1、第8节机械能守恒定律1动能和势能统称为机械能，即EEkEp。2在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变，这叫做机械能守恒定律。3机械能守恒定律的表达式为：EklEplEk2Ep2或EkEp。4在只有重力做功时，重力势能与动能相互转化，二者之和保持不变；在只有系统内的弹力做功时，弹性势能和动能相互转化，二者之和保持不变。5机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功。一、 动能与势能的相互转化1动能与重力势能间的转化只有重力做功时，若重力做正功，则重力势能转化为动能；若重力做负功，则动能转化为重力势能。2动能与弹性势能间的转化只有弹力做功时，若弹力做正功，则弹性势能
2、转化为动能；若弹力做负功，则动能转化为弹性势能。3机械能动能和势能(包括重力势能和弹性势能)统称为机械能，即EEkEp。二、 机械能守恒定律1推导物体自由下落过程中经过A、B两位置，如图781所示。图7812内容在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。3守恒条件物体系统内只有重力或弹力做功。4常用表达式(1)Ek1Ep1Ek2Ep2。(2)Ek2Ek1Ep1Ep2，即EkEp。(3)EAEB。1自主思考判一判(1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转换。()(2)物体的机械能一定是正值。()(3)合力为零，物体的机械能一定守恒。()(4)合力做功为零，
3、物体的机械能一定守恒。()(5)只有重力做功，物体的机械能一定守恒。()2合作探究议一议(1)毛泽东的诗词中曾写到“一代天骄成吉思汗，只识弯弓射大雕”。试分析成吉思汗在弯弓射雕过程中，涉及机械能中哪些能量之间的转化？图782提示：箭被射出过程中，弹性势能转化为箭的动能；箭上升过程中，动能向重力势能转化；下落过程中，重力势能又向动能转化。(2)用细绳把铁锁吊在高处，并把铁锁拉到鼻子尖前释放，保持头的位置不动，铁锁摆回来时，会打到鼻子吗？试试看，并解释原因。图783提示：不会打到鼻子。联想伽利略的理想斜面实验，若没有阻力，铁锁刚好能回到初位置，遵循机械能守恒定律。若存在阻力，机械能损失，铁锁速度为
4、零时的高度低于开始下落时的高度，铁锁一定不能到达鼻子的位置。机械能守恒的判断1对机械能守恒条件的理解(1)从能量转化的角度看，系统内只有动能和势能相互转化，而没有其他形式能量(如内能)的转化，并且系统与外界没有任何能量转化，则系统的机械能守恒。(2)从做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现如下：只受重力作用，例如所有做抛体运动的物体机械能守恒。系统内只有重力和弹力作用，如图784甲、乙、丙所示。图784图甲中，小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力则只有重力做功，小球的机械能守恒。图乙中，各接触面光滑，A自B上端自由下滑的过程中，只有重力和A、B间的弹力做功，A、B组成的系
5、统机械能守恒。但对A来说，B对A的弹力做负功，这个力对A来说是外力，A的机械能不守恒。图丙中，不计空气阻力，球在下落过程中，只有重力和弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒。但对球来说，机械能不守恒，这一点需要特别注意。2判断机械能守恒的方法(1)做功分析法(常用于单个物体)(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)1如图所示，下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的。图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动。在四个图所示的运动过程中机械能守恒的是()解析：选C根据力的做
6、功情况来判断机械能守恒的条件是只有重力(弹力)做功。在图A、B中木块受三个力作用，即重力、支持力和外力F，因外力F做功，故机械能不守恒。图D中因有摩擦力做功，机械能亦不可能守恒。只有图C中除重力做功外，其他力不做功，故机械能守恒。2物体在平衡力作用下，下列说法正确的是()A物体的机械能一定不变B物体的机械能一定增加C物体的机械能一定减少D以上说法都不对解析：选D物体在平衡力的作用下，保持静止状态或匀速直线运动状态。如果保持静止状态，机械能不变。如果保持匀速直线运动状态，就有多种情况：当物体在水平面上做匀速直线运动时，物体的高度和速度都不变，那么它的动能和势能也不变，所以机械能不变；当物体向上做
7、匀速直线运动时，虽然速度不变，动能不变，但物体的位置升高，势能增加，所以机械能增加；当物体向下做匀速直线运动时，虽然速度不变，动能不变，但物体高度降低，势能减小，所以机械能减小。一对平衡力做功之和为零，物体动能不变，所以物体在平衡力作用下只能保证速度不变，不能保证高度不变，机械能可能增加，可能减少，也可能不变。3如图785所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力。在重物由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是()图785A重物的机械能守恒B重物的机械能增加C重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变D重
8、物与弹簧组成的系统机械能守恒解析：选D重物由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对重物做了负功，所以重物的机械能减少，故选项A、B错误；此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以重物与弹簧组成的系统机械能守恒，即重物减少的重力势能，等于重物获得的动能与弹簧的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。机械能守恒定律的应用1运用机械能守恒定律的基本思路(1)选取研究对象物体系统或物体。(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象初、末状态的机械能。(4)根据机械能守恒定律列方程，进行求解。2对几种表达式的理解(1)Ek1E
9、p1Ek2Ep2。这里应注意等式不是指某两个特别的状态，而是过程中的每一状态机械能的总量都是守恒的，但我们解题时往往选择与题目所述条件或所求结果相关的状态建立方程式。另外表达式中Ep是相对的，建立方程时必须选择合适的参考平面，且每一状态的Ep都应是对同一参考平面而言的。(2)EkEp，系统动能的增加量等于系统重力势能的减少量，可以不选择参考平面。(3)EAEB，将系统分为A、B两部分，A部分机械能的增加量等于另一部分B的机械能的减少量，可以不选择参考平面。3机械能守恒定律和动能定理的比较机械能守恒定律动能定理表达式E1E2EkEpEAEBWEk物理意义重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程
10、合外力对物体做的功是动能变化的量度应用范围只有重力或弹力做功无条件限制关注角度守恒的条件和初末状态机械能的形式及大小动能的变化及合外力做功情况典例如图786所示，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点。已知h2 m，s m。取重力加速度大小g10 m/s2。图786(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小。审题指导(1)小环运动过程中只有重力做功，机械能守恒。(2)小环在bc段轨道运动时，与轨道之
11、间无相互作用力，说明小环的运动为平抛运动。(3)要想求得环到达c点时速度的水平分量的大小，应先确定c点速度与水平方向的夹角。解析(1)小环在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，即小环在该段以某一初速度vb做平抛运动，运动轨迹与轨道bc重合，故有svbthgt2从ab滑落过程中，小环机械能守恒，选b点为参考平面，则有0mgRmvb20联立三式可得R0.25 m。(2)小环在下滑过程中，初速度为零，只有重力做功，小环机械能守恒，再选c点为参考平面，则有0mghmvc20因为小环滑到c点时与竖直方向的夹角等于(1)问中做平抛运动过程中经过c点时速度与竖直方向的夹角，设为，则根据平抛运动规律可知
12、sin 根据运动的合成与分解可得sin 联立可得v水平 m/s答案(1)0.25 m(2) m/s机械能守恒定律表达式的灵活选取(1)单个物体机械能守恒的问题，可应用表达式Ek1Ep1Ek2Ep2或EkEp列式求解。(2)两个物体组成的系统机械能守恒的问题，若一个物体的动能、势能都在增加，另一个物体的动能、势能都在减小，可优先考虑应用表达式EAEB列式求解；若两个物体的动能都在增加(或减小)，势能都在减小(或增加)，可优先考虑应用表达式EkEp列式求解。 1在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小()A一样大B水平抛的最大
13、C斜向上抛的最大 D斜向下抛的最大解析：选A三个小球被抛出后，均仅在重力作用下运动，机械能守恒，以地面为参考平面，设抛出点的高度为h，并设小球的质量为m，根据机械能守恒定律可得：mv2mv02mgh，解得小球的末速度大小为：v，与小球抛出的方向无关，即三球的末速度大小相等，故选项A正确。2.某同学身高1.8 m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8 m高度的横杆(如图787所示)，据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为(g取10 m/s2)()图787A2 m/s B4 m/sC6 m/s D8 m/s解析：选B将该同学视为做竖直上抛运动，整个过程机械能守恒，取地面为参考平面
14、，最高点速度为零，由Ek1Ep1Ek2Ep2得：mv02mgh1mgh2，其中h1为起跳时该同学重心的高度，即h10.9 m，代入数据得起跳速度v04.2 m/s。3(全国丙卷)如图788，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。图788(1)求小球在B、A两点的动能之比； (2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。解析：(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkAmg设小球在B点的动能为EkB，同理有EkBmg由式得5。
15、(2)若小球能沿轨道运动到C点，则小球在C点所受轨道的正压力N应满足N0设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有Nmgm由式得，vC应满足mgm由机械能守恒定律得mgmvC2由式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。答案：(1)5(2)能沿轨道运动到C点物体系统的机械能守恒典例如图789所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地接触，B物体距地面0.8 m，求：图789(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度；(2)B物体着地后A物体还能上升多高？(g取10 m/s2)解析(1)方法一：由E1E2。对A、
16、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为零势能参考平面，则mBghmAgh(mAmB)v2。v m/s2 m/s。方法二：由Ek增Ep减，得mBghmAgh(mAmB)v2，得v2 m/s。方法三：由EA增EB减，得mBghmBv2mAghmAv2得v2 m/s。(2)当B落地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，则A上升的高度由机械能守恒可得mAghmAvA2，h m0.2 m。答案(1)2 m/s(2)0.2 m值得关注的连接体问题中的两个关系(1)距离关系。也就是相互连接的两物体发生的位移关系。当一个物体上升另一个物体下降时，上升的竖直距离和下降的竖直距离不一定相等，一定要根据几何关
17、系找出它们之间的距离关系。(2)速度关系。也就是两物体间的速度大小关系。若是通过轻杆或轻绳连接的连接体，则它们沿着杆或绳子方向上的速度大小相等，根据这种速度关系找出它们之间的速度大小关系；通过轻杆连接的连接体，往往都是共轴，相同时间内转过的角度相等。 1.(多选)如图7810所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中下列说法中正确的是()图7810AM球的机械能守恒BM球的机械能减小CM和N组成的系统的机械能守恒D绳的拉力对N做负功解析：选BC因M下落的过
18、程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增加，但M和N组成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误。2.图7811所示的是一个横截面为半圆、半径为R的光滑柱面。一根不可伸长的细线两端分别系着物体A、B，且mA2mB。由图示位置从静止开始释放物体A，当物体B到达圆柱顶点时，求细线的张力对物体B所做的功。图7811解析：由于圆柱面是光滑的，故系统的机械能守恒。系统重力势能的减少量Ep减mAgmBgR，系统动能的增加量Ek增(mAmB)v2，由Ep减Ek增，得mAgmBgR(mAmB)v2，又mA2mB，联立以上两式得v2(1)gR，对物体B应用动能定理得，细线的
19、张力对物体B做的功WmBv2mBgRmBgR。答案：mBgR1关于机械能守恒的叙述，正确的是()A做匀速直线运动的物体机械能不一定守恒B做变速直线运动的物体机械能不可能守恒C合外力为零时，机械能一定守恒D只有重力对物体做功，物体的机械能不一定守恒解析：选A物体做匀速直线运动，意味着所受合外力为零，但并不一定满足机械能守恒的条件，故选项A正确，C错误；只要满足机械能守恒的条件，不论物体做变速直线运动，还是变速曲线运动，机械能均守恒，故选项B错误；只有系统内的重力对物体做功时，机械能一定守恒，故选项D错误。2.自由下落的物体，其动能与位移的关系如图1所示，则图中直线的斜率表示该物体的()图1A质量
20、B机械能C重力大小 D重力加速度解析：选C由机械能守恒定律，Ekmgh，动能Ek与位移h的关系图线的斜率表示该物体的重力大小，选项C正确。3.如图2所示，质量为m的小球以速度v0离开桌面。若以桌面为零势能面，则它经过A点时所具有的机械能是(不计空气阻力)()图2A.mv02mghB.mv02mghC.mv02D.mv02mg(Hh)解析：选C由机械能守恒定律可知，小球在A点的机械能与小球在桌面上的机械能相等，其大小为mv02，故C正确。4一物体由h高处自由落下，以地面为参考平面，当物体的动能等于势能时，物体经历的时间为()A.B.C. D以上都不对解析：选B设物体动能等于势能时速度为v，根据机
21、械能守恒mv2Epmgh，又mv2Ep，解得v，而物体做自由落体运动，vgt，解得t，B正确。5从地面竖直上抛两个质量不同的小球，设它们的初动能相同，当上升到同一高度时(不计空气阻力，选抛出点为参考面)，则()A所具有的重力势能相等B所具有的动能相等C所具有的机械能不等D所具有的机械能相等解析：选D因两小球质量不等，由重力势能表达式Epmgh可知，上升到同一高度时，所具有的重力势能不相等，选项A错误；上升过程中只有重力做功，故小球机械能守恒，因初始动能相同，机械能相等，故上升到同一高度时机械能相等，从而动能不相等，选项B、C均错误，D正确。6. (多选)两个质量不同的小铁块A和B，分别从高度相
22、同的都是光滑的斜面和圆弧面的顶点滑向底部，如图3所示。如果它们的初速度都为0，则下列说法正确的是()图3A下滑过程中重力所做的功相等B它们到达底部时动能相等C它们到达底部时速率相等D它们在最高点时的机械能和它们到达最低点时的机械能大小各自相等解析：选CD小铁块A和B在下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒，则由mgHmv2，得v，所以A和B到达底部时速率相等，故C、D正确；由于A和B的质量不同，所以下滑过程中重力所做的功不相等，到达底部时的动能也不相等，故A、B错误。7(全国甲卷)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳
23、均被水平拉直，如图4所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点，()图4AP球的速度一定大于Q球的速度BP球的动能一定小于Q球的动能CP球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力DP球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度解析：选C两球由静止释放到运动到轨迹最低点的过程中只有重力做功，机械能守恒，取轨迹的最低点为零势能点，则由机械能守恒定律得mgLmv2，v，因LPLQ，则vPvQ，又mPmQ，则两球的动能无法比较，选项A、B错误；在最低点绳的拉力为F，则Fmgm，则F3mg，因mPmQ，则FPFQ，选项C正确；向心加速度a2g，选项D错误。 8.(多选)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下
24、落，到最低点时距水面还有数米距离，如图5所示。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是()图5A运动员到达最低点前重力势能始终减小B蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加C蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒D蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关解析：选ABC运动员到达最低点前，重力一直做正功，重力势能始终减小，A正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，运动员所受蹦极绳的弹性力方向向上，所以弹性力做负功，弹性势能增加，B正确；蹦极过程中，由于只有重力和蹦极绳的弹性力做功，因而运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒，C正确；重力势能的改变只
25、与高度差有关，与重力势能零点的选取无关，D错误。9.(多选)如图6所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动，开始时OB与地面相垂直。放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是()图6AA处小球到达最低点时速度为0BA处小球机械能的减少量等于B处小球机械能的增加量CB处小球向左摆动所能达到的最高位置应高于A处小球开始运动时的高度D当支架从左向右回摆时，A处小球能回到起始高度解析：选BCD因A处小球质量大，位置高，所以三角支架处于不稳定状态，释放后支架就会向左摆动。摆
26、动过程中只有小球受到的重力做功，故系统的机械能守恒，B、D正确；设支架边长是L，则A处小球到最低点时小球下落的高度为L，B处小球上升的高度也是L，但A处小球的质量比B处小球的大，故有mgL的重力势能转化为小球的动能，因而此时A处小球的速度不为0，A错误；当A处小球到达最低点时有向左运动的速度，还要继续向左摆，B处小球仍要继续上升，因此B处小球能达到的最高位置比A处小球的最高位置还要高，C正确。10.如图7所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长
27、度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中()图7A圆环的机械能守恒B弹簧弹性势能变化了mgLC圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变解析：选B圆环沿杆下滑的过程中，圆环与弹簧组成的系统动能、弹性势能、重力势能之和守恒，选项A、D错误；弹簧长度为2L时，圆环下落的高度hL，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能增加了EpmghmgL，选项B正确；圆环释放后，圆环向下先做加速运动，后做减速运动，当速度最大时，合力为零，下滑到最大距离时，具有向上的加速度，合力不为零，选项C错误。11.滑板运动是一种陆地上的“冲浪运动”，滑板运动员可在不同的滑坡上滑
28、行。如图8所示，abcde为同一竖直平面内依次平滑连接的滑行轨道，其中bcd是一段半径R2.5 m的圆弧轨道，O点为圆心，c点为圆弧的最低点。运动员脚踩滑板从高H3 m处由静止出发，沿轨道自由滑下。运动员连同滑板可视为质点，其总质量m60 kg。忽略摩擦阻力和空气阻力，取g10 m/s2，求运动员滑经c点时轨道对滑板的支持力的大小。图8解析：运动员从开始滑下至c点，由机械能守恒定律得mgHmv2运动员滑至最低点时，由牛顿运动定律和向心力公式得FNmgm由得FNmg2 040 N。答案：2 040 N12.内壁及边缘均光滑的半球形容器的半径为R，质量分别为M和m(Mm)的两个小球(可看做质点)用
29、不可伸长的细线相连。现将M由静止从容器边缘内侧释放，如图9所示，试计算M滑到容器底时，两小球的速率。图9解析：将M和m看做一个整体，整体在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，当M滑到容器底时，M下降的高度为R，由几何关系知m升高的高度为R，设M滑到容器底时的速率为v，根据运动的合成与分解m的速率为v。根据机械能守恒定律有：MgRmgRMv2m2，解得v，m的速率v 。答案：m的速率： M的速率： 动能定理与机械能守恒定律的综合应用1(多选)滑块以速率v1靠惯性沿固定斜面由底端向上运动，当它回到出发点时速率变为v2，且v2v1。若滑块向上运动的位移中点为A，取斜面底端重力势能为零，则()A上升时
30、机械能减小，下降时机械能增大B上升时机械能减小，下降时机械能也减小C上升过程中动能和势能相等的位置在A点上方D上升过程中动能和势能相等的位置在A点下方解析：选BC由v2mgR，质点不能到达Q点CWmgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离DWmgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离解析：选C设质点到达N点的速度为vN，在N点质点受到轨道的弹力为FN，则FNmg，已知FNFN4mg，则质点到达N点的动能为EkNmvN2mgR。质点由开始至N点的过程，由动能定理得mg2RWfEkN0，解得摩擦力做的功为WfmgR，即克服摩擦力做的功为WWfmgR。设从N到Q的过程中克服摩擦力做功为W，则WW。从N到
31、Q的过程，由动能定理得mgRWmvQ2mvN2，即mgRWmvQ2，故质点到达Q点后速度不为0，质点继续上升一段距离。选项C正确。9.(多选)如图6，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则()图6Aa落地前，轻杆对b一直做正功Ba落地时速度大小为Ca下落过程中，其加速度大小始终不大于gDa落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg解析：选BD由题意知，系统机械能守恒。设某时刻a、b的速度分别为va、vb。此时刚性轻杆与竖直杆的夹角为，分别将va、v
32、b分解，如图。因为刚性杆不可伸长，所以沿杆的分速度v与v是相等的，即vacos vb sin 。当a滑至地面时90，此时vb0，由系统机械能守恒得mghmva2，解得va，选项B正确。同时由于b初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即杆对b先做正功后做负功，选项A错误。杆对b的作用先是推力后是拉力，对a则先是阻力后是动力，即a的加速度在受到杆的向下的拉力作用时大于g，选项C错误。b的动能最大时，杆对a、b的作用力为零，此时a的机械能最小，b只受重力和支持力，所以b对地面的压力大小为mg，选项D正确。正确选项为B、D。10(多选)(全国甲卷)如图7，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固
33、定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且ONMOMN。在小球从M点运动到N点的过程中，()图7A弹力对小球先做正功后做负功B有两个时刻小球的加速度等于重力加速度C弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零D小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差解析：选BCD在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且ONMOMN，则小球在M点时弹簧处于压缩状态，在N点时弹簧处于拉伸状态，小球从M点运动到N点的过程中，弹簧长度先缩短，当弹簧与竖直杆垂直时弹簧达到最短，这个过程中弹力对小球做负功，然后弹簧再伸长，弹
34、力对小球开始做正功，当弹簧达到自然伸长状态时，弹力为零，再随着弹簧的伸长弹力对小球做负功，故整个过程中，弹力对小球先做负功，再做正功，后再做负功，选项A错误。在弹簧与杆垂直时及弹簧处于自然伸长状态时，小球加速度等于重力加速度，选项B正确。弹簧与杆垂直时，弹力方向与小球的速度方向垂直，则弹力对小球做功的功率为零，选项C正确。由机械能守恒定律知，在M、N两点弹簧弹性势能相等，在N点动能等于从M点到N点重力势能的减小值，选项D正确。11.杂技演员甲的质量为M80 kg，乙的质量为m60 kg。跳板轴间光滑，质量不计。甲、乙一起表演节目。如图8所示。开始时，乙站在B端，A端离地面1 m，且OAOB。甲
35、先从离地面H6 m的高处自由跳下落在A端。当A端落地时，乙在B端恰好被弹起。假设甲碰到A端时，由于甲的技艺高超，没有能量损失。分析过程假定甲、乙可看做质点。(取g10 m/s2)问：图8(1)当A端落地时，甲、乙两人速度大小各为多少？(2)若乙在B端的上升可以看成是竖直方向，则乙离开B端还能被弹起多高？解析：(1)甲跳下直到B端弹起到最高点的过程中，甲、乙机械能守恒，有MgHMv甲2mv乙2mgh而v甲v乙，h1 m联立可解得v甲v乙2 m/s。(2)乙上升到最高点的过程中，机械能守恒，有：mv乙2mgh1，解得h13 m。答案：(1)2 m/s2 m/s(2)3 m12(全国甲卷)轻质弹簧原
36、长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图9所示。物块P与AB间的动摩擦因数0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动。重力加速度大小为g。图9(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。解析：(1)依题意，当弹簧竖直放置
37、，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能为Ep5mgl设P的质量为M，到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得EpMvB2Mg4l联立式，取Mm并代入题给数据得vB若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足mg0设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得mvB2mvD2mg2l联立式得vDvD满足式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出。设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得2lgt2P落回到AB上的位置与B点之间的距离为svDt联立式得s2l。(2)为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零。由式可知5mglMg4l要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有MvB2Mgl联立式得mMm。答案：(1)2l(2)mMm
