1、考点规范练47双曲线基础巩固1.(2021广西河池模拟)已知F1,F2分别为双曲线x24-y2=1的左、右焦点,过F2作一条直线l与双曲线的右支交于P,Q两点,若|PQ|=2,则PF1Q的周长为()A.8B.10C.12D.142.若双曲线y2a2-x29=1(a0)的一条渐近线与直线y=13x垂直,则此双曲线的实轴长为()A.2B.4C.18D.363.设椭圆C1的离心率为513,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为()A.x242-y232=1B.x2132-y252=1C.x232-y242=1D.x2132-y
2、2122=14.设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为()A.2B.15C.4D.175.设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则PF1F2的面积为()A.72B.3C.52D.26.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为32c,则其离心率的值是.7.(2021全国)已知双曲线C:x2m-y2=1(m0)的一条渐近线为3x+my=0,则C的焦距为.8
3、.设A,B分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD,求t的值及点D的坐标.9.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A和B是W上的不同的两点,O是坐标原点,求OAOB的最小值.能力提升10.(2021广西南宁三中月考)已知点F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲
4、线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|3|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.52,+B.102,+C.1,102D.1,5211.(2021江西九江模拟)如图,火力发电厂的冷却塔的外形是由双曲线绕其虚轴所在直线旋转得到的曲面.已知塔的总高度为137.5 m,塔顶直径为90 m,塔的最小直径(喉部直径)为60 m,喉部标高112.5 m,则双曲线的标准方程为.12.设双曲线C:x2-y2b2=1(b0)的右焦点为F,点Q(0,b),已知点P在双曲线C的左支上,若PQF的周长的最小值是8,则双曲线C的离心率是,此时,点P的坐标为.13.已知双曲线C:x2-y2=1及
5、直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且AOB的面积为2,求实数k的值.14.由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形如图所示,其中上半个圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点.(1)试求双曲线的标准方程.(2)记双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,试在曲线上求点P,使得F1PF2是直角.高考预测15.(2021云南曲靖模拟预测)已知双曲线M的中心在坐标原点,焦点在x轴上,点P(2,1)在双曲线M的一条渐近线上.
6、若以双曲线M的实轴为直径作圆,该圆经过点P,则双曲线M的方程为()A.x23-2y23=1B.x23-y26=1C.y23-2x23=1D.y23-x26=1答案：1.C解析由双曲线定义得,|PF1|-|PF2|=|QF1|-|QF2|=2a=4,则|PF1|+|QF1|-(|PF2|+|QF2|)=|PF1|+|QF1|-|PQ|=8,得|PF1|+|QF1|=10,则PF1Q的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|=12.2.C解析双曲线的一条渐近线的方程为y=-a3x,所以-a313=-1,解得a=9,所以双曲线的实轴长为2a=18.故选C.3.A解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(-
7、5,0),F2(5,0),设曲线C2上的一点P,则|PF1|-|PF2|=8.由双曲线的定义知a=4,b=3.故曲线C2的标准方程为x242-y232=1.4.D解析由双曲线的定义知,(|PF1|-|PF2|)2=4a2,所以4a2=b2-3ab,即b2a2-3ba=4,解得ba=4ba=-1舍去.因为双曲线的离心率e=ca=1+b2a2,所以e=17.故选D.5.B解析由题意知a=1,b=3,c=2.不妨设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则F1(-2,0),F2(2,0).因为|OP|=2,所以点P在以O为圆心,F1F2为直径的圆上,故PF1PF2,则|PF1|2+|PF2|2=(2c
8、)2=16.由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4,所以|PF1|PF2|=6,所以PF1F2的面积为12|PF1|PF2|=3.6.2解析双曲线的渐近线为y=bax,即bxay=0.双曲线的焦点F(c,0)到渐近线的距离为|bc0|a2+b2=bcc=b,解得b=32c,因此a2=c2-b2=c2-34c2=14c2,a=12c,e=2.7.4解析由双曲线方程可知其渐近线方程为xmy=0,即y=1mx,得-3m=-1m,解得m=3.可得C的焦距为2m+1=4.8.解(1)由题意知a=23,故可得一条渐近线方程为y=b23x
9、,即bx-23y=0,所以|bc|b2+12=3,又c2=a2+b2,所以b2=3,所以双曲线的方程为x212-y23=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程y=3x3-2代入双曲线方程得x2-163x+84=0,0,则x1+x2=163,y1+y2=12.故x0y0=433,x0212-y023=1,解得x0=43,y0=3.由OM+ON=tOD,得(163,12)=(43t,3t),故t=4,点D的坐标为(43,3).9.解(1)由|PM|-|PN|=22知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a
10、=2.又焦距2c=4,所以虚半轴长b=c2-a2=2.所以W的方程为x22-y22=1(x2).(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).当ABx轴时,x1=x2,y1=-y2,从而OAOB=x1x2+y1y2=x12-y12=2.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m(k1),与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,又0,则x1+x2=2km1-k2,x1x2=m2+2k2-1,所以OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)(m2+2)k2-1+2k
11、2m21-k2+m2=2k2+2k2-1=2+4k2-1.又因为x1x20,所以k2-10.所以OAOB2.综上所述,当ABx轴时,OAOB取得最小值2.10.C解析若点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,则PF1PF2,则|PF1|2+|PF2|2=4c2.又因为|PF1|3|PF2|,所以|PF1|-|PF2|=2a2|PF2|,即|PF2|a,所以(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2(a+2a)2+a2,得2c25a2,故ca52=102.又ca1,所以双曲线C离心率的取值范围是10,b0),如图所示,AB为喉部直径,故a=30,故双曲线方程为x2900-y2b
12、2=1.而M的横坐标为塔顶直径的一半,为45,其纵坐标为塔的总高度与喉部标高的差,即137.5-112.5=25,故M(45,25).故452900-252b2=1,所以b2=500,故双曲线方程为x2900-y2500=1.12.5-52,1解析如图,设F为C的左焦点,连接PF,QF,则|QF|=|QF|,|PF|=|PF|+2,所以PQF的周长l=|PQ|+|PF|+|QF|=|PQ|+|PF|+|QF|+2.因为|PQ|+|PF|QF|=c2+b2,所以PQF的周长l2c2+b2+2.因为PQF的周长的最小值是8,所以2c2+b2+2=8,所以b=2,c=5,所以双曲线C的离心率是ca=
13、5.当PQF的周长取最小值时,点P在直线QF上,联立y=255x+2,x2-y24=1,解得x=-52,y=1,故P的坐标为-52,1.13.解(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组x2-y2=1,y=kx-1有两个不同的实数根,整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.故1-k20,=4k2+8(1-k2)0,解得-2k|x2|时,SOAB=SOAD-SOBD=12(|x1|-|x2|)=12|x1-x2|;当A,B在双曲线的两支上且x1x2时,SOAB=SODA+SOBD=12(|x1|+|x2|)=12|x1-x2|.故SOAB=12|x1-x2|=2,即(x1-x2)2=(22
14、)2,即-2k1-k22+81-k2=8,解得k=0或k=62.又-2k0,b0),则8a2-4b2=1,且a=2,解得b=2.则双曲线的标准方程为x24-y24=1.(2)由(1)知双曲线的左、右焦点分别为F1(-22,0),F2(22,0).若F1PF2是直角,则设P(x,y),则有x2+y2=8.由x2+y2=8,x2-y2=4,解得x2=6,y2=2.由x2+y2=8,x2+(y2)2=8,解得y=1,不满足题意,舍去.故在曲线上所求点P的坐标为(6,2),(-6,2),(-6,-2),(6,-2).15.A解析如图所示,A,B为双曲线的左、右顶点,以AB为直径的圆与一条渐近线交于点P(2,1),则APBP,设双曲线M的标准方程为x2a2-y2b2=1,则A(-a,0),B(a,0),所以AP=(2+a,1),BP=(2-a,1),则APBP=(2+a)(2-a)+1=0,解得a=3.因为点P(2,1)在渐近线y=bax上,所以1=b32,解得b=62,所以双曲线M的标准方程为x23-2y23=1.
