1、惠州市2023届高三第三次调研考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。1已知集合，且，则实数（ ）A B1 C或1 D02数列为等
2、差数列，、是方程的两个根，则的前2022项和为（ ）A1011 B2022 C4044 D80883“”是“方程表示双曲线”的（ ）条件A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4已知实数，则下列结论一定正确的是（ ）A B C D5已知互不重合的三个平面、，其中，且，则下列结论一定成立的是（ ）Ab与c是异面直线 Ba与c没有公共点C D6若函数（且）在上为减函数，则函数的图象可以是（ ）A B C D7在“2，3，5，7，11，13”这6个素数中，任取2个不同的数，这两数之和仍为素数的概率是（ ）A B C D8已知，且恒成立，则的最小值为（ ）A1 B C D二
3、、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9已知复数，则下列选项正确的是（ ）Az的虚部为1 BC为纯虚数 D在复平面内对应的点位于第一象限10在全市高三年级举行的一次数学达标测试中，共有20000人参加考试。为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n按照，的分组作出频率分布直方图如图所示，其中成绩落在区间内的人数为16则下列结论正确的是（ ）A样本容量 B频率分布直方图中C估计该市全体学生成绩的平均分约为70.6
4、分D该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号11已知函数，则下列结论正确的是（ ）A函数在上单调递增 B存在，使得函数为奇函数C任意， D函数有且仅有2个零点12画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：若椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点A在椭圆上，直线，则下列结论正确的是（ ）A直线l与蒙日圆相切B椭圆C的蒙日圆的方程为C记点A到直线l的距离为d，则的最小值为D若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH的面积的最大值为三、填空题：
5、本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分。13已知平面向量，若与垂直，则实数_14在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点，则_15在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_16用数学的眼光看世界就能发现数学之“美”现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为则曲线在处的曲率为_；正弦曲线曲率的平方的最大值为_四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分10分）数列中，（1）求证：数列是等比数列
6、；（2）若，求数列的前n项和18（本小题满分12分）条件， 条件，条件请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足_，（1）求A；（2）若AD是的角平分线，且，求的最小值（注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）19（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点（1）证明：平面平面PBC；（2）若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离20（本小题满分12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树
7、木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得，（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为已知树木的材积量与其根部横截
8、面积近似成正比利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值附：相关系数，21（本小题满分12分）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数恒成立，求实数a的取值范围22（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆上且（1）求椭圆C的方程；（2）点P、Q分别在椭圆C和直线上，M为AP的中点，若T为直线OM与直线QF的交点是否存在一个确定的曲线，使得T始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由惠州市2023届高三第三次调研考试数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。题号12345678答案ACBADCAD1【解析】
9、由集合元素的互异性及子集的概念知，解得实数故选A2【解析】所以的前2022项和，故选C3【解析】因为方程表示双曲线，所以，解得或，即，所以“”是“方程表示双曲线的充分不必要条件，故选B4【解析】A项中，因为，所以，故A项正确；B项中，因为函数在上单调递减且，所以，故B项错误：C项中，因为，则，故C项错误；D项中，若，则，故D项错误故选A5【解】，如右图所示：故A，B，C错误；故选D6【解析】由函数在上为减函数，可知，函数的定义域为或，故排除A，B，又，可知在单调递减，故排除D故选C7【解析】由题意得，6个数中任取2个数，共有种可能，2个素数之和仍为素数，则可能为（2和3）、（2和5）、（2和1
10、1）共有3种可能，所求概率故选A8【解法一】数形结合，当时，曲线介于直线PA和PB之间，即，又因为恒成立，所以且，即且故选D【解法二】由，得：；令，令，则，在上单调递减，则，在上单调递减，；令，则，；当时，在上单调增，不合题意；当时，在上单调减，满足题意；当时，使得，又在上单调递减，当时，在上单调递增，则，不合题意；综上所述二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。题号9101112答案ACBCABCAC9【解析】，z的虚部为1，为纯虚数，在复平面内对应的点位于第四象限，故选AC10【解
11、析】对于A：样本容量，故A不正确；对于B：因为，解得，故B正确：对于C：学生成绩平均分为，C正确；对于D：因为，即按照成绩由高到低前20%的学生中不含78分的学生，所以成绩为78分的学生不能得到此称号，故D不正确，故选BC11【解析】对于A：因为，所以，因此，故，所以在上单调递增，故A正确；对于B：令，则，令，定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，B正确对于C：时，；时，；时，；C正确；对于D：时，时，时，所以只有1个零点，D错误；故选：ABC12【解析】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、，所以，点在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为，因为，可得对于A选项，蒙日圆圆心到直线l的距离为
12、，故l与蒙日圆相切，A对；对于B选项，C的蒙日圆的方程为，B错；对于C选项，由椭圆的定义可得，则，所以，因为，直线l的方程为，点到直线l的距离为，所以，当且仅当时，等号成立，C对；对于D选项，若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH的四个顶点都在蒙日圆上，所以，所以矩形MNGH的面积为，D错故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二空3分。132； 141； 15； 16（2分），1（3分）13【解析】因为与垂直，所以，即，解得14【解法一】由三角函数的定义可知，所以【解法二】因为角的终边经过点，所以，所以15【解析】圆的标准方程为，则圆心半
13、径，由题意知最长弦为过E点的直径，最短弦为过E点和这条直径垂直的弦，即，且，圆心和E点之间的距离为1，故，所以四边形ABCD的面积为故答案为：16【解析】（1）由，则，（2）由，则，令，则，故，设，则，在时，递减，所以，最大值为1故答案为：，1四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分10分，其中第一小问4分，第二小问6分）【解析】（1）因为，所以，且 1分得 2分又 3分所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列 4分【注：无首项和公比的说明，本得分点不得分】（2）由（1）可知， 1分所以 2分又由题知所以 3分 5分【注：等差等比求和公式各1
14、分】 6分18（本小题满分12分，其中第一小问6分，第二小问6分）【解析】（1）选因为，由正弦定理所以 1分即， 2分由余弦定理 3分 4分因为， 5分【注：无此步骤，本得分点不得分】所以 6分选因为，正弦定理且所以， 1分即 3分而，cos0，分【注：无此步骤，本得分点不得分】所以 5分因为，所以，即 6分选因为，由正弦定理所以， 1分即， 2分所以， 3分而， 4分故， 5分因为，所以 6分【备注：从3个条件的思维量及计算步骤数综合分析，从易到难排序为】（2）【解法一】如图，过D分别作，由题意可知和都是边长为1的正三角形 1分由得 2分所以，即同理，所以由得，即 3分因此 4分， 5分当且
15、仅当时取等号6分【注：无此步骤，本得分点不得分】所以的最小值为【解法二】由题意可知， 1分由角平分线性质和三角形面积公式得， 2分【注：面积公式正确可得1分】化简得，即， 3分因此 4分， 5分当且仅当时取等号 6分【注：无此步骤，本得分点不得分】所以的最小值为19（本小题满分12分，其中第一小问6分，第二小问6分）【解析】（1）【解法一】因为底面ABCD，平面ABCD，所以 1分因为ABCD为正方形，所以，又因为，平面PAB，平面PAB【见注1】所以平面PAB 2分因为平面PAB，所以 3分因为，E为线段PB的中点，所以， 4分又因为，平面PBC，平面PBC【见注1】所以平面PBC 5分又因
16、为平面AEF，所以平面平面PBC 6分【注1：证明线面垂直过程中，无写出三个辅助条件，扣1分】【解法二】因为底面ABCD，平面PAB，所以平面底面ABCD 1分又平面底面，平面ABCD，【见注1】所以平面PAB 2分因为平面PAB，所以 3分因为，E为线段PB的中点，所以 4分因为，平面PBC，平面PBC【见注1】所以平面PBC 5分又因为平面AEF，所以平面平面PBC 6分【解法三】因为底面ABCD，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 1分则，设，则所以， 2分设为平面AEF的法向量，则所以取，则，则 3分设为平面PBC的法向量，
17、则所以取，则， ，则 4分因为，所以 5分所以平面平面PBC 6分（2）【解法一】（基于（1）解法一、二）因为底面ABCD，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 1分则，易知是平面PAB的法向量 2分设，则，所以，所以即，得，所以， 3分设为平面AEF的法向量，则所以平面AEF的法向量， 4分又因为所以点P到平面AEF的距离为， 5分所以点P到平面AEF的距离为 6分由（1）可知，是直线AF与平面PAB所成的角，所以 1分解得，故F是BC的中点 2分所以，的面积为 3分因为，的面积为 4分设点P到平面AEF的距离为h，则有 5分解得所
18、以点P到平面AEF的距离为 6分【解法三】（基于（1）解法三）易知是平面PAB的法向量 1分所以，即，解得 2分所以， 4分又因为所以点P到平面AEF的距离为， 5分所以点P到平面AEF的距离为 6分20（本小题满分12分，其中第一小问3分，第二小问5分，第三小问4分）【解析】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值 1分样本中10棵这种树木的材积量的平均值 2分据此可估计：该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为 3分【注：最终结果无单位扣1分】（2） 1分 2分 3分 4分则 5分【备注：运用参考公式计算过程可通过下面的列表进行分步】：12345678910合计平
19、均值0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.60.060.250.40.220.540.510.340.360.460.420.43.90.3900.020.02 0.010.0100.010.150.12 0.070.030.010.002800.00340.0030.00240.00050.00030.00070.000300.0134分子0.000400.00040.00040.00040.00010.00010.00010.000100.0020.01960.00010.02890.02250.01440.00250.00090.00490.
20、00090.00010.09480.0001896分母的平方【备注：运用变形公式计算过程可通过下面的列表进行分步】：12345678910合计平均值0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.60.030.250.40.220.540.510.340.360.460.420.43.90.390.010.0240.00880.04320.04080.0170.0180.03220.02940.0240.2474部分分子0.00160.00360.00160.00640.00640.00250.00250.00490.00490.00360.038部分分母0
21、.06250.160.04840.29160.26010.11560.12960.21160.17640.161.6158部分分母（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为 1分又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得 2分解得 3分则估计该林区这种树木的总材积量为 4分21（本小题满分12分，其中第一小问4分，第二小问8分）【解析】（1）函数的定义域是 1分当时， 2分令得，所以函数在上单递递增； 3分令得，所以函数在上单调递减 4分所以函数的单调递增区间为，单调递区间为（2）【解法一】恒成立等价于恒成立， 1分令，因为恒成立，所以在上单调递增，所以，即， 2分所以恒成立，等价于恒
22、成立令，问题等价于恒成立 3分若时，恒成立，满足题意； 4分若时，则，所以，不满足题意； 5分若时，因为，令，得，单调递减，单调递增，所以在处取得最小值， 6分要使得，恒成立，只需，解得 7分综上： 8分【解法二】恒成立，等价于， 1分令 2分若时，所以在上单调递增，即，满足， 3分若时，则， ，所以在上单调递增，当x趋近于0*时，趋近于负无穷，不成立，故不满足题意 4分若时，令，令，因为在上单调递增，且当时，当时，所以， 5分，单调递减，单调递增，只需即可， 6分令，在上单调递增，时，所以在上单调递增，即， 7分综上： 8分22（本小题满分12分，其中第一小问4分，第二小问8分）【解析】（1
23、）因为椭圆C过点，所以， 1分因为，所以，得 2分故，从而椭圆C的方程为 4分（2）【解法一】设，则直线AP的斜率为 1分因为，所以直线OQ的方程为，令可得，所以， 2分又M是AP的中点，所以， 3分从而，所以 5分因为点P在椭圆C上，所以，故， 6分代入式可得，从而， 7分所以，点T始终在以OF为直径的圆上，且该圆方程为 8分【解法二】由直线AP不与y轴垂直，故可设其方程为 1分联立消去x整理得：，解得：或，所以， 2分从而，故 3分因为M是线段AP的中点，所以 4分因为，所以直线OQ的方程为，联立解得：，所以， 5分故，从而， 6分从而， 7分所以，点T始终在以OF为直径的圆上，且该圆方程为 8分
