3x23.令g(x)0得x1，得g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，从而g(x)ming(1)2，所以(x3y23z)min2，即所求最小值为，当且仅当x1，y，z时取等号解法2(基本不等式配凑) 由x3113x(当且仅当x1，取等号)，y23y，得
9、x3y23z23(xyz)18，x3y23z(当且仅当x1，y，z取等) 这题三元变量的本质是切线放缩. 7、(2018苏锡常镇调研）已知函数若存在实数，满足，则的最大值是【答案】【解析】.作函数的图象如下：根据题意，结合图象可得，且所以令，则，易得在上递增，又因为，根据零点存在性定理可得存在唯一，使得，从而函数的减区间是，增区间是，又因为，则所以在上的最大值是 8、(2017无锡期末）已知a0，b0，c2，且ab2，则的最小值为_【答案】【解析】思路分析 根据目标式的特征，进行恰当的变形，利用基本不等式知识求解因为a0，b0，所以，当且仅当ba时等号成立又因为c2，由不等式的性质可得cc.又因为c(c2)，当且仅当c2时等号成立所以的最小值为.
