1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 必修4 第三章 三角恒等变形成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 三角恒等变形 第三章 第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 3 二倍角的三角函数第三章 第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 课堂典例讲练 2课 时 作 业 4课前自主预习 1易错疑难辨析 3第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 课前自主预习第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 如图甲所示，已知弓弦的长度AB2a，弓箭的长度MN2b(其中M
2、AMB，MNAB)假设拉满弓时，箭头和箭尾到A，B的连线的距离相等(如图乙所示)，设AMN，你能用a，b表示AMB的正切值，即tan2的值吗？tan2与tan之间存在怎样的关系呢？现在我们来学习二倍角与半角公式的知识第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 1二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)在和角公式 S，C，T 中，当 时就可得到二倍角的三角函数公式 S2，C2，T2.sin2_，cos2_，tan2_.(2)余 弦 函 数 的 二 倍 角 公 式 有 三 种 形 式，即 cos2 _，由此可得变形公式 sin2_，cos2_，它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降
3、幂的作用2sincoscos2sin22tan1tan2cos2sin22cos21 12sin21cos221cos22第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 2半角公式(1)sin2_.(2)cos2_.(3)tan2_.在这些公式中，根号前面的符号由2所在象限相应的三角函数值的符号确定，如果2所在象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号1cos21cos21cos1cossin1cos1cossin第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 1若 tan3，则sin2cos2的值为()A2 B3 C4 D6答案 D解析 sin2c
4、os22sincoscos22tan6，sin2cos2的值为 6.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 2cos2812的值为()A1B12C 22D 24答案 D解析 原式1cos421212 24 12 24.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 3若sin2 33，则cos()A23B13C13D23答案 C解析 本题考查了余弦的二倍角公式因为sin233，所以cos12sin2212(33)213.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 4函数ysin2xcos2x的最小正周期是_，最大值是_答案
5、 2 12解析 y12sin4x，T24 2，ymax12.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 5已知tan(4)2，则tan2_.答案 34解析 tan(4)1tan1tan2，tan13.tan2 2tan1tan234.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 课堂典例讲练第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 利用倍角公式求值利用倍角公式求下列各式的值(1)2sin 12cos 12；(2)12sin2750；(3)2tan1501tan2150；(4)cos 12cos512；(5)1sin103c
6、os10.思路分析 本题主要是倍角公式的逆用，关键是搞清公式的特征第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 规范解答(1)原式sin2 12 sin612.(2)原式cos(2750)cos1500cos(604360)cos6012.(3)原式tan(2150)tan300tan(36060)tan60 3.(4)原式cos 12cos2 12 cos 12sin 12122sin 12cos 12 12sin6121214.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 (5)原式cos10 3sin10sin10cos10212cos10 3
7、2 sin10sin10cos104sin30cos10cos30sin102sin10cos104sin3010sin210 4sin20sin20 4.规律总结 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系，另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及诱导公式是常用的方法第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 (1)sin15sin30sin75等于()A 34 B 38C18D14(2)下列各式中，值为 32 的是()A2sin15cos15Bcos215sin215C2sin2151Dsin215cos215第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师
8、大版 数学 必修4 (3)已知tan34，则tan2等于()A 724B 724C247D247答案(1)C(2)B(3)D解析(1)原式12sin15cos1514sin3018.(2)cos215sin215cos30 32.(3)tan2 2tan1tan22341342247.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 利用公式化简与证明(1)化简1cos 1cos1cos 1cos 1sin1sin(322)(2)求证：1sin4cos42tan1sin4cos41tan2.思路分析(1)在应用半角公式时，可适当进行变换(2)两边式子比较复杂，且角出现4倍角和
9、单角，若直接证明较复杂，可将要证的式子变形发现2tan1tan2 tan2，所以只要证明式子1sin4cos4tan2(1sin4cos4)即可第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 规范解答(1)322，342，1cos2sin22 2sin2，1cos2cos22 2cos2，1sin|cos2sin2|(cos2sin2)，1sin|cos2sin2|sin2cos2.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 原式2sin2cos22sin2cos2cos2sin2sin2cos2sin2cos22sin2cos22sin22cos2
10、24sin2cos2cos2sincos 2tan.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 (2)原式等价于 1sin4cos4 2tan1tan2(1sin4cos4)即 1sin4cos4tan2(1sin4cos4)而式右边tan2(1sin4cos4)sin2cos2(2cos222sin2cos2)sin41cos4左边式成立，原式得证第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 规律总结(1)带有根号的化简问题，首先要去掉根号，想办法将根号内的式子化成完全平方式，即三角函数中常用的解题技巧：“变次”，其中用到了二倍角正弦和余弦的两个
11、重要的变形：1sin(sin2cos2)2，1cos2cos22.(2)证明三角恒等式就是充分利用三角函数的有关公式，通过角的变换或函数的转化，将一边的三角函数式化为另一边，或两边都等于某一多项式，本例证明采用的是从左到右的证明思路，解决这类问题的关键是消去等式两端的差异第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 (1)化简sin2x2cosx(1tanxtanx2)(2)求证：34cos2Acos4A34cos2Acos4Atan4A解析(1)原式2sinxcosx2cosx(1sinxcosx1cosxsinx)sinx(11cosxcosx)sinxcosxtan
12、x.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 (2)证明：左边34cos2A2cos22A134cos2A2cos22A1(1cos2A1cos2A)2(2sin2A2cos2A)2(tan2A)2tan4A右边，34cos2Acos4A34cos2Acos4Atan4A第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 半角公式的应用已知sin2cos2 55，450540，求tan2的值思路分析 要求tan 2 的值，结合条件，可以联立sin2 2 cos22 1，求得sin2，cos2，从而获解但这种方法需要解方程，联想到有理形式的半角正切公式，
13、可以有以下解法第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 规范解答 由题意得 sin2cos2215，即1sin15，得sin45.而450540，cos35，tan21cossin135452.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 规律总结 利用半角公式求tan 2 的值时，为避免讨论，一般尽量采用半角正切公式的有理式tan2sin1cos1cossin，利用半角公式求sin2，cos2的值时，要注意根号前面的符号由角2所在象限相应的三角函数值的符号来确定第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 已知|cos|3
14、5，且52 3，求sin2，cos2，tan2的值分析 本题主要考查半角公式，先由角的范围去掉绝对值符号，再由半角公式即得解析|cos|35，52 3，cos35，54 232.由cos12sin22，第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 有sin21cos21352 2 55.又cos2cos221，有cos21cos2 55，tan2sin2cos22.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 三角公式与三角函数的图像与性质的综合应用已知a(sinx，cosx)，b(cosx，3cosx)，函数f(x)ab 32.(1)求f(x)的最
15、小正周期，并求其图像对称中心的坐标；(2)当0 x2时，求函数f(x)的值域思路分析 先求出ab，再利用倍角公式及降幂公式将f(x)化成Asin(x)k的形式，进而研究函数的性质第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 规范解答(1)f(x)sinxcosx 3cos2x 3212sin2x 32(cos2x1)32 12sin2x 32 cos2xsin(2x3)，所以f(x)的最小正周期为.令sin(2x3)0，得2x3k，xk26，kZ.故所求对称中心的坐标为(k26，0)，(kZ)第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 (2)0 x
16、2，32x323.32 sin(2x3)1，即f(x)的值域为 32，1规律总结 解答此类综合题的关键是利用三角函数的和、差、倍、半角公式化为f(x)Asin(x)k的形式，然后借助于三角函数的图像及性质去研究f(x)的相应性质，解答过程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失误第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 已知函数f(x)sin2(4x)cos2x12，xR.(1)求函数f(x)的最值与最小正周期；(2)求使不等式f(x)32(x0，)成立的x的取值范围解析(1)f(x)sin2(4x)cos2x121cos22x21cos2x21212si
17、n2x12cos2x32 22 sin(2x4)32.f(x)的最大值为 22 32，最小值为 22 32；最小正周期 T22.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 (2)要使 f(x)32，只需 22 sin(2x4)0，即 sin(2x4)0，由 2k2x42k(kZ)得，k8xk38，kZ，又 x0，0 x38 或78 x.故使不等式 f(x)32(x0，)成立的 x 的取值范围是0，38 78，第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 易错疑难辨析第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 已知 sin35，sin20，sin20，故 为第二象限的角，cos45.tan21cos1cos1451453.辨析 上述解法仅考虑到 为第二象限的角时，cos0，sin20，cos0，sin20，cos0.又sin35及cos0，cos45.tan21cos1cos3.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 课 时 作 业（点此链接）
