1、利用导数研究不等式恒(能)成立问题 1设f (x)xln x，g(x)x3x23(1)如果存在x1，x20，2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t，都有f (s)g(t)成立，求实数a的取值范围解(1)存在x1，x20，2使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x令g(x)0得x0或x，令g(x)0得0x，又x0，2，所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以g(x)ming，又g(0)3，g(2)1，所以g(x)maxg(2)1故g(x1)g(x2)maxg(x)
2、maxg(x)minM，则满足条件的最大整数M4(2)对于任意的s，t，都有f (s)g(t)成立，等价于在区间上，函数f (x)ming(x)max，由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)1在区间上，f (x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，令m(x)xln x，由m(x)ln x10得x即m(x)xln x在上是增函数，可知h(x)在区间上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当x1时，h(x)0即函数h(x)xx2ln x在区间上单调递增，在区间(1，2)上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，所
3、以a1，即实数a的取值范围是1，)2(2021烟台模拟)已知函数f (x)px2(4p1)x2ln x，其中pR(1)当p0时，试求函数f (x)的单调递增区间；(2)若不等式f (x)px2(4p1)x2q(x1)ex在x(1，)时恒成立，求实数q的取值范围解(1)f (x)2px(4p1)(x0，p0)，当2即p时，由f (x)0解得x2或0x；当2即p时，f (x)0在(0，)上恒成立；当2即0p时，由f (x)0解得x或0x2综上，当p时，f (x)的单调递增区间为，(2，)；当p时，f (x)的单调递增区间为(0，)；当0p时，f (x)的单调递增区间为(0，2)，(2)由f (x)
4、px2(4p1)x2q(x1)ex，化简得：ln xq(x1)ex0在(1，)时恒成立，记g(x)ln xq(x1)ex，当q0时，g(x)在x(1，)为增函数，g(1)0，所以g(x)0，不合题意；当q0时，g(x)qxex在x(1，)为减函数，g(1) 1qe，若g(1)1qe0，即q时，g(x)g(1)，所以g(x)0，所以g(x)在x(1，)为减函数，所以g(x)g(1)0，所以q符合题意若g(1)1qe0，即q时，g(x)qxex在x(1，)为减函数，存在x0(1，)使得x(1，x0)，g(x)0，即g(x)在x(1，x0)为增函数，所以g(x)g(1)0与g(x)0矛盾，所以q，不
5、合题意综上，q3(2021龙岩模拟)已知函数f (x)ln x(其中e为自然对数的底数)(1)证明：f (x)f (e)；(2)对任意正实数x、y，不等式a(ln yln x)2x0恒成立，求正实数a的最大值解(1)证明：f (x)ln xln x，令g(x)xln x2ex，g(x)ln x(x)1ln x2，在(0，e2)上，g(x)0，g(x)单调递增，在(e2，)上，g(x)0，g(x)单调递减，所以g(x)maxg(e2)e2ln e22ee22e22ee2e22e0，又因为x0时，g(x)0；g(e)0，所以在(0，e)上，g(x)0，f (x)0，f (x)单调递增，在(e，)上，g(x)0，f (x)0，f (x)单调递减，所以f (x)maxf (e)，即f (x)f (e)(2)因为x，y，a，都大于0，由a(ln yln x)2x0两边同除以ax整理得：ln ，令t(t0)，所以ln t恒成立，记h(t)ln t，则h(t)max，由(1)知h(t)maxh(e)1，所以1，即0a2，amax2所以正实数a的最大值是2
