1、河北省定州市第二中学2020-2021学年高一数学上学期11月月考试题（含解析）分值：150分 时间：120分钟一、选择题（每小题5分（部分3分），共60分）1. 设集合，则图中阴影部分表示的集合的非空真子集的个数为（ ）A. 2B. 6C. 4D. 8【答案】B【解析】【分析】首先分析出图中阴影部分表示的集合为：，故先计算出的结果，然后即可计算出的结果，根据中元素个数可得非空真子集的个数.【详解】，图中阴影部分表示的集合为，图中阴影部分表示的集合的非空真子集的个数为故选B【点睛】集合中有元素个：则的子集个数为：，非空子集个数为：，非空真子集个数为：.2. 下列说法正确的是A. B. C. D
2、. 【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例【详解】选项A，当c0时，由ab，不能推出ac2bc2，故错误；选项B，当a1，b2时，显然有ab，但a2b2，故错误；选项C，当ab时，必有a3b3，故正确；选项D，当a2，b1时，显然有a2b2，但却有ab，故错误故选C【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题3. 设，则，的大小关系是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用指数函数为上的单调减函数，比较、的大小，再利用幂函数在上为增函数，比较、的大小，即可得正确选项；【详解】解：因为为减函数，故，又在上为增函数，故，
3、即，即故选：B【点睛】本题主要考查根据指数与幂函数单调性判断函数值大小问题，属于基础题.4. 若奇函数在内是减函数，且， 则不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】，选D.点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内5. 函数的图象大致为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出函数的定义域与值域，从而得出答案【详解】 y，该函数的定义域为x|x1，值域为y|y1，故选A【点睛】本题考查了函数的图象，主要从定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点等方面判
4、断，属于基础题6. 若，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先利用幂函数的单调性得到，再解不等式组即可.【详解】因为，所以，解得.故选：B7. 已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）.A B. 9C. 5D. 【答案】A【解析】【分析】根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值.【详解】定点为,，当且仅当时等号成立，即时取得最小值.故选A【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.8. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，所以，
5、利用换元法求解析式【详解】设，所以.则，即.【点睛】本题考查换元法求解析式，解题的关键是，属于一般题9. 当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由知，可分离参数后求函数的最值，即可求出实数的取值范围.【详解】当时，由恒成立可得，恒成立，令，则当时，所以，故选：B10. 若一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到之后停止喝酒，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某地规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，那么这个人至少经过多少小时才能开车（精确到1小时）（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分
6、析】先根据题意设小时后才能开车再结合题中条件：“血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL,”得到一个关于的不等关系,代入选项验证即可求解.【详解】设小时后才能开车,则有,即,由于没有对数参考值， 根据选项代入验证，当时不等式不成立，当时，不等式成立，故最小为5.故选：C【点睛】关键点点睛：根据问题的实际背景，抽象出指数不等式，利用验证的的方式寻求不等式成立的最小正整数解.11. （多选）若函数的定义域为，值域为，则的值可能是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】ABC【解析】【分析】作出函数的部分图像，由图像与题中条件，即可得出结果.【详解】函数的部分图像如图，.因为函数的定义域为，值域
7、为，所以的取值范围是，故选ABC.【点睛】本题主要考查由二次函数的定义域与值域求参数的问题，熟记二次函数的图像与性质即可，属于常考题型.12. 下列命题中正确有（ ）A. 有四个实数解B. 设a、b、c是实数，若二次方程无实根，则C. 若，则D. 若，则函数的最小值为2【答案】BC【解析】【分析】根据方程根的求解，利用对勾函数求最值得方法，以及二次方程根的情况与系数之间的关系，结合选项进行逐一分析即可.【详解】对：令，容易知其偶函数， 又当时，令，解得； 故函数有两个零点，即，故错误；对：若二次方程无实根，故可得，即可得，故正确；对：由，当，则.故正确；对：令，则原函数等价于，根据对勾函数的单
8、调性可知，该函数在区间上是单调增函数，故可得函数的最小值为. 故错误.故答案为：.【点睛】本题考查简单命题真假的判断，涉及知识面广，综合性强，属于基础题.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 函数的单调递增区间是_【答案】【解析】【分析】欲求函数得单调递增区间，根据指数函数的单调性，只须求函数y=的单调减区间即可【详解】令，得函数定义域为，所以在上递增，在递减根据“同增异减”的原则，函数的单调递增区间是【点睛】本小题主要考查函数的单调性及单调区间、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题当遇到函数综合应用时，处理的优先考虑“让解析式有意义”的原则
9、，先确定函数的定义域14. 已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可【详解】要使f（x）在R上的减函数，则满足，即所以故答案为【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键15. 已知，当时，其值域是_【答案】【解析】【分析】令，因为，所以，得到函数，利用二次函数的性质，即可求解，得到答案【详解】由题意，令，因为，所以，则函数，所以当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最小值为，所以函数的值域为，故答案为【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及二次函
10、数的图象与性质的应用，着重考查了换元思想，以及推理与运算能力，属于基础题16. 设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为_【答案】【解析】【分析】先确定，再利用0为其中的一个解，求出的值，从而可得不等式，由此确定不等式的整数解，从而可得结论.【详解】设，其图象为抛物线，对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，因为0为其中一个解可以求得，又，所以或，则不等式为和，可分别求得和，因为位整数，所以和，所以全部不等式的整数解的和为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，其中解答中根据题设条件确定出实数
11、的值，求出相应的一元二次不等式的解集是解答关键，推理与运算能力.三、解答题17. 化简求值（1）；（2）.【答案】（1）109；（2）.【解析】【分析】（1）利用指数幂运算和分数指数幂与根式的转化，化简求值即可；（2）利用对数运算性质化简求值即可.【详解】解：（1）原式；（2）原式.18. 已知集合，（）求（）若，且，求实数的取值范围【答案】（）；（）【解析】【分析】（）由指数不等式可得，再由交集的概念即可得解；（）由集合间的关系，按照、分类，运算即可得解.【详解】（）由题意，； （），且，当时，有，此时， 当时，则有，解得，综上可知，实数的取值范围为.19. 某工厂生产某种产品的年固定成本为
12、250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)x210x(万元)当年产量不小于80千件时，C(x)51x1 450(万元)每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完（1）写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】（1）L(x)；（2）100千件.【解析】【分析】（1）根据题意，分段求得函数的解析式，即可求得；（2）根据（1）中所求，结合基本不等式，求得的最大值即可.【详解】（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.051 000
13、x万元，依题意得：当0x80时，L(x)(0.051 000x)25040x250.当x80时，L(x)(0.051 000x)2501 200.所以L(x)（2）当0x80时，L(x)950.此时，当x60时，L(x)取得最大值L(60)950万元当x80时，L(x)1 2001 20021 2002001 000.此时x，即x100时，L(x)取得最大值1 000万元由于9501 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元【点睛】本题考查分段函数模型的实际应用，涉及利用基本不等式求函数最值，属综合基础题.20. 已知函数定义域为，若对任意
14、的，都有，且时，.（1）判断的奇偶性；（2）讨论的区间上的单调性；（3）设，若，对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数（2）是在上为单调递减函数（3）或【解析】【分析】（1）首先令得到，再令得到，即可判断函数是奇函数.（2）首先设任意，根据题意得到，即可证明.（3）根据题意得到的最大值为，再根据恒成立求解即可.【详解】（1）因为有，令，得，所以，令可得：，所以，所以为奇函数.（2）由题意设，因为是定义在上的奇函数，则因为时，有，所以，即.所以是在上为单调递减函数；（3）因为在上为单调递减函数，所以在上最大值为，所以要使，对所有恒成立，只要，即，令由得，所以或.【点睛】关键点点睛
15、：若，对所有，恒成立的理解转化，是解决本题的关键，首先转化为，即，再转化为时恒成立，变换主元，看作关于的一次不等式恒成立即可求解.21. 已知二次函数的最小值3，且.（1）求的解析式；（2）若在区间上不单调，求实数的实数范围；（3）在区间上，的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意设出二次函数的顶点式，根据得，可得解；（2）由可解得结果；（3）转化为在区间上恒成立，根据二次函数求出最小值可得解.【详解】（1），故二次函数的图象关于直线对称，又由的最小值为3，故可设，由，得，故.（2）要使函数不单调，则有，解得.（3）由题意，在区间上恒成立
16、，即在区间上恒成立，设，则只要的最小值大于0即可，因为的对称轴为，所以，则，得，即.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：若在上恒成立，则；若在上恒成立，则；若在上有解，则；若在上有解，则；22. 已知且.（1）判断的奇偶性；（2）讨论的单调性；（3）当时，恒成立，求取值范围.【答案】（1）奇函数（2）是R上的增函数（3）【解析】【分析】（1）函数的定义域为R,关于原点对称,再看与的关系即可.（2）利用函数单调性的定义，对于任意x1，x2，设x1x2，则f(x1)f(x2)，再分a1 ，0a1讨论求解.（3）利用函数单调性求出在上的最小值即可.【详解】（1）函数
17、的定义域为R因为对于任意的xR，都有xR，且，所以yf(x)为奇函数（2）对于任意x1，x2，设x1x2，则有f(x1)f(x2)当a1时，由x1x2，得，那么，又，从而f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故是R上的增函数；当0a1时，由x1x2，得，那么，又，从而f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故是R上的增函数综上所述，函数是R上的增函数（3）由（2）知f(x)在区间1，1上是增函数，又时，恒成立，即的取值范围为.【点睛】方法点睛：1、判断函数的奇偶性，包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立2、判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接
