1、第6讲 直接证明与间接证明 考纲要求考点分布考情风向标1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点2015 年新课标卷第 24 题不等式的有关证明；2015 年新课标卷第 17 题考查数列的有关证明在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的1.直接证明(1)综合法.定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论
2、证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证明的结论).框图表示：PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ(其(2)分析法.定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.框图表示：QP1 P1P2 P2P3 得到一个明显成立的条件.2.间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.)最合理的是(A.反证法B.分析法C.综合法
3、D.前面三种方法都不合适B1.要证明 3 72 5，可选择的方法有以下几种，其中2.用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不大于 60”时，应假设()BA.三个内角都不大于 60B.三个内角都大于 60C.三个内角中至多有一个大于 60D.三个内角中至多有两个大于 60A.分析法B.综合法C.反证法D.分析法与综合法并用B 3.若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2b2c2abbcac.其证明过程如下：a，b，cR，a2b22ab，b2c22bc，a2c22Ac.又a，b，c不全相等，2(a2b2c2)2(abbcac)，a2b2c2abbcac.此证法是()A.分析法B.综合法AC
4、.间接证法D.分析法与综合法并用4.如下是证明 71 11 5的过程，其证法是()要证 71 11 5，只需证 7 5 111，即证(7 5)2(111)2，即证 35 11，即证 3511.3511 显然成立，71 11 5.考点 1 综合法 例 1：已知 a，b，c 为正实数，abc1.求证：(1)a2b2c213；(2)3a2 3b2 3c26.证明：(1)方法一，abc1，a2b2c21313(3a23b23c21)133a23b23c2(abc)213(3a23b23c2a2b2c22ab2ac2bc)13(ab)2(bc)2(ca)20.a2b2c213.方法二，(abc)2a2b
5、2c22ab2ac2bca2b2c2(a2b2)(a2c2)(b2c2)，当且仅当 abc13时取等号，3(a2b2c2)(abc)21.a2b2c213.方法三，设 a13，b13，c13.abc1，0.a2b2c213 213 213 21323()2221322213.a2b2c213.(2)3a2 3a213a2123a32，同理，3b23b32，3c23c32，3a2 3b2 3c23abc926.原不等式成立.【互动探究】1.证明：若 a，b0，则 lgab2 lgalgb2.证明：当 a，b0 时，ab2 ab0，当且仅当 ab 时取等号.两边取对数，得 lgab2 lg ab.
6、又 lg ablgab2 lgalgb2，当 a，b0 时，lgab2 lgalgb2.考点 2 分析法例 2：已知 a0，求证：a2 1a2 2a1a2.证明：要证a2 1a2 2a1a2，只要证a2 1a22a1a2.a0，故只要证a2 1a22 2a1a 2 2，即 a2 1a24 a2 1a24a22 1a22 2a1a 2，从而只要证 2 a2 1a2 2a1a，只要证 4a2 1a2 2a22 1a2，即证 a2 1a22，而该不等式显然成立，故原不等式成立.2.已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明：要证2a3b32ab2a2b成立，只需证2a3b32ab2a2b0，即
7、2a(a2b2)b(a2b2)0，即(ab)(ab)(2ab)0.ab0，ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0成立，2a3b32ab2a2b.【互动探究】考点 3 反证法 例3：(2014年广东广州一模)已知数列an的前n项和为Sn，且a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)若p，q，r是三个互不相等的正整数，且p，q，r成等差数列，试判断ap1，aq1，ar1是否成等比数列？并说明理由.解：(1)a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n1时，有a1(11)S12，解得a12.由a12a23a3nan(n1)Sn2
8、n，得a12a23a3nan(n1)an1nSn12(n1)，两式相减，得(n1)an1nSn1(n1)Sn2.以下提供两种方法：方法一，由式，得(n1)(Sn1Sn)nSn1(n1)Sn2，即Sn12Sn2.Sn122(Sn2).S12a1240，数列Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列.Sn242n1，即Sn42n122n12.当n2时，anSnSn1(2n12)(2n2)2n.又a12也满足上式，an2n.方法二，由式，得(n1)an1nSn1(n1)Sn2n(Sn1Sn)Sn2.得an1Sn2.当n2时，anSn12，得an12an.由a12a2S24，得a24.a22a1.an12
9、an，nN*.数列an是以a12为首项，2为公比的等比数列.an2n.(2)ap1，aq1，ar1不成等比数列，理由如下：p，q，r成等差数列，pr2q.假设 ap1，aq1，ar1 成等比数列，则(ap1)(ar1)(aq1)2，即(2p1)(2r1)(2q1)2.化简，得 2p2r22q.(*)pr，2p2r2 2p2r22q，这与(*)式矛盾.故假设不成立.ap1，aq1，ar1 不成等比数列.【规律方法】反证法主要适用于以下两种情形：要证的 条件和结论之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不 够清晰；如果从正面出发，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面证明，只要研究一种或很少几种
10、情形.【互动探究】3.设an是公比为 q 的等比数列，Sn 是它的前 n 项和.(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？并说明理由.(1)证明：若Sn是等比数列，则 S22S1S3，即 a21(1q)2a1a1(1qq2).a10，(1q)21qq2.解得 q0，这与 q0 相矛盾.故数列Sn不是等比数列.(2)解：当q1时，Sn显然是等差数列.当q1时，Sn不是等差数列.假设当q1时，S1，S2，S3成等差数列，则2S2S1S3.即2a1(1q)a1a1(1qq2).a10，2(1q)2qq2，即qq2.q1，q0，这与q0相矛盾.综上所述，当q1时，Sn是等差数列；当
11、q1时，Sn不是等差数列.1.综合法的特点是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件；分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，逐步寻找结论成立的充分条件.2.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.3.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.
