1、内容分析(1)平面向量是高中数学重要的工具性知识，是高考的常考内容(2)平面向量和三角函数、解析几何、立体几何等知识有着广泛的联系，其中平面向量的平行与垂直、数量积及其夹角与距离是高考考查的重点，平面向量基本定理也是常考考点之一(3)数系的扩充和复数的引入独立性较强，内容涉及较少，一般会单独命题，以选择题为主，主要考查复数的代数运算.命题热点 1.平面向量这部分知识本身很重要，作为工具性知识广泛应用于三角函数、解析几何、立体几何的教学中以选择、填空题考查本章的基本概念和性质此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题向量的基本运算与三角函数结合是高考中的重要题型此类题
2、既可以为选择、填空题，也可以为中档的解答题向量与数列、不等式、函数等代数内容的综合问题对学生的能力考查有较高的要求以解答题考查圆锥曲线中的典型问题此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主2复数内容较为简单，复数的代数运算是命题的热点.第一节平面向量的概念及线性运算1.了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义.1向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的(或模)(2)零向量：的向量叫做零
3、向量，其方向是的(3)单位向量：长度等于的向量(4)平行向量：方向或的向量平行向量又叫，任一组平行向量都可以移到同一条直线上大小方向长度长度为0任意1个单位相同相反非零共线向量规定：0与任一向量(5)相等向量：长度且方向的向量(6)相反向量：长度且方向的向量2向量的加法和减法(1)加法法则：服从三角形法则、平行四边形法则运算性质：平行相等相同相等相反ab(交换律)；(ab)c(结合律)；a0.(2)减法减法与加法互为逆运算；法则：服从三角形法则3实数与向量的积(1)长度与方向规定如下：baa(bc)0aa|a|；当时，a与a的方向相同；当时，a与a的方向相反；当0时，a0.(2)运算律：设、R
4、，则：(a)；()a；(ab)4两个向量共线定理向量b与a(a0)共线的充要条件是.0|b|，则ab；(2)若向量|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|b|，且a与b的方向相同，则ab；(4)由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；(5)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量解：(1)不正确因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故(1)不正确(2)不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，不能判断方向(3)正确|a|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件可得ab.(4)不正确由零向量性质可得
5、0与任一向量平行，可知(4)不正确(5)正确对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的 热点之二 向量的线性运算用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解例 2 如右图，ABC 中，AD 23AB，DEBC 交 AC 于 E，AM 是 BC 边上的中线，交 DE 于N.设ABa，ACb，用 a，b 分别表示向量AE，BC，DE，DN，AM，AN.思路探究
6、进行向量运算的依据是向量的加、减、实数与向量的积，在计算时要充分利用平面图形的几何性质，如本题中DEBCADEABC，ADNABM，平行线分线段成比例定理，中位线定理等课堂记录 DEBCAD 23AB AE23AC23b.BCAC ABba.由ADEABC，得DE 23BC23(ba)由 AM 是ABC 的中线，DEBC，得DN 12DE 13(ba)而且AM ABBM a12BCa12(ba)12(ab)由ADNABMAD 23ABAN23AM 13(ab)即时训练如下图，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA 与OB 的夹角为 120，OA 与OC 的夹角为 30，且|OA|OB|1，
7、|OC|2 3.若OC OA OB(，R)，则 的值为_解析：以 OC 为对角线，OA，OB 所在直线为边作平行四边形，如右图所示，可得 CE2，OE4，OC OE EC4OA 2OB，4，2，6.答案：6 热点之三 向量的共线问题1向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线例 3 已知 O、A、B 是不共线的三点，且OP mOA nOB(m、nR)(1)若 mn1，求证：A、P、B 三点共线；(2
8、)若 A、P、B 三点共线，求证：mn1.思路探究 要证三点 A、P、B 共线，需证向量AP与AB共线课堂记录 证明：(1)若 mn1，则OP mOA(1m)OB OB m(OA OB)，OP OB m(OA OB)，即BPmBA，BP与BA共线又因为 BP 与 BA 有公共点 B，A、P、B 三点共线(2)若 A、P、B 三点共线，则BP与BA共线，故存在实数，使BPBA，OP OB(OA OB)，由条件 mOA(n1)OB OA OB，即(m)OA(n1)OB 0.因 O、A、B 不共线，OA、OB 不共线，由平面向量基本定理知m0，n10，mn1.思维拓展 两向量共线不能等同于两向量一定
9、在同一直线上，还需要确定它们有一个公共点，本题考查了向量共线定理的应用即时训练若 a，b 是两个不共线的非零向量，tR，若 a 与 b起点相同，t 为何值时，a，tb，13(ab)三向量的终点在同一条直线上？解：设OA a，OB tb，OC 13(ab)，ACOC OA 23a13b，ABOB OA tba.要使 A、B、C 三点共线，则ACAB，即23a13btba.有2313t23t12，当 t12时，三向量的终点在同一条直线上从近两年的高考试题来看，向量的线性运算、共线问题是高考的热点尤其是向量的线性运算出现的频率较高，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题目，主要考查向量的线性运算及
10、对向量有关概念的理解，常与向量共线和平面向量基本定理交汇命题例 4(1)(2010全国)ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，若CBa，CAb，|a|1，|b|2，则CD 等于()A.13a23b B.23a13bC.35a45bD.45a35b(2)(2010湖北高考)已知ABC 和点 M 满足MA MB MC 0.若存在实数 m 使得ABACmAM 成立，则 m 等于()A2 B3C4 D5解析(1)CD 平分ACB，|CA|CB|AD|DB|21.AD 2DB 23AB23(CBCA)23(ab)CD CAAD b23(ab)23a13b.(2)设 BC 的中点为 D，由
11、已知条件可得 M 为ABC 的重心，ABAC2AD，又AM 23AD，故 m3.答案(1)B(2)B1(2009山东高考)设 P 是ABC 所在平面内的一点，BC BA2BP，则()A.PAPB0 B.PCPA0C.PBPC0 D.PAPBPC0解析：BCBA2BP，由向量加法的平行四边形法则知 P为 AC 的中点如下图PCPA0.答案：B2(2010四川)设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，BC 216，|ABAC|ABAC|，则|AM|_.A8 B4C2 D1解析：因为|ABAC|AB AC|，平方得ABAC 0，即ABAC，又BC 216，所以|BC|4.所以|AM|12|BC|2.答案：C
