1、此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2021届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（三）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合
2、，则（ ）ABCD2设，则（ ）ABCD3已知，为任意实数，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下扇形统计图：则下面结论中不正确的是（ ）A新农村建设后，种植收入略有增加B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入不变D新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降5函数的部分图象大致为（ ）ABCD6已知函数，则函数的零点个数是（ ）A3B4C5D67已知函数与
3、的图象在上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）ABCD8如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，且，为的中点，则下列说法不正确的是（ ）A平面B平面平面C若为的中点，则平面D若，则直线与平面所成角为9已知各项均为正数的等比数列，成等差数列，若中存在两项，使得为其等比中项，则的最小值为（ ）A4B9CD10已知，则角所在的区间可能是（ ）ABCD11已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，我们可以通过找对称点的方法求解两条线段之和的最小值，则的最小值为（ ）A8BCD12点P在函数的图象上若满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（ ）ABC3D4第卷二、填空题：本
4、大题共4小题，每小题5分13为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为（）已知“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的_倍（结果精确到当较小时，）14设向量，若用，表示，则_15过且与和距离相等的直线方程为_16已知函数，若恒成立，则a的取值范围是_三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字
5、说明、证明过程或演算步骤17（12分）在；，这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，_，_？注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分18（12分）对哈尔滨市某高校随机抽取了100名大学生的月消费情况进行统计，并根据所得数据画出如下频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点）（1）请根据频率直方图估计该学生月消费的中位数和平均数；（2）根据频率分布直方图，现采用分层抽样的方法，在月消费不少于3000元的两组学生中抽取4人，若从这4人中随机选取2人，求2人不
6、在同一组的概率19（12分）已知椭圆（）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，离心率和长半轴的比值为（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线过椭圆的左焦点，与交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程20（12分）如图甲，在矩形中，是的中点，以、为折痕将与折起，使，重合（仍记为），如图乙（1）探索：折叠形成的几何体中直线的几何性质（写出一条即可，不含，说明理由）；（2）求翻折后几何体外接球的体积21（12分）已知函数（1）当时，求函数图象在点处的切线方程；（2）若，当函数有且只有一个极值时，求的最大值请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4
7、：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，双曲线的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）若，设双曲线的一条渐近线与相交于两点，求；（2）若，分别在与上任取点和，求的最小值23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数（1）求不等式的解集；（2）记的最小值为M，a，b，c为正实数且，求证：_文 科 数 学 答 案第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】B【解析】因为，所以，故选B2【答案】B【解析】因为，所以，解得，所以，故选B3【答案】B【解析】若，则，显然，反之不一定成立，如，
8、时，满足，但是与无意义，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B4【答案】C【解析】因为该地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，不妨设建设前的经济收入为，则建设后的经济收入为A选项，从扇形统计图中可以看到，新农村建设后，种植收入比建设前增加，故A正确；B选项，新农村建设后，其他收入比建设前增加，即增加了一倍以上，故B正确；C选项，养殖收入的比重在新农村建设前与建设后相同，但建设后总收入为之前的2倍，所以建设后的养殖收入也是建设前的2倍，故C错误；D选项，新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重由建设前的降为，故D正确，故选C5【答案】D【解析】时，所以是奇函数，排除A，B；，故，
9、排除C，故选D6【答案】D【解析】因为，所以，令，解得，所以在上单调递减；令，解得或，所以在和上单调递增，函数图象如下所示：当时，令，得或，又时，；时，所以使得，要使，即或或，即或或，由函数图象易知，与都有两个交点，故或或各有两个零点，故函数有6个零点，故选D7【答案】A【解析】由题意得函数与的图象在上存在公共点，即方程在上有解，即方程在上有解令，则，所以当时，随的变化情况如下表：130极大值由上表可知，又，所以当时，故的取值范围是，故选A8【答案】D【解析】选项A设底面平行四边形的对角线相交于点，则为的中点，由，在中，所以，所以，又平面，平面，所以，又，所以平面，故选项A正确；选项B由上有，
10、可知底面平行四边形为菱形，由，则，又为的中点，所以，即，又平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故选项B正确；选项C如图取的中点，连接，由为的中点，为的中点，则且，又，且，为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面，故选项C正确；选项D连接，由选项A的证明过程可知平面，所以直线在平面上的射影为，所以为直线与平面所成的角，由，则，由，则，所以，在直角中，所以，故选项D不正确，故选D9【答案】D【解析】因为，成等差数列，所以，又为各项均为正数的等比数列，设首项为，公比为q，所以，所以，解得或（舍去），又为，的等比中项，所以，所以，所以，即，所以，当且仅当，
11、即，时，等号成立，所以的最小值为，故选D10【答案】B【解析】由，得，对于A，当时，而，两个式子不可能相等，故错误；对于B，当时，存在使得，故正确；对于C，时，而，不可能相等，所以错误；对于D，当时，而，不可能相等，所以错误，故选B11【答案】D【解析】由题意知，抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，点在抛物线上，点为直线上的动点，设关于直线的对称点，作图如下，利用对称性质知：，则，即点在位置时，的值最小，等于，利用两点之间距离知，则的最小值为，故选D12【答案】C【解析】过函数的图象上点作切线，使得此切线与直线平行，于是，则，于是当点P到直线的距离为时，则满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，解
12、得或，又当时，函数的图象与直线相切，从而只有两个点到直线距离为，所以不满足；故，故选C第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13【答案】【解析】由题意，两颗星的星等与亮度满足：，令“心宿二”的星等，“天津四“的星等，则，所以，即，所以，则”心宿二“的亮度大约是”天津四“的倍，故答案为14【答案】【解析】设，又，由平面向量基本定理得，解得，故答案为15【答案】或【解析】直线的斜率为，线段的中点坐标为若所求直线与直线平行时，则所求直线的方程为，即；若所求直线过的中点时，则所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即，综上所述，所求直线方程为或，故答案为或16【答案】【解析】若，则，当时，显然成立；当
13、时，则，又因为当时，所以只需满足即可，令（），则，则时，所以在上递减；当时，则在上递增，所以，所以，令（），则，令，得（舍去）或，则当时，；当时，所以函数在上递增，在上递减，所以，故，综上所述：，故答案为三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】答案见解析【解析】选择条件和因为，所以，由余弦定理，得因为，所以因为，所以，所以，所以因为，所以在中，由正弦定理，得，所以选择条件和因为，所以由余弦定理，得因为，所以因为，且，所以因为，所以，所以因为，所以，所以，可得所以在中，选择条件和因为，所以，所以所以或因为，所以或又因为，且，所以因为，所以，所以因
14、为，所以，所以，可得在中，所以，所以为等腰直角三角形，所以18【答案】（1）中位数，平均数2450；（2）概率为【解析】（1）由直方图，设中位数为，且，可得，即由图知：（2）由题意知：抽取4人中在、分别抽了3人、1人，4人中随机选取2人有种，而2人不在同一组有种，2人不在同一组的概率为19【答案】（1）；（2）【解析】（1）离心率和长半轴的比值为，短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，又，由可解得，椭圆的标准方程为（2）由题意可知：，直线倾斜角不为零，可设，由，得，设，则，令，则，（当且仅当，即时取等号），此时，解得，直线的方程为，即20【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）性质1：
15、平面证明如下：翻折前，翻折后仍然有，且，则平面性质2：证明如下：与性质1证明方法相同，得到平面又因平面，则性质3：与平面内任一直线都垂直证明如下：与性质1证明方法相同，得到平面，从而与平面内任一直线都垂直性质4：直线与平面所成角等于证明如下：如图，取的中点，连接，由，得，与性质2证明相同，得，再因，则平面，进而平面平面作于点，则平面，就是直线与平面所成的角，（2）解法一：，则是等腰直角三角形，如图，取的中点，则是的外心设几何体外接球的球心是，则平面作于点，则是的中点，是矩形，几何体的外接球半径，则外接球的体积解法二：证明，两两垂直后，几何体外接球就是以，相邻的棱的长方体的外接球，解得，则外接球
16、的体积21【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，函数，可得，则，即切线的斜率为，切点，所以函数图象在点处的切线方程为（2）当时，函数的定义域为，可得，令，即，解得或，因为函数有且只有一个极值，所以只存在一个值使得，因为函数的定义域为，当时，所以函数的极值点为，此时，解得，当时，所以，因为，所以，令，则，又由，可得当时，所以，所以的最大值为22【答案】（1）2；（2）【解析】（1）若，曲线的直角坐标方程为，双曲线，一条渐近线方程为，圆心到直线的距离，则另解：可知双曲线，一条渐近线方程为其极坐标方程为，由，得，故，（2）若，曲线的直角坐标方程为，圆心，半径设双曲线上任取点，则，当时，23【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）依题意得，综上可得的解集是（2）由可知，在上递减，在上递增，的最小值为，即，所以，由，相加可得，即，当且仅当时取等号
