1、考点规范练26平面向量基本定理及向量的坐标表示基础巩固1.向量a=(3,2)可以用下列向量组表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案:B解析:由题意知,A选项中e1=0,C,D选项中两个向量均共线,都不符合基底条件,故选B.2.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=a+b(,R),则=()A.2B.4C.12D.14答案:B解析:以向量a和b的交点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1),则A(1,-1),B(6,2)
2、,C(5,-1).所以a=AO=(-1,1),b=OB=(6,2),c=BC=(-1,-3).c=a+b,(-1,-3)=(-1,1)+(6,2),-+6=-1,+2=-3,解得=-2,=-12,=4.3.在ABCD中,AD=(2,8),AB=(-3,4),对角线AC与BD相交于点M,则AM=()A.-12,-6B.-12,6C.12,-6D.12,6答案:B解析:因为在ABCD中,有AC=AB+AD,AM=12AC,所以AM=12(AB+AD)=12(-1,12)=-12,6,故选B.4.在ABC中,点P在BC上,且BP=2PC,点Q是AC的中点.若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC
3、等于()A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)答案:B解析:如图,取BP的中点D,连接AD,则DA=2PQ,DP=PC.BC=3DP=3(DA+AP)=3(2PQ-PA)=6PQ-3PA=(6,30)-(12,9)=(-6,21).5.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=a+b(,为实数),则m的取值范围是()A.(-,2)B.(2,+)C.(-,+)D.(-,2)(2,+)答案:D解析:因为平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=a+b(,为实数),所以a,b一定不共线,所以3m-2-2m
4、0,解得m2,所以m的取值范围是(-,2)(2,+),故选D.6.(2020浙江绍兴期中)已知a=(1,-3),b=(-2,1),且(a+2b)(ka-b),则实数k=()A.-2B.2C.12D.-12答案:D解析:由已知得a+2b=(-3,-1),ka-b=(k+2,-3k-1).(a+2b)(ka-b),(-3)(-3k-1)=(-1)(k+2),解得k=-12.7.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面第一象限内一点,且AOC=4,且|OC|=2.若OC=OA+OB,则+=()A.22B.2C.2D.42答案:A解析:因为A(1,0)|OC|=2,AOC
5、=4,C为坐标平面第一象限内一点,所以C(2,2).又因为OC=OA+OB,所以(2,2)=(1,0)+(0,1)=(,).所以=2,所以+=22.8.已知平面内有三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),且ABAC,则x的值为.答案:1解析:由题意,得AB=(3,6),AC=(x,2).ABAC,6x-6=0,解得x=1.9.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.答案:(-1,1)或(-3,1)解析:由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或a+b=(-1,0),则a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a=(-1,0)-
6、(2,-1)=(-3,1).10.如图,在ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点.已知AM=c,AN=d,则AB=,AD=.(用c,d表示)答案:23(2d-c)23(2c-d)解析:设AB=a,AD=b.因为M,N分别为DC,BC的中点,所以BN=12b,DM=12a.又c=b+12a,d=a+12b,所以a=23(2d-c),b=23(2c-d),即AB=23(2d-c),AD=23(2c-d).能力提升11.在ABC中,点D在线段BC的延长线上,且BC=3CD,点O在线段CD上(与点C,D不重合).若AO=xAB+(1-x)AC,则x的取值范围是()A.0,12B.0,13C.-12,
7、0D.-13,0答案:D解析:依题意,设BO=BC,其中143,则AO=AB+BO=AB+BC=AB+(AC-AB)=(1-)AB+AC.又AO=xAB+(1-x)AC,且AB,AC不共线,于是有x=1-13,0,即x的取值范围是-13,0.12.若,是一组基底,向量=x+y(x,yR),则称(x,y)为向量在基底,下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为()A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)答案:D解析:a在基底p,q下的坐标为(-2,2),a=-2p+2q=(2,
8、4).令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),则-x+y=2,x+2y=4,解得x=0,y=2.13.如图,在OAB中,P为线段AB上的一点,OP=xOA+yOB,且BP=2PA,则()A.x=23,y=13B.x=13,y=23C.x=14,y=34D.x=34,y=14答案:A解析:由题意知OP=OB+BP,又BP=2PA,所以OP=OB+23BA=OB+23(OA-OB)=23OA+13OB,所以x=23,y=13.14.(2020内蒙古鄂尔多斯校级一模)已知在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,A(0,2),|OB|2+|OA|2=20,若平面内点P满足PB=3PA,则|PO|的最
9、大值为()A.7B.6C.5D.4答案:C解析:设P(x,y),B(m,n),则PB=(m-x,n-y),PA=(-x,2-y).由PB=3PA,可得m-x=-3x,n-y=6-3y,即m=-2x,n=6-2y.因为|OB|2+|OA|2=20,所以4x2+(6-2y)2+4=20,整理得x2+(y-3)2=4,故点P的轨迹为圆心为(0,3),半径为2的圆.故|PO|的最大值为3+2=5.15.在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且3aBC+4bCA+5cAB=0,则abc=.答案:201512解析:3aBC+4bCA+5cAB=0,3a(BA+AC)+4bCA+5cAB=0.(3a-5c)BA+(3a-4b)AC=0.在ABC中,BA,AC不共线,3a=5c,3a=4b,解得c=35a,b=34a.abc=a34a35a=201512.高考预测16.如图,在ABC中,AD=13DC,E是BD上的一点,若AE=mAB+527AC,则实数m的值为.答案:727解析:设BE=tBD=t(AD-AB)=14tAC-tAB,0t1,则AE=AB+BE=AB+14tAC-tAB=(1-t)AB+t4AC.AE=mAB+527AC,mAB+527AC=(1-t)AB+t4AC,m=1-t,527=t4,解得m=727.
