1、考点测试40圆及其方程高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中等难度考纲研读1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系3能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题4初步了解用代数方法处理几何问题的思想一、基础小题1圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)21答案A解析设圆心坐标为(0，b)，则由题意知 1，解得b2，故圆的方程为x2(y2)21.故选A.2若点
2、P(1,1)为圆C：(x3)2y29的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为()A2xy30Bx2y10Cx2y30D2xy10答案D解析圆心C(3,0)，kPC，则kMN2，所以弦MN所在直线的方程为y12(x1)，即2xy10.故选D.3两圆x2y210和x2y24x2y40的位置关系是()A内切B外离C.外切D相交答案D解析由题意可得两圆标准方程为x2y21和(x2)2(y1)29，则两圆圆心分别为(0,0)和(2，1)，半径分别为r11和r23，则圆心距为d，则|r1r2|0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有()Aa(x1x2)b(y1y2)0B2ax
3、12by1a2b2Cx1x2aDy1y22b答案BC解析由题意得圆C2的方程可化为C2：x2y22ax2bya2b2r20，两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax2bya2b20，即2ax2bya2b2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入可得2ax12by1a2b2,2ax22by2a2b2，两式相减可得2a(x1x2)2b(y1y2)0，即a(x1x2)b(y1y2)0，所以A错误，B正确；由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1x2a，y1y2b，所以C正确，D错误故选BC.8已知aR，直线l1：x2ya2和直线l2：2xy2a1分别与圆E：(xa)2(y1
4、)29相交于点A，C和点B，D，则四边形ABCD的面积是_答案18解析依题意，圆E的圆心坐标为E(a,1)，易知直线l1，l2都过圆心，故|AC|BD|6.设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，由k1k21，得l1l2.故所求面积为6218.二、高考小题9(2021北京高考)已知圆C：x2y24，直线l：ykxm，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m()A2BC.D答案C解析由题可得圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线的距离d，则弦长为2，则当k0时，弦长取得最小值为22，解得m.故选C.10(多选)(2021新高考卷)已知直线l：axbyr20与圆C：x2y2r2，点A(
5、a，b)，则下列说法正确的是()A若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D若点A在直线l上，则直线l与圆C相切答案ABD解析圆心C(0,0)到直线l的距离d，若点A(a，b)在圆C上，则a2b2r2，所以d|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2b2|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2b2r2，所以d4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4d4，45 10，故A正确；易知点P到直线AB的距离的最小值为d44，40)，设直线l：x2y80与两
6、坐标轴的交点分别为A，B，若圆O上存在点P满足|AP|BP|，则r的最小值为()A.BC.2D3答案A解析由x2y80，令x0，得y4，令y0，得x8，所以A(8,0)，B(0,4)，所以线段AB的中点为C(4,2)，又kAB，则其垂直平分线的斜率为k2，则垂直平分线的方程为y22(x4)，即2xy60，因为圆O上存在点P满足|AP|BP|，则垂直平分线与圆有公共点，所以dr，所以r的最小值为.故选A.18(多选)(2021山东泰安与济南章丘区高三5月联合模拟)已知曲线C的方程为|x2y|，圆M：(x5)2y2r2(r0)，则()AC表示一条直线B当r4时，C与圆M有3个公共点C当r2时，存在
7、圆N，使得圆N与圆M相切，且圆N与C有4个公共点D当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是(4，)答案BC解析由|x2y|，得x2y2|x2y|2x24xy4y2，即y(4x3y)0，则C表示两条直线，其方程分别为y0与4x3y0，故A错误；因为M(5,0)到直线4x3y0的距离d4，所以当r4时，直线4x3y0与圆M相切，易知直线y0与圆M相交，C与圆M有3个公共点，故B正确；当r2时，存在圆N，使得圆M内切于圆N，且圆N与这两条直线都相交，即圆N与C有4个公共点，故C正确；C与圆M的公共点的个数的最大值为4，当r5时，公共点的个数为3，故D错误故选BC.19(多选)(2021江苏省苏州第十
8、中学期中)圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y22x4y0的交点为A，B，则有()A公共弦AB所在直线方程为xy0B线段AB的中垂线方程为xy10C公共弦AB的长为DP为圆O1上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为1答案ABD解析对于A，由圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y22x4y0的交点为A，B，两式作差可得4x4y0，即公共弦AB所在直线方程为xy0，故A正确；对于B，圆O1：x2y22x0的圆心为(1,0)，kAB1，则线段AB的中垂线斜率为1，所以线段AB的中垂线方程为y01(x1)，整理可得xy10，故B正确；对于C，圆O1：x2y22x0，圆心O1(1,0)到xy0的距离
9、为d，半径r1，所以|AB|2，故C不正确；对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1,0)到直线xy0的距离为d，半径r1，即P到直线AB的距离的最大值为1.故D正确故选ABD.20(2022河北省实验中学高三开学考试)古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262公元前190年)的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k0且k1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆已知O(0,0)，A(3,0)，圆C：(x2)2y2r2(r0)上有且仅有一个点P满足|PA|2|PO|，则r的取值为_答案1或5解析设动点P(x，y)，由|PA|2|PO
10、|，得(x3)2y24x24y2，整理得(x1)2y24，又点P是圆C：(x2)2y2r2(r0)上有且仅有的一点，所以两圆相切圆(x1)2y24的圆心坐标为(1,0)，半径为2，圆C：(x2)2y2r2(r0)的圆心坐标为(2,0)，半径为r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，r23，得r1，当两圆内切时，|r2|3，r0，得r5.故r的取值为1或5.一、高考大题1(2021全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x1交C于P，Q两点，且OPOQ.已知点M(2,0)，且M与l相切(1)求C，M的方程；(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与M相切判
11、断直线A2A3与M的位置关系，并说明理由解(1)由题意，知直线x1与C交于P，Q两点，且OPOQ，设C的焦点为F，P在第一象限，则根据抛物线的对称性，知POFQOF45，所以P(1,1)，Q(1，1)设C的方程为y22px(p0)，则12p，得p，所以C的方程为y2x.因为圆心M(2,0)到l的距离即M的半径，且距离为1，所以M的方程为(x2)2y21.(2)设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)当A1，A2，A3中有一个为坐标原点时，另外两个点的横坐标的值均为3，此时直线A2A3与M相切；当y11时，可知直线A1A2的方程为x(y1y2)yy1y20，此时有1，即(y1
12、)y2y1y23y0.同理可得，(y1)y2y1y33y0.所以y2，y3是方程(y1)y22y1y3y0的两根则y2y3，y2y3.依题意可得，直线A2A3的方程为x(y2y3)yy2y30.设点M到直线A2A3的距离为d(d0)，则有d21，d1.此时，直线A2A3与M相切当y11时，经验证，直线A2A3与M相切综上，直线A2A3与M相切2(2020天津高考)已知椭圆1(ab0)的一个顶点为A(0，3)，右焦点为F，且|OA|OF|，其中O为原点(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点求直线AB的方
13、程解(1)因为椭圆1(ab0)的一个顶点为A(0，3)，所以b3.由|OA|OF|，得cb3，所以a2b2c2323218，所以椭圆的方程为1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以CPAB.根据题意可知，直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为ykx3，由消去y，可得(2k21)x212kx0，解得x0或x.将x代入ykx3，得yk3，所以点B的坐标为.因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，3)，所以点P的坐标为.由3，得点C的坐标为(1,0)，所以直线CP的斜率为kCP.又因为CPAB，所以k1，整理得2k23k10，解得k或k1.所以直线A
14、B的方程为yx3或yx3.3(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)或k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得
15、或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.二、模拟大题4(2021黑龙江大庆四中月考)已知方程x2y22x4ym0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x2y40相交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，求m的值解(1)方程x2y22x4ym0，可化为(x1)2(y2)25m.此方程表示圆，5m0，即m0，得m0)上三点(1)求r的值；(2)若直线BC过点(0,2)，求ABC面积的最大值；(3)若D为曲线x2(y1)24(y3)上的动点，且，试问直线AB和直线AC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由解(
16、1)因为A(0,3)在圆O：x2y2r2(r0)上，所以0232r2(r0)，所以r3.(2)由题意知直线BC的斜率存在，设直线BC的方程为ykx2，B(x1，y1)，C(x2，y2)，将ykx2代入x2y29，得(k21)x24kx50，所以x1x2，x1x2，所以SABC1|x1x2|.令k21t(t1)，则SABC，t1，当t1，即k0时，ABC的面积取得最大值.(3)设直线AB和直线AC的斜率之积为m(m0)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，D(x0，y0)，则m，x1x2(y13)(y23)，m2.因为B，C在圆O：x2y29上，所以xy9，xy9，m2，化简得m2，整理得y1y2(y1y2)9.因为，所以(x1，y13)(x2，y23)(x0，y03)，从而D(x1x2，y1y23)，又因为D为曲线x2(y1)24(y3)上的动点，所以(x1x2)2(y1y22)24，展开得(xy)(xy)2x1x22y1y24(y1y2)44，将代入，得99(y13)(y23)2y1y24(y1y2)0，化简得(m1)y1y2(2m3)(y1y2)9(m1)0，将代入，得(m1)(2m3)(y1y2)9(m1)0，整理得(y1y2)0，因为y1y233，所以y1y20，从而5m2m0，又m0，所以m.
