1、11.2空间向量的数量积运算新课程标准解读核心素养1.掌握空间向量的数量积数学抽象2.能运用向量的数量积判断两向量的垂直及平行数学运算我们在必修第二册“第六章平面向量及其应用”中已经学习了两个平面向量a和b的数量积的定义、性质及运算问题(1)平面向量的数量积ab是如何定义的？满足哪些运算律？(2)类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？知识点一空间向量的夹角1如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b2向量a，b的夹角a，b的范围是0，如果a，b，那么向量a，b互相垂直，记作ab1
2、当a，b0和a，b时，向量a与b有什么关系？提示：当a，b0时，a与b同向；当a，b时，a与b反向2若ab0，则一定有ab吗？为什么？提示：若ab0，则不一定有ab，也可能a0或b0.3a，b，a，b，a，b，a，b，它们有什么关系？提示：a，ba，ba，b，a，ba，b如图，在正方体ABCDABCD中，求下列各对向量的夹角：(1)，；(2)，；(3)，解：(1)，又CAB45，45.(2)，180，18045135.(3)，90.知识点二空间向量的数量积1数量积的定义已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.即ab|a|b|cosa，b2数量积的性质(1)
3、若a，b为非零向量，则abab0；(2)aa|a|a|cosa，a|a|2a2；(3)ae|a|cosa，e(其中e为单位向量)；(4)若a，b为非零向量，则cosa，b.3数量积的运算律(1)(a)b(ab)，R；(2)交换律：abba；(3)分配律：a(bc)abac1向量的数量积运算是否满足结合律？提示：不满足2对于向量a，b，若abk，能否写成a？提示：不能向量没有除法运算1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)零向量与任意向量的数量积为0.()(2)对于任意向量a，b，c，都有(ab)ca(bc)()(3)若abbc，且b0，则ac.()答案：(1)(2)(3)2已知空间向量a
4、，b，|a|2，|b|，ab2，则a，b_解析：cosa，b，a，b.答案：3已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则_，_解析：如图，|cos，aacos 45a2.|cos，aacos 60a2.答案：a2a2知识点三投影向量及直线与平面所成的角1投影向量(1)向量a在向量b上的投影先将向量a与向量b平移到同一平面内，如图向量c称为向量a在向量b上的投影向量(2)向量a在直线l上的投影如图向量c称为向量a在直线l上的投影(3)向量a在平面上的投影如图分别由向量a的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为A，B，则向量(a)称为向量a在平面上的投影向量2直线与平面所成的角如图向量a与向
5、量a的夹角就是向量a所在直线与平面所成的角1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)向量a在向量b上的投影向量c|a|cosa，b.()(2)向量a在直线l上的投影是一个数量()(3)向量a在平面上的投影是一个向量()答案：(1)(2)(3)2. 如图所示，直线l平面，若m，n且向量i，j，k分别是直线l，m，n的方向向量，则ij_，ik_答案：00空间向量数量积的运算例1(链接教科书第7页例2)已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示求：(1)；(2)()()解在正四面体OABC中，|1.，60.(1)|cosAOB11cos 60.(2)()()()()()(2)2222212211c
6、os 60211cos 6012211cos 60111111.母题探究(变条件，变设问)在本例条件下，若E，F分别是OA，OC的中点，求值：(1)；(2)；(3).解：(1)|cos，cos 60.(2)|2.(3)|cos，cos 120.求空间向量数量积的步骤(1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积；(3)代入ab|a|b|cosa，b求解 跟踪训练已知a3p2q，bpq，p和q是相互垂直的单位向量，则ab()A1B2C3 D4解析：选Apq且|p|q|1，ab(3p2q)(pq)3p2pq2q23021.利用空
7、间向量的数量积求夹角例2(链接教科书第8页练习1题)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1(即A1A平面ABC)中，ACABAA1，BC2AE2，则异面直线AE与A1C所成的角是()A30 B45C60 D90解析A1A平面ABC，A1AAB，A1AAC.ACAB，BC2，ABAC.又BC2AE2，E为BC的中点，()AA1，A1C2.()()|21，cos，60，即异面直线AE，A1C所成的角是60.答案C利用数量积求夹角或其余弦值的步骤注意求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角 跟踪训练如图，在四面体OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC
8、45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值解：因为，所以|cos，|cos，84cos 13586cos 1201624.所以cos，即OA与BC所成角的余弦值为.利用空间向量的数量积证明垂直例3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD.证明设a，b，c，则ab0，bc0，ac0，|a|b|c|.()cab，ba，()abc.(ba)cbcaaba2b2ba(b2a2)(|b|2|a|2)0.于是，即A1OBD.同理可证，即A1OOG.又BDOGO，于是有A1O平面GBD.用向量法证明几何中垂直关系问题的思路(1)要证两直线
9、垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可；(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可 跟踪训练如图，在四面体OACB中，OBOC，ABAC，求证OABC.证明：因为OBOC，ABAC，OAOA，所以OACOAB，所以AOCAOB.又()|cos AOC|cosAOB0，所以，即OABC.利用空间向量的数量积求距离(即线段长度)例4(链接教科书第7页例2)已知正方形ABCD，ABEF的边长均为1，且平面ABCD平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|BN|a(0a)(1)求线段MN的长；(2)当a为
10、何值时，线段MN最短？解(1)由已知得|，|，()()，| (0a)即MN的长度为 (0a)(2)由(1)知当a，即M，N分别是AC，BF的中点时，MN的长度最小，最小值为.1求两点间的距离或线段长度的方法(1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用|a|，通过计算求出|a|，即得所求距离2本题中M，N分别为AC，BF上的动点，因此CM，BN的长度是变量，故MN的长度是一个关于a的函数，MN长度的最小值的求解用到了二次函数的有关知识，体现了函数思想的运用 跟踪训练如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1
11、C1的中点，求EF的长解：设a，b，c.由题意，知|a|b|c|2，且a，b60，a，cb，c90.因为abc，所以|22a2b2c22222222222cos 6011415，所以|，即EF.1(多选)设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有()Aa2|a|2 B.C(ab)2a2b2 D(ab)2a22abb2解析：选AD由数量积的性质和运算律可知A、D是正确的2已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则的值为()A1 B0C1 D2解析：选C()()，则(|2|2)1，故选C.3设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，
12、则BCD是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定解析：选B，()()2|20，cosCBDcos，0，CBD为锐角，同理，BCD与BDC均为锐角，BCD为锐角三角形4已知空间向量a，b，c中每两个向量的夹角都是，且|a|4，|b|6，|c|2，则|abc|_解析：|a|4，|b|6，|c|2，且a，ba，cb，c，|abc|2(abc)(abc)|a|2|b|2|c|22ab2ac2bc|a|2|b|2|c|22|a|b|cosa，b2|a|c|cosa，c2|b|c|cosb，c426222464262100，|abc|10.答案：105.在如图所示的平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCDA1B1C1D1中，ABADAA11，BADBAA1DAA160，则AC1的长为_解析：由于，则|2()22222221113211cos 606.|.答案：
