1、2023届高考复习解析几何微专题圆锥曲线中的最值、范围问题（学生版）一、圆锥曲线中最值问题的常用求解方法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等例1 (2022宿州市高三上学期期末)已知抛物线C：y22px的焦点为F，圆E：4，M，N分别是抛物线C和圆E上的动点，当点M在第一象限且MFx轴时，的最大值为4.(1)求抛物线C的方程；(2)已知过点F的直线l交抛物线C于P，Q两
2、点，且直线lMF，设直线MF与抛物线C的另一个交点为K，求的最小值例2 (2022青岛一模)在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E，恰好经过点(1)求椭圆E的标准方程；(2)设经过点(2,0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求F2MN面积的最大值跟踪练习1、(2022陕西西安质检)已知椭圆1(ab0)的一个焦点与抛物线x28y的焦点相同，且点(1，)在椭圆上(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点(0,3)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且A，B与坐标原点O构成三角形，求AOB面积的最大值2、(2022咸阳模拟)
3、已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，且经过A(0,2)(1)求双曲线C的方程；(2)若过点B(2,0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P，Q，设PQ中点为M，求BOM(O为坐标原点)面积的最小值3、(2021广东省佛山市质检)已知F为椭圆C：1(ab0)的左焦点，过原点O的动直线l与C交于A，B两点当A的坐标为时，|OB|BF|.(1)求椭圆C的标准方程；(2)延长BF交椭圆C于Q，求QAB的面积的最大值.4、(2021江西五市九校协作体联考)已知椭圆C：1(ab0)过点E，A1，A2为椭圆的左、右顶点，且直线A1E，A2E的斜率的乘积为.(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F的直线
4、l与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线交直线l于点P，交直线x2于点Q，求的最小值5、(2021高考全国卷乙)已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，且F与圆M：x2(y4)21上点的距离的最小值为4.(1)求p；(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB面积的最大值6、如图所示，点A，B分别是椭圆1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值7、已知椭圆的两个焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，且椭圆
5、与直线yx相切(1)求椭圆的方程；(2)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于点P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值8、如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值二、圆锥曲线中求解范围问题的常见求法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元得到一元二次方程，根据直线与圆锥曲线的位置关系求解(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系(3)利用几何条件构造不等关系(4)利用基本不等式求出参数的取值范围(5)利用函数
6、的值域的求法，确定参数的取值范围例3 (2022淮北三模)椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点H(0，1)，若直线yxt与椭圆C相交于C，D两点，且直线HC，HD的斜率之和为2，求实数t的值；(3)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设F1PF2的平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围例4 (2022泉州模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，直线xy10被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(4,0)的直线l交椭圆于
7、A，B两个不同的点，且|MA|MB|，求的取值范围跟踪练习1、(2022广东省质检)已知椭圆C的两个焦点分别是(1,0)，(1,0)，并且经过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点Q(0,2)，若C上总存在两个点A、B关于直线yxm对称，且b0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，ABP是等腰直角三角形，且.(1)求椭圆E的方程；(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.3、(2021陕西部分学校联考)椭圆C：1(ab0)的离心率为，长轴长与短轴长之积为16.(1)求椭圆C的标准方程；(2)在直线x3yt0上存在一点P，过P作
8、两条相互垂直的直线均与椭圆C相切，求t的取值范围4、已知椭圆C：1(ab0)经过点M，F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|2，P是椭圆C上的一个动点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围5、已知双曲线x21，斜率为k(k0)的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点(1)若直线l过P(0，1)，且PB3AP，求直线l的斜率k；(2)若线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围6、已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，E的左顶点为A，上顶点为B，点P在椭圆上，且PF1F2的周长为42(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：yk
9、xm(k0)与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G(1,0)，求k的取值范围2023届高考复习解析几何微专题圆锥曲线中的最值、范围问题（解析版）一、圆锥曲线中最值问题的求解方法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等例1 (2022宿州市高三上学期期末)已知抛物线C：y22px的焦点为F，圆E：4，M，N分别是抛物线C和圆E上的动点，当点M在第一象限且M
10、Fx轴时，的最大值为4.(1)求抛物线C的方程；(2)已知过点F的直线l交抛物线C于P，Q两点，且直线lMF，设直线MF与抛物线C的另一个交点为K，求的最小值解：(1)当点M在第一象限且MFx轴时，点M的坐标为.因为圆E的圆心为E，半径r2，所以maxr4，所以 24，解得p2或(舍去)，故抛物线C的方程为y24x.(2)由题意知F(1，0)，直线l的斜率k存在且不为0，设直线l的方程为yk，由可得k2x2xk20.设P，Q，则x1x22，x1x21.因为直线lMF，所以直线MF的斜率为.设M，K，同理可得x3x424k2，x3x41.故x1x2x1x21x3x4x3x418484216，当且
11、仅当k2，即k1时，取得最小值16.例2 (2022青岛一模)在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E，恰好经过点(1)求椭圆E的标准方程；(2)设经过点(2,0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求F2MN面积的最大值解：(1)由已知可得，椭圆E的焦点在x轴上设椭圆E的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，则bc，a2b2c22b2，椭圆E的标准方程为1又椭圆E过点，1，解得b21椭圆E的标准方程为y21(2)由于点(2,0)在椭圆E外，所以直线l的斜率存在设直线l的斜率为k，则直线l：yk(x2)，设M(x1，y1
12、)，N(x2，y2)由消去y得，(12k2)x28k2x8k220由0得0k2，从而x1x2，x1x2，|MN|x1x2|2点F2(1,0)到直线l的距离d，F2MN的面积为S|MN|d3令12k2t，则t1,2)，S3333 ，当即t时，S有最大值，Smax，此时k当直线l的斜率为时，可使F2MN的面积最大，其最大值跟踪练习1、(2022陕西西安质检)已知椭圆1(ab0)的一个焦点与抛物线x28y的焦点相同，且点(1，)在椭圆上(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点(0,3)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且A，B与坐标原点O构成三角形，求AOB面积的最大值解：(1)抛物线x28y的焦点坐
13、标为(0,2)，椭圆的半焦距c2.由题意可知解得a28，b24，椭圆的标准方程为1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)A，B，O三点构成三角形，所以直线l的斜率存在且不为0，则可设直线l的方程为ykx3.联立消去y整理得(2k2)x26kx10.由0得36k24(2k2)0，即k20，x1x2，x1x2，SOAB|x2x1|3.设t(t0)，则k2，当且仅当t3，即k2时等号成立，AOB面积的最大值为32.2、(2022咸阳模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，且经过A(0,2)(1)求双曲线C的方程；(2)若过点B(2,0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P，Q，设P
14、Q中点为M，求BOM(O为坐标原点)面积的最小值解：(1)双曲线的离心率为，即，因为点A(0,2)在双曲线1上，所以1，a2，则c2，又c2a2b2，所以b2所以双曲线C的方程为1(2)易知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为x2my(m0)，由得(1m2)y24my80，设P，Q两点的纵坐标分别为y1，y2，则解得1m设点M的纵坐标为y0，则y0，所以SOBM|OB|y0|2，1m易知函数yx在(1，)上单调递增，所以m，所以BOM面积的最小值为23、(2021广东省佛山市质检)已知F为椭圆C：1(ab0)的左焦点，过原点O的动直线l与C交于A，B两点当A的坐标为时，|OB|BF|
15、.(1)求椭圆C的标准方程；(2)延长BF交椭圆C于Q，求QAB的面积的最大值解：(1)由A，得B，而|OB|BF|.F(2,0)，即c2.由，解得a25，b21.椭圆C的标准方程为y21.(2)当直线BF斜率不存在时，BF：x2，此时B，|BQ|，A，SQAB4；当BF所在直线斜率存在时，设BF：yk(x2)(k0)，联立，得(15k2)x220k2x20k250，设B(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.解法一：|BQ|.又O到BQ的距离d，则A到BQ的距离为，SQAB.令15k2t(t1)，则SQAB4.当时，(SQAB)max.综上，QAB的面积的最大值为.4、(20
16、21江西五市九校协作体联考)已知椭圆C：1(ab0)过点E，A1，A2为椭圆的左、右顶点，且直线A1E，A2E的斜率的乘积为.(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线交直线l于点P，交直线x2于点Q，求的最小值解：(1)依题意有，1，因为A1(a,0)，A2(a,0)，所以kA1E，kA2E，所以，由解得：a22，b21，故椭圆的方程为y21.(2)由题意知直线l的斜率不为0，设其方程为xmy1，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程得(m22)y22my10，y1y2，y1y2由弦长公式|MN|2 ，又yP，xPmyP11，|PQ|
17、2xP| ，令t，t1，则22，当t，即m1时，取得最小值2.5、(2021高考全国卷乙)已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，且F与圆M：x2(y4)21上点的距离的最小值为4.(1)求p；(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB面积的最大值解：(1)由题意知M(0，4)，F(0，)，圆M的半径r1，所以|MF|r4，即414，解得p2.(2)由(1)知，抛物线方程为x24y，由题意可知直线AB的斜率存在，设A(x1，)，B(x2，)，直线AB的方程为ykxb，联立得消去y得x24kx4b0，则16k216b0()，x1x24k，x1x24b，所以|AB|x
18、1x2|4.因为x24y，即y，所以y，则抛物线在点A处的切线斜率为，在点A处的切线方程为y(xx1)，即yx，同理得抛物线在点B处的切线方程为yx，联立得则即P(2k，b)因为点P在圆M上，所以4k2(4b)21，且12k1，5b3，即k，3b5，满足()设点P到直线AB的距离为d，则d，所以SPAB|AB|d4.由得，k2，令tk2b，则t，且3b5.因为t在3，5上单调递增，所以当b5时，t取得最大值，tmax5，此时k0，所以PAB面积的最大值为20.6、如图所示，点A，B分别是椭圆1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF(1)求点P的坐标；(2)
19、设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值解：(1)由已知可得点A(6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，则(x6，y)，(x4，y)，PAPF，0，则可得2x29x180，解得x或x6由于y0，故x，于是y点P的坐标是(2)由(1)可得直线AP的方程是xy60，点B(6,0)设点M的坐标是(m,0)，则点M到直线AP的距离是，于是|m6|，又6m6，解得m2由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，得d2(x2)2y2x24x420x2215，因为6x6，由f(x)215的图象可知，当x时，d取最小值，且最小值为7、已知椭圆的两
20、个焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线yx相切(1)求椭圆的方程；(2)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于点P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值解：(1)设椭圆方程为1(ab0)，因为它与直线yx只有一个公共点，所以方程组只有一组解，消去y，整理得(a2b2)x22a2x3a2a2b20.所以(2a2)24(a2b2)(3a2a2b2)0，化简得a2b23.又焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，所以a2b21，联立上式解得a22，b21.所以椭圆的方程为y21.(2)若直线PQ的斜率不存在(或为0)时，则S四边形PMQN2.若直线PQ的斜率存在
21、，设为k(k0)，则直线MN的斜率为.所以直线PQ的方程为ykxk，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程得化简得(2k21)x24k2x2k220，则x1x2，x1x2，所以|PQ|x1x2|2，同理可得|MN|2.所以S四边形PMQN444()44()因为4k21021018(当且仅当k21时取等号)，所以，所以4().综上所述，四边形PMQN面积的最小值为，最大值为2.8、如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解：(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为x，所以直线
22、AP斜率的取值范围是(1，1)(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ.因为|PA| (k1)，|PQ| (xQx)，所以|PA|PQ|(k1)(k1)3.令f(k)(k1)(k1)3(1kb0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点H(0，1)，若直线yxt与椭圆C相交于C，D两点，且直线HC，HD的斜率之和为2，求实数t的值；(3)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设F1PF2的平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围解：(1)由于c2a2b2，将xc代入椭圆
23、方程1，得y，由题意知3，又椭圆离心率e，则ca，所以b2a2，所以a2，b，所以椭圆C的方程为1.(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由消去y得7x28tx4t2120，(8t)247(4t212)0，解得t，x1x2，x1x2，由题意可知直线HC和HD的斜率存在，所以kHCkHD2，即2，解得t2或3.因为t，故t的值为2.(3)设P(x0，y0)(y00)，又F1(1，0)，F2(1，0)，所以可设直线PF1，PF2的方程分别为lPF1：y0x(x01)yy00，lPF2：y0x(x01)yy00.由题意知，由于点P在椭圆上，所以1，y3(1)，所以.因为1m1，2x02，所以，
24、所以mx0，因此mb0)的离心率e，直线xy10被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(4,0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且|MA|MB|，求的取值范围解：(1)因为原点到直线xy10的距离为d，所以22b2(b0)，解得b1又e21，解得a2所以椭圆C的方程为y21(2)当直线l的斜率为0时，|MA|MB|12当直线l的斜率不为0时，设直线l：xmy4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得(m24)y28my120由64m248(m24)0，得m212，所以y1y2|MA|MB|y1|y2|(m21)|y1y2|12由m212，得0，所以
25、12综上，的取值范围是跟踪练习1、(2022广东省质检)已知椭圆C的两个焦点分别是(1,0)，(1,0)，并且经过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点Q(0,2)，若C上总存在两个点A、B关于直线yxm对称，且b0)由椭圆的定义得2a2，所以a.因为c1，所以b2a2c21.因此，椭圆C的标准方程为y21.(2)根据题意可设直线AB的方程为yxn，联立，整理得3x24nx2n220，由(4n)243(2n22)0，得n23.设A(x1，x1n)，B(x2，x2n)，则x1x2，x1x2.又设AB的中点为M(x0，x0n)，则x0，x0n.由于点M在直线yxm上，所以m，得n3m，代入n2
26、3，得9m23，所以m.因为(x1，x1n2)，(x2，x2n2)，所以2x1x2(n2)(x1x2)(n2)2.由4，得3n24n812,3n24n40得n2，得3m2，所以m由得mb0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，ABP是等腰直角三角形，且.(1)求椭圆E的方程；(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.解：(1)由ABP是等腰直角三角形，得a2，B(2，0).设Q(x0，y0)，则由，得代入椭圆方程得b21，所以椭圆E的方程为y21.(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为ykx2.联立消去y并整理得(14k2)x
27、216kx120.(*)因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故(16k)248(14k2)0，解得k2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根与系数的关系得因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，所以0，即x1x2y1y20，又由x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)4(1k2)2k40，解得k24，综上可得k24，则k2或2kb0)的离心率为，长轴长与短轴长之积为16.(1)求椭圆C的标准方程；(2)在直线x3yt0上存在一点P，过P作两条相互垂直的直线均与椭圆C相切，求t的取值范围解：(1)由题意得解得所以椭圆C的标准方程为1.(
28、2)当过点P的椭圆C的一条切线的斜率不存在时，另一条切线斜率为0，易得P(2，)过点P的椭圆C的切线的斜率均存在时，设P(x0，y0)，x02，设切线方程为yk(xx0)y0，代入椭圆方程得(4k21)x28k(kx0y0)x4(kx0y0)280，由8k(kx0y0)24(4k21)4(kx0y0)280，可得(x8)k22x0y0ky20，设过点P与椭圆C相切的切线斜率分别为k1，k2，则k1k2，因为两条切线相互垂直，所以1，即xy10(x02)，结合知，P在圆x2y210上，又因为点P在直线x3yt0上，所以直线x3yt0与圆x2y210有公共点，则，得10t10.综上所述，t的取值范
29、围为10,104、已知椭圆C：1(ab0)经过点M，F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|2，P是椭圆C上的一个动点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围解：(1)由题意得解得a2，b1，c，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)因为c，F1(，0)，F2(，0)，设P(x，y)，则(x，y)(x，y)x2y23，因为y21，所以x2y23x213(3x28)，解得x.因为点P在第一象限，所以x0，所以00，整理得m22k20.则x1x2，x1x2.设线段AB的中点坐标(x0，y0)，则x0，y0kx0m.所以AB的垂直平分线方程为y(x)，此直线与x
30、轴，y轴的交点坐标分别为(，0)，(0，)由题可得|，整理得m2，k0.所以可得2k20，整理得(k22)(k2|k|2)0，k0.解得0|k|2.所以k的取值范围是(，2)(，0)(0，)(2，)6、已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，E的左顶点为A，上顶点为B，点P在椭圆上，且PF1F2的周长为42(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：ykxm(k0)与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G(1,0)，求k的取值范围解：(1)由题意知解得则b2a2c21，椭圆E的方程为y21(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，弦MN的中点D(x0，y0)，由消去y整理得，(14k2)x28kmx4m240，直线l：ykxm(k0)与椭圆交于不同的两点，64k2m24(14k2)(4m24)0，即m214k2，由根与系数的关系得则x0，y0kx0m，所以直线DG的斜率为kDG，又由直线DG和直线MN垂直可得k1，则m，代入m214k2可得214k2，即k2，解得k或k故所求k的取值范围是
