1、31空间向量及其运算31.1空间向量及其线性运算1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念2.掌握空间向量的线性运算1空间向量的概念(1)在空间，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量，叫做空间向量如图用a或表示，向量的大小叫做向量的长度或模，用|表示(2)对于空间零向量、单位向量、相反向量、相等向量等有关概念是平面向量的推广2空间向量的线性运算(1)向量的加法平行四边形法则即：在空间以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则(如图)三角形法则：平移至，
2、则ab(如图)(2)向量的减法三角形法则，即：在空间任取一点O，作a，b，则ab(如图)(3)数乘运算如图，当0时，向量a与a方向相同；当0时，向量a与a方向相反；a的长度是a的长度的倍向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算3运算律(1)加法交换律：abba；(2)加法结合律：(ab)ca(bc)；(3)数乘分配律：(ab)ab(R)4共线向量定理(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a0)，b与a共线的充要条件是存在实数，使ba.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在空
3、间中，单位向量惟一()(2)在空间中，任意一个向量都可以进行平移()(3)在空间中，互为相反向量的两个向量必共线()(4)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算()答案：(1)(2)(3)(4)2已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，则()A.B.C.D0答案：A3已知R，则下列命题正确的序号是_|a|a|a|a|a|a|a|0答案：4已知a是空间的一个单位向量，则a的相反向量的模为_答案：1空间向量概念的理解给出以下命题：两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；若空间向量a，b满足|a|b|，则ab；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有；若空间向量m，n，p满足mn，
4、np，则mp.其中正确的命题序号为_(把你认为正确命题的序号都填上)【解析】对于，向量的起点相同，终点也相同时，向量相等，但向量相等时起点和终点不一定相同，故不正确；对于，由向量相等的定义知，向量相等需要大小一样，还需方向相同，故不正确【答案】(1)注意结合平面向量的知识来理解空间中的特殊向量；(2)向量的关键是大小和方向 1.下列命题中假命题有_个四点A，B，C，D构成平行四边形ABCD的充要条件是；若|a|b|，且a，b的方向相同或相反，则ab；任一向量与它的相反向量不相等；若与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同解析：是必要条件，不是充分
5、条件，因为时有可能A，B，C，D四点共线，是假命题；a与b的模相等，且方向相同时，ab成立，当方向相反时，ab，是假命题；零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，是假命题；共线向量即平行向量，只要求它们的方向相同或相反，不一定在同一条直线上，是假命题；如图所示，与共线，起点不同，但终点相同，是假命题答案：5空间向量的加减与数乘运算设A是BCD所在平面外一点，G是BCD的重心，求证：()【证明】如图，连结BG，延长后交CD于E，由G为BCD的重心，知；因为E为CD的中点，所以.所以()()()()在向量的证明题目中，关键是利用一切已知的条件去寻找比例关系这里根据重心和中点得到比例关
6、系，结合向量的加减运算的法则和数乘向量的性质即可解题 2.化简()()_解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算)()()0.法二：(利用向量的减法运算法则求解)()()()0.答案：03如图，在四棱锥VABCD中，化简.解：0.共线问题如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE2EA1，F在CC1上且CFFC1，判断与是否共线？【解】由已知可得，.所以，故与共线在本例中，若M、N分别为AD1，BD的中点，证明：与共线证明：连结AC，则NAC且N为AC的中点，所以，由已知得，所以.所以与共线(1)判定两向量共线就是找使ab(b0)，
7、充分运用空间向量运算法则并结合空间图形，化简得出ab，从而得出ab；(2)证明空间图形中的两线平行可以先证明两线所在的向量平行，然后观察图形找出在一直线上有一点不在另一直线上，则两直线平行 4.已知非零向量e1、e2不共线，则使ke1e2与e1ke2共线的k的值是_解析：若ke1e2与e1ke2共线，则ke1e2(e1ke2)，所以所以k1.答案：15.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F在对角线A1C上，且.求证：E，F，B三点共线证明：设a，b，c.因为2，所以，.所以b，()()abc.所以abc(abc)又bcaabc，所以，所以E，F，B三点共线1空
8、间向量概念的理解(1)零向量的方向是任意的，规定0与任意向量平行(2)单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1.(3)空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量2空间向量加法、减法运算法则空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量，因此平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则仍然适用于空间向量的求和需注意的是：两个共线向量不能构成平行四边形的两邻边，因此不能利用平行四边形法则求和，但是可以借助三角形法则求解，即将两个向量首尾相接后，其和向量就是由第一个向量的起点指向后一个向量的终点的向量3数乘运算的两点说明(1)空间向量的数乘运算是线性运算的
9、一种，其实质是空间向量的加、减运算(2)运用空间向量的数乘运算律可使运算简便，注意与实数的有关运算律区别清楚运算律中是实数与向量的乘积，不是向量与向量的乘法运算下列命题中，假命题的个数为_(1)若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；(2)若向量，满足|，且与同向，则；(3)若两个非零向量与满足0，则，为相反向量；(4)的充要条件是A与C重合，B与D重合【解析】(1)错误两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关(2)错误向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小(3)正确.0，得，且，为非零向量，所以，为相反向量(4)错误由，知|，且与同向，但A与C，
10、B与D不一定重合【答案】3解答本题易误点：对(1)的含义理解不透彻而致错，对(2)反映的为什么向量不能比较大小理解不到位而致错解答与空间向量有关概念问题时，应将空间向量的有关概念和平面向量的有关概念反复对照，注意它们的区别与联系，特别是细微之处的差别，同时要注意培养空间想象的能力1给出以下命题：若向量a是向量b的相反向量，则|a|b|；空间向量的减法满足结合律；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有.其中正确命题的个数是()A0B1C2D3解析：选C.由相反向量的定义知正确；减法不满足结合律，错误；中由AC綊A1C1，知，正确故选C.23a2b(a4b)_答案：a4b3在平行四边形ABCD中
11、，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则_(用a、b表示)答案：ab4在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知下列各式：()；()；()；().其中运算的结果为的有_个答案：4 A基础达标1给出下列命题：将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；零向量没有方向；空间中任意两个单位向量必相等其中假命题的个数是()A0B1C2 D3答案：D2在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是()A.B.C.D.解析：选A.在A选项中，()0.3已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则()等于()A. B.C. D.
12、解析：选A.()(2).4已知向量，满足|，则()A. B.C.与同向 D.与同向解析：选D.由|，知A，B，C三点共线且C点在线段AB上，所以与同向5设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且，则四边形ABCD是()A平行四边形 B空间四边形C等腰梯形 D矩形解析：选A.由于，所以，从而|，且AB与CD不共线，所以ABDC，所以四边形ABCD是平行四边形6如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与互为相反向量的是_(填序号)abc；abc；abc；abc.解析：因为()c(ab)abc，所以与互为相反向量的是abc.答案：7已知正方体A
13、BCDABCD的中心为O，则下列命题中正确的共有_个与是一对相反向量；与是一对相反向量；与是一对相反向量；与是一对相反向量解析：如图，对于，()，故正确；对于，因，故不正确；对于，因，故正确；对于，()，故正确答案：38四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示)解析：如图所示：由三角形法则，得ba，cb，所以(cb)，bca，故bca，所以abc.答案：abc9如图，在空间四边形ABCD中，点M、G分别是BC、CD的中点化简：(1)()；(2)()解：(1)原式.(2)原式()().B能力提升1下列说法中，错误的个数为()在正方体ABCDA1B1C1
14、D1中，；若两个非零向量与满足，则，互为相反向量的充要条件是A与C重合，B与D重合A1 B2C3 D0解析：选A.正确正确.，且，为非零向量，所以，互为相反向量错误由，知|，且与同向，但A与C，B与D不一定重合2已知四面体ABCD中，G为BCD的重心，E、F、H分别为边CD、AD和BC的中点，化简下列各式：(1)；(2)()解：(1)如图所示，由G是BCD的重心知，.又E、F为中点，所以EF綊AC，.所以.(2)由向量加法的平行四边形法则及几何意义知()，所以().(选做题)已知六面体ABCDABCD是平行六面体(1)化简，并在图中标出其结果；(2)设M是底面ABCD的中心，.设，试求、的值解：(1)如图，取AA的中点为E，则，又，取F为DC的一个三等分点，则，所以(说明：表示法不惟一)(2)()()()()，所以，.
