1、14导数在实际生活中的应用1.通过实例，初步学会运用导数知识解决生活中的优化问题(如求利润最大、用料最省、效率最高等)2掌握解决优化问题的方法步骤并运用1生活中经常遇到求用料最省、利润最大、效率最高等问题，我们通常把这些问题称为优化问题(有时也可以称为最值问题)2利用导数解决优化问题的实质是建立数学模型3解决优化问题的基本思路1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题()(2)生活中的优化问题都必须利用导数解决()(3)生活中的优化问题中若函数只有一个极值点，则它就是最值点()答案：(1)(2)(3)2某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，
2、存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0，0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为_解析：依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x(0，0.048 6)所以银行的收益是y0.048 6kx2kx3(0x0.048 6)，则y0.097 2kx3kx2.令y0，得x0.032 4或x0(舍去)当0x0.032 4时，y0；当0.032 4x0.048 6时，y0.所以当x0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银
3、行获得最大收益答案：0.032 43内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为_解析：设圆柱体的高为2h，则底面半径为，所以圆柱体的体积V(R2h2)2h2R2h2h3，则V2R26h2.令V0，得hR，即当2hR时，圆柱体的体积最大答案：R面积、体积的最值问题在高为H、底面半径为R的圆锥内作一内接圆柱体，则圆柱体的半径r为多大时：(1)圆柱体的体积最大？(2)圆柱体的表面积最大？【解】设圆柱体的底面半径为r，高为h，体积为V，表面积为S，设ABC中BC边上的高为H，如图所示则Vr2h，S2r22rh.，所以hH，所以Vr2HHr2r3(0rR)，S2r22rH2r22r22Hr(0rR)(1
4、)V2rH3r2.令V0得rR(0rR)由于在(0，R)内函数只有一个导数为零的点，问题中体积的最大值显然存在，故当rR时，体积最大，最大体积为VmaxHR2H.(2)S4r2H4H，令S0，得r，0rR，即02R，即当H2R时，r.由于在(0，R)内函数只有一个导数为零的点，问题中表面积的最大值显然存在，故当r时，表面积最大，最大表面积为Smax(H2R)解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值 1.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm
5、2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解：设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x20，其中x20，y25.两栏面积之和为2(x20)18 000，由此得y25.广告的面积Sxyx(25)25x，所以S2525.令S0得x140，令S0得20x140.所以函数在(140，)上单调递增，在(20，140)上单调递减，所以S(x)的最小值为S(140)当x140时，y175，即当x140，y175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的
6、面积最小利润最大问题某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q(x0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数，如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？【解】(1)由题意，每年销售Q万件，共计成本为(32Q3)万元销售收入是(32Q3)150%x50%，所以年利润y年收入年成本年广告费(32Q3x)
7、(323x)(x0)，所以所求的函数关系式为y(x0)当x100时，y0；x(7，)时，f(x)0，所以f(x)极大值f(7)42.又因为在(0，)上只有一个极值点，所以f(x)maxf(x)极大值f(7)42.故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大(1)利润(收益)销售额成本，在有关利润(收益)的问题中，注意应用此公式列出函数关系式，然后利用导数的知识并结合实际问题求出相应最值(2)在实际问题中，若某函数在所给区间上只有一个极值，则该极值即为相应的最值这是实际问题中求最值的常用方法 2.市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售 a件，通过改进工艺，产
8、品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价格提高的百分率为x(0x1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元)(1)写出y关于x的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1x)，月平均销售量为a(1x2)件，则月平均利润ya(1x2)20(1x)15(元)，所以y关于x的函数关系式为y5a(14xx24x3)(0x1)(2)由y5a(42x12x2)0，得 x1，x2(舍去)，当0x时，y0；当x1时，y0，所以函数y
9、5a(14xx24x3)(0x1)在x处取得最大值故改进工艺后，产品的销售价为 2030元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大用料(费用)最省问题现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？【解】(1)依题意得y(9600.6x2)300x，且由题意知，函数的定义域为(0，35，即y300
10、x(0x35)(2)由第一问知，y300，令y0，解得x40或x40(舍去)，因为函数的定义域为(0，35，所以函数在定义域内没有极值点又当0x35时，y0)，所以g(x)(x0)，令g(x)0，则x8，当0x8时，g(x)8时，g(x)0，所以x8时，函数取得极小值，且为最小值故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4
11、)写出答案注意根据课程标准的规定，有关函数最大值、最小值的实际问题一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个点使f(x)0，且该函数在这个点有极大(小)值，那么不与端点值比较，就可以知道这就是最大(小)值工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为p(c为常数，且0c6)已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数；(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？【解】(1)当xc时，p，yx3x0；当0xc时，p，所以yx3x.所以日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为y(c为常数
12、，且0c6)(2)由(1)知，当xc时，日盈利额为0.当0xc时，因为y，所以y.令y0，得x3或x9(舍去)所以当0c3时，y0，所以y在区间(0，c上单调递增，所以y最大值.当3c6时，在(0，3)上，y0，在(3，c)上，y0，所以y在(0，3)上单调递增，在(3，c)上单调递减所以y最大值.综上，若0c3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若3c0，yx281(9x)(9x)，令y0，解得x9或x9(舍去)，当x(0，9)时，y0，当x(9，)时，y0，所以y先增后减所以当x9时函数取得最大值选C2将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为()A2和6 B4和4C3和5 D
13、以上都不对解析：选B设一个数为x，则另一个数为8x，其立方和yx3(8x)3512192x24x2且0x8，则y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.当0x4时，y0；当40，所以当x4时，y取得极小值，也是最小值所以这两个数为4和4.3某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200x)件，当每件商品的定价为_元时，利润最大解析：利润为S(x)(x30)(200x)x2230x6 000，S(x)2x230，由S(x)0得x115，这时利润最大为7 225元答案：1154某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)x2(0x60)，则当箱子的容积最大时，箱子的
14、底面边长为_解析：V(x)，V(x)x260x.令V(x)0，得x40.因为0x0；40x60时，V(x)0)，则L(x)2.令L(x)0，解得x16(x16舍去)故当x16时，L(x)取得最小值，此时长为32(m)4某出版社出版一读物，一页上所印文字占去150 cm2，上、下要留1.5 cm空白，左、右要留1 cm空白，出版商为节约纸张，应选用的尺寸为()A左右长12 cm，上下长18 cmB左右长12 cm，上下长19 cmC左右长11 cm，上下长18 cmD左右长13 cm，上下长17 cm解析：选A设所印文字区域的左右长为x cm，则上下长为 cm，所以纸张的左右长为(x2)cm，上
15、下长为cm，所以纸张的面积S(x2)3x156.所以S3，令S0，解得x10.当x10时，S单调递增；当0x10时，S单调递减所以当x10时，Smin216(cm2)，此时纸张的左右长为12 cm，上下长为18 cm.故当纸张的边长分别为12 cm，18 cm时最节约5圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径之比为()A21 B12C14 D41解析：选A设其体积为V，高与底面半径分别为h，r，则Vr2h，即h.由题意，知当表面积S最小时所用材料最省S2r22rh2r22r2r2.令S4r0，得r，当r时，h，则hr21时，所用材料最省6设底为等边三角
16、形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为_解析：设底面边长为x，高为h，所以x2hV，所以h.所以S表2x23xhx2，S(x)x，令S(x)0可得x，所以x34V，所以x.答案：7某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n，所以总运费与总存储费之和f(x)4n4x4x，令f(x)40，解得x20，x20(舍去)，x20是函数f(x)的最小值点，故当x20时，f(x)最小答案：208海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最
17、大航速为30千米/时，当速度为10千米/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)是每小时400元如果甲、乙两地相距800千米，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为_解析：设航速为v(0v30)，燃料费为m，则mkv3，因为v10时，m25，代入上式得k，则总费用ym40020v2，所以y40v.令y0，得v20.经判断知v20时，y最小答案：20千米/时9.用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器高为x
18、cm，容器的容积为V(x)cm3，则V(x)x(902x)(482x)4x3276x24 320x(0x24)，V(x)12x2552x4 32012(x246x360)12(x10)(x36)令V(x)0，得x110，x236(舍去)，当0x0，V(x)为增函数；当10x24时，V(x)0，V(x)为减函数；因此，在定义域(0，24)内，函数V(x)只有当x10时取得最大值，其最大值为V(10)10(9020)(4820)19 600(cm3)故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.10.如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为
19、O，半径为100 m，其与城站路一边所在直线l相切于点M，MO的延长线交圆O于点N，A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在ABM内进行绿化，设ABM的面积为S(单位：m2)(1)以AON(rad)为自变量，将S表示成的函数；(2)求使绿化面积最大时点A的位置及最大绿化面积解：(1)由题意知，BM100sin ，AB100100cos ，故S5 000sin (1cos )(0)(2)因为S5 000sin (1cos )(0)，所以S5 000(cos cos2sin2)5 000(2cos2cos 1)5 000(cos 1)(2cos 1)令S0，得cos 或co
20、s 1(舍去)，又(0，)，故.当0时，cos 0；当时，1cos ，S0.故当时，S取得极大值，也是最大值，最大值为3 750，此时AB150.即当点A距路边的距离为150 m时，绿化面积最大，最大面积为3 750 m2.B能力提升1若球的半径为R，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为()A2R2 BR2C4R2 DR2解析： 选A设内接圆柱的高为h，底面半径为x，则x ，所以S侧2xh2h 2 ，令tR2h2，则t2R2hh3，令t0，得hR(舍负)或h0(舍去)，当0h0，当Rh2R时，t0，所以当hR时，圆柱的侧面积最大所以侧面积的最大值为22R2，故应选A2已知矩形的两个顶点位于x
21、轴上，另两个顶点位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形面积最大时的长和宽分别为_解析：设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x，y)，其中0x0，则另一个在抛物线上的顶点为(x，y)，在x轴上的两个顶点分别为(x，0)，(x，0)设矩形的面积为S，则S2x(4x2)(0x2)，则S86x2.令S0，得x或x(舍去)当0x0；当x2时，S0.因此，当x时，S取得极大值，也就是最大值，此时，2x，4x2.所以矩形的长和宽分别为和时，矩形的面积最大答案：和3某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量p(L)关于行驶速度v(km/h)的函数解析式可以表示为：pv3v8(0v120)已知甲、乙两地相距
22、100 km，设汽车的行驶速度为x(km/h)，从甲地到乙地所需时间为t(h)，耗油量为y(L)(1)求函数tg(x)及yf(x)的解析式；(2)求当x为多少时，y取得最小值，并求出这个最小值解：(1)从甲地到乙地汽车的行驶时间为tg(x)(0x120)，则yf(x)ptx2(0x120)(2)y，由y0，得x80，列出下表：x(0，80)80(80，120)f(x)0f(x)极小值11.25所以，当x80时，y取得极小值也是最小值11.25.即当汽车的行驶速度为80 km/h时，耗油量最少为11.25 L.4(选做题)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建
23、一条连接两条公路和山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型(1)求a，b的值；(2)该公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度解：(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)将其分别代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，则点P的坐标为(t，)设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B两点，y，则l的方程为y(xt)，由此得A(，0)，B(0，)故f(t) ，t5，20设g(t)t2，则g(t)2t.令g(t)0，解得t10.当t(5，10)时，g(t)0，g(t)是减函数；当t(10，20)时，g(t)0，g(t)是增函数从而，当t10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min300，此时f(t)min15.故当t10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米
