1、最后冲刺【高考预测】1.复数的概念2.复数的代数形式及运算3.复数概念的应用4.复数的代数形式及运算易错点 1 复数的概念1（2012精选模拟）若z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数，则实数a的值为_.【错误解答】 z1+a+2i,z2=3-4i,又为纯虚数。a=.填。【错解分析】复数z=a+bi(a,bR)为纯虚数的充要条件是a=0且b0.因此上面解答虽 【错误解答】 选C z=1+i.z为纯虚数为1-i【错解分析】z=1+i是错误的，因为（1-i）(1+i)=1-(i)2-z1【正确解答】 选B z=z=的共轭复数是-i。3（2012精选模拟）已知复数z1=3+4i，z2=t+i,且
2、是实数，则实数t= （ ）A B C- D-【错误解答】 选C z1R=0。即（3+4i）(t-i)+(3-4i)(t+i)=0t=-.【错误解答】 设z=x+yi(x,yR),z+2i=x+(y+2)i由题意得 y=-2.(x+2)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由题意得x=4,z=4-2i.(z+ai)2=4+(a-2)i2=(12+4a-a2)+8(a-2)i(z+ai)2在复平面上的点在第一象限，解得2a6.实数a的取值范围是2，6。【错解分析】 复数z=a+bi(a、bR)对应点（a、b）在第一象限的充要条件是a0,b0.a=0对应点在虚轴上；b=0对应点在实轴上，不属于任何
3、象限，因此，a2，b6。【正确解答】 设z=x+yi(x、yR).z+2i=x+(y+2)i由题意得，y=-2.又(2x+2)+(x-4)i.由题意得：x=4,z=4-2i.(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i根据条件，可知 解得2a6.实数a的取值范围是（2，6）。【特别提醒】1深刻理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、辐角、辐角主值、共轭复数的概念和得数的几何表示复数z=a+bi(a,bR)与复平面内的点（a、b）及向量是一一对应的，在对概念的理解时要善于利用数形结合的思想，如纯虚数与虚轴上的点对应，实数与实轴上的点对应，复数的模表示复数对应的点到原点的距离。2要善于掌握化虚为
4、实的转化方法，即设复数z=a+bi(a,bR)，但有时给许多问题的求解带来不必要的运算困难，而若把握复数的整体性质运用整体运算的思想方法，则能事半功倍，同时要注意复数几何意义的应用。【变式训练】1 若复数(aR，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为 （ ）A-2 B4 C-6 D63 设复数z满足，则|1+z|= （ ）A0 B1 C D2答案： C 解析：由|1+z|=|1-i|=4 已知复数z1满足（1+i）z1=-1+5i，a2=a-2-i.其中i为虚数单位，aR。若|z1-|z1|，求a的取值范围。答案：解：由题意得由1a7.易错点 2复数的代数形式及运算1复数= （ ）Ai B-i
5、C-2-i D-2+i【错误解答】 选C【错解分析】 上面解答错误认为i2=1.导致结果错误。【错解分析】 上面解答似乎很有“道理”，但（-+）5=（-+）3是错误的zmn=(zm)n在数范围内，必须是m、n均正整数时才成立，这一错误是机械地照搬实数集中分数指数幂运算法则，所以对于数学中的有关定理、定义、法则、性质等，在应用时，必须注意成立的条件，否则会产生错误。【正确解答】 选A。原式=3 满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是 （ ）A一条直线 B两条直线 C圆 D椭圆【错误解答】 选A。 由|z-i|=|3+4i|知z在复平面上对应的图形是点（0，1）和（3，4
6、）的垂直平分线。【错解分析】以上解答错在两边取模的计算，因为|z1+z2|=|z1|+|z2|，只有当z1=z2（R+）时成立，而从题设条件中是无法得到这一条件的。【正确解答】 原方程化简为|z|2+（1-i）z-（1+i）z=1-3i.设z=x+yi(x,yR),代入上述方程得：x2+y2-2xi-2yi=1-3i将（2）代入（1），整理得8x2-12x+5=0 (*)=-160,方程（*）无实数解。原方程在复数范围内无解。【特别提醒】1复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行2求解计算时，要充分利用i、w的性质，可适当变形，创造条件，从而转化i、w转化的计算问题。3在复数的求解过程中，要
7、注意复数整体思想的把握和运用。【变式训练】1 （ ） A-2-i B-2+iC2-i D2+i5 设i是虚数单位，复数z和w满足zw+2iz-2iw+1=0若z和w又满足-z=2i，求z和w值。答案： （2）求证：如果|z|=，那么|w-4i|的值是一个常数，并求这个常数。答案：由wz+2iz-2iw+1=0有z(w+2i)=2iw-1|z|w+2i|=|2iw-1|设w=x+yi,则有又|z|=3,故式可变为3(x2+y2+4y+4)=4x2+4y2+4y+1,x2+y2-8y=11.【知识导学】难点 1复数概念的应用下列命题中：（1）两个复数不能比较大小；（2）若z=a+bi，则当且仅当a
8、=0,b0时，z为纯虚数；（3）（z1-z2）2+（z2-z3）2=0，则z1=z2=z3；（4）x+yi=1+ix=y=1;（5）若实数a与ai对应，则实数集与纯虚集一一对应。其中正确的命题的个数是 （ ）A0 B1 C2 D3点们于第三象限。【解析】 讨论此类问题时，首先将原式化为复数z=a+bi(a,bR)的形式，然后根据复数的分类求解。（4）log2(x2-3x-3)-ilog2(x-3)=log49-i,根据两个复数相等的条件：（2）原式=2设复数z=，若z2+az+b=1+i,求实数a、b的值。【解析】 与实数集中求值问题类似，应先化简后代入求值。【答案】z=将z=1-i代入z2+
9、az+b=1+i得（1-i）2+a(1-i)+b=1+i即(a+b)-(a+b)i=1+i3.若zc，且|z+2-2i|=1,则|z+2-2i|的了小值是 （ ）A2 B3C4 D5【解析】运用数形结合的思想求解。【答案】 B|z+2-2i|=1,即|z-(2+2i)|=1点z的轨迹是以（-2，2）为圆心，以1为半径的圆|z-(2+2i)|表示圆上一点到定点A a2+b2=1,即|z|=1。w=2a,-1w2.z的实部的取值范围是（-，1）（2）u=又a(-，1), b0,u为纯虚数。（3）w-u2=2a+.2(a+1)=即a=0 (-，1)时，上式等号成立。w-u2的最小值为1。【典型习题导
10、练】1 已知复数Z1=3+4i,Z2=1+i,则Z1等于 （ ）A7+i B7-i C1-7i D1+7i答案： A解析：由z2=1+I得2 在复平面内，设向量=（x1,y1）, =（x2,y2），设复数Z1=x1+y1i(x1,y1,x2,y2R)则等于 （ ）AZ2+Z1BZ2-Z1C（Z2-Z1）D（Z2+Z1）z=5 = （ ）A+i B-iC-+i D-i答案： C解析：6 的值为 （ ）A.2 B.-2C.0 D.1答案： B解析：z1=9 定义运算=ad-bc,若复数Z=x+yi(x,yR)满足的模等于x，则复数Z对应的点Z（x,y）的轨迹方程为_.答案：10 （1-）10的展开
11、式中所有奇数项的和为_.答案：(1-i)10的展开式中各奇数项和为-29.11 已知z2=5-12i，求f(z)=z-的值。答案：解：设z=z+yi(x1yR),则z2=（x+yi）2=x2-y2+2xyi 由题设得x2-y2+2xyi=5-12i.z=3-2i或z=-3+2i,|z|2=13.f(z)=z-=z-当z=3-2i 时，f (z)=(3-2i).当z=-3+2i时，f(z)=-(3-2i)12 设复数z满足|z|=5，且（3+4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|=（mR）.求z和m的值。答案：解：设z=x+yi(x,yR),又|z|=5。当-+时，m=0.当z=-时m=0.综上m的值为：0，2，-2.
