1、正弦定理、余弦定理的综合应用 一、选择题1若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15B北偏西15C北偏东10D北偏西10B如图所示，由ACBC得CABCBA45利用内错角相等可知，点A位于点B的北偏西15，故选B2在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30，60，则塔高为()A mB mC mD mA如图，由已知可得BAC30，CAD30，BCA60，ACD30，ADC120，又AB200 m，AC m在ACD中，由正弦定理，得，即DC(m)3(2021武昌区模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40的方向直线
2、航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A6海里B6海里C8海里D8海里A由题意可知：BAC704030，ACD110，ACB1106545，ABC1803045105又AB240.512，在ABC中，由正弦定理得，即，BC6，故选A4已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos 2Acos 2B2cos 2C，则cos C的最小值为()ABCDC因为cos 2Acos 2B2cos 2C，所以12sin2A12sin2B24sin2C，得a2b22c2，cos C，当且仅
3、当ab时等号成立，故选C5在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(abc)(abc)3ab，且c4，则ABC面积的最大值为()A8B4C2DB由已知等式得a2b2c2ab，则cos C由C(0，)，所以sin C又16c2a2b2ab2ababab，则ab16，所以SABCabsin C164故Smax4故选B6已知ABC中，BC边上的中线AD3，BC4，BAC60，则ABC的周长为()A4B44C54D24A根据余弦定理：AB2AD2BD22ADBDcosADB1312cosADB，AC2AD2CD22ADCDcosADC1312cosADC，AB2AC226，又BC2AB
4、2AC22ABACcosBAC26ABAC16，ABAC10，(ABAC)2AB2AC22ABAC262046，所以ABC的周长为ABACBC4，故选A二、填空题7一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时_海里10如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在RtABC中，AC10，CAB60，得AB5，于是这艘船的速度是10(海里/时)8在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin Bbcos A若a4，则AB
5、C周长的最大值为_12由正弦定理，可将asin Bbcos A转化为sin Asin Bsin Bcos A又在ABC中，sin B0，sin Acos A，即tan A0A，A由于a4，由余弦定理得a2b2c22bccos A，得16b2c22bcb2c2bc(bc)23bc，又bc，(bc)264，即bc8，abc129如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD，2ABBD，BC2BD，则sin C的值为_设ABa，ABAD，2ABBD，BC2BD，ADa，BD，BC在ABD中，cosADB，sinADB，sinBDC在BDC中，sin C三、解答题10(2021福州模拟)ABC的内角
6、A，B，C的对边分别为a，b，c，设bsin Aa(2cos B)(1)求B；(2)若ABC的面积等于，求ABC的周长的最小值解(1)因为bsin Aa(2cos B)由正弦定理得sin Bsin Asin A(2cos B)显然sin A0，所以sin Bcos B2所以2sin2，B(0，)所以B，B(2)依题意，ac4所以ac24，当且仅当ac2时取等号又由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac3ac12b2当且仅当ac2时取等号所以ABC的周长最小值为4211如图，在平面四边形ABCD中，ABAD，AB1，AD，BC(1)若CD1，求四边形ABCD的面积；(2)若sinBC
7、D，ADC，求sinADC解(1)连接BD，在RtABD中，由勾股定理可得，BD2AB2AD24，故BD2，BCD中，由余弦定理可得，cos C，因为C为三角形的内角，故C，所以SABDABAD1，SBCDBCCDsin C(1)，故求四边形ABCD的面积S(2)在BCD中，由正弦定理可得，所以sinBDC，因为ADC，所以BDC，cosBDC，RtABD中，tanADB，故ADB，所以sinADCsin1(2021南昌模拟)在ABC中，角A的平分线交BC边于点D，AB4，AC6，AD3，则BC()ABC3D8A由角平分线性质可得，故可设BD2x，CD3x，ABD中，由余弦定理可得，cosAD
8、B，ACD中，由余弦定理可得，cosADC，ADBADC，cosADBcosADC，解可得x，BC5x，故选A2圭表(如图)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至图是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即ABC)为26.5，夏至正午太阳高度角(即ADC)为73.5，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a，则表高(即AC的长)为()图
9、图ABCDD由题可知：BAD73.526.547，在BAD中，由正弦定理可知：，即，则AD，又在ACD中，sinADCsin 73.5，所以AC，故选D3如图，在平面四边形ABCD中，D，sinBACcos B，AB13(1)求AC；(2)求四边形ABCD面积的最大值解(1)在三角形ABC中，sinBACcos B，可得ACBC，AB13，所以BCABcos B135，ACABsin B1312，所以AC12(2)S四边形ABCDSABCSADCACBCADCDsin D125ADCD30ADCD，在三角形ADC中，AC2AD2CD22ADDCcos 2ADDCDC3ADDC，所以3ADDCA
10、C2122，所以ADDC48，所以S四边形ABCD30483012所以四边形ABCD面积的最大值为30121(2021泉州模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则图中海洋蓝洞的口径为_80由已知得，在ACD中，ACD15，ADC150，所以DAC15，由正弦定理得AC40()在BCD中，BDC15，BCD135，所以DBC30，由正弦定理，得BC160sin 1540()在ABC中，由
11、余弦定理，得AB21 600(84)1 600(84)21 600()()1 600161 60041 6002032 000，解得AB80故图中海洋蓝洞的口径为802在RtABC中，ACB90，点D，E分别在边AB，BC上，CD5，CE3，且EDC的面积为3(1)求边DE的长；(2)若AD3，求sin A的值解(1)如图，在ECD中，SECDCECDsinDCE35sinDCE3，所以sinDCE因为0DCE90，所以cosDCE所以DE2CE2CD22CDCEcosDCE92523528，所以DE2(2)因为ACB90，所以sinACDsin(90DCE)cosDCE，在ADC中，由正弦定理得，即，所以sin A
