1、利用导数研究函数的零点问题1已知函数f (x)x3bxaxln x，x(0，)，a，bR(1)当a0时，讨论函数f (x)的单调性；(2)当a1时，函数f (x)在上有零点，求实数b的取值范围解(1)f (x)的定义域为(0，)， 当a0时，函数f (x)x3bx，f (x)3x2b，x(0，)当b0时，f (x)3x2b0恒成立，所以f (x)在(0，)上单调递增当b0时，令f (x)0，得x1，x2(舍去)，当x时，f (x)0，f (x)单调递增，当0x时，f (x)0，f (x)单调递减综上所述，当b0时，函数f (x)在(0，)上单调递增；当b0时，函数f (x)在上单调递增，在上单
2、调递减(2)当a1时，函数f (x)x3bxxln x，函数f (x)在上有零点，即方程f (x)0在上有解，即bln xx2在上有解令g(x)ln xx2，x，则g(x)2x，令g(x)0，得x2，则函数g(x)在上单调递减；令g(x)0，得x，则函数g(x)在上单调递增又gln 2，gln 2，g(2)4ln 2，gg(2)2ln 220，所以g(x)ming(2)4ln 2，g(x)maxgln 2故实数b的取值范围是2(2021石家庄模拟)已知函数f (x)2a2ln xx2(a0)(1)当a1时，求曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线方程；(2)求函数f (x)的单调区间；(
3、3)讨论函数f (x)在区间(1，e2)内零点的个数(e为自然对数的底数)解(1)当a1时，f (x)2ln xx2，f (x)2x，f (1)0，又f (1)1，曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线方程为y10(2)f (x)2a2ln xx2，f (x)2xx0，a0，当0xa时，f (x)0；当xa时，f (x)0f (x)在(0，a)上单调递增，在(a，)上单调递减(3)由(2)得f (x)maxf (a)a2(2ln a1)讨论函数f (x)的零点情况如下：当a2(2ln a1)0，即0a时，函数f (x)无零点，函数f (x)在(1，e2)内无零点当a2(2ln a1)0，
4、即a时，函数f (x)在(0，)内有唯一零点a，而1ae2，函数f (x)在(1，e2)内有一个零点当a2(2ln a1)0，即a时，f (1)10，f (a)a2(2ln a1)0，f (e2)2a2ln e2e44a2e4(2ae2)(2ae2)当2ae20，即a时，f (e2)0，由函数的单调性可知，函数f (x)在(1，a)内有唯一零点x1，在(a，e2)内有唯一零点x2，f (x)在(1，e2)内有两个零点当2ae20，即a时，f (e2)0，由函数的单调性可知，f (x)在(1，e2)内只有一个零点综上所述，当0a时，函数f (x)在(1，e2)内无零点；当a或a时，函数f (x)
5、在(1，e2)内有一个零点；当a时，函数f (x)在(1，e2)内有两个零点3设函数f (x)x2axln x(aR)(1)当a1时，求函数f (x)的单调区间；(2)若函数f (x)在上有两个零点，求实数a的取值范围解(1)函数f (x)的定义域为(0，)，当a1时，f (x)2x1，令f (x)0，得x(负值舍去)，当0x时，f (x)0；当x时，f (x)0f (x)的单调递增区间为，单调递减区间为(2)令f (x)x2axln x0，得ax令g(x)x，其中x，则g(x)1，令g(x)0，得x1，当x1时，g(x)0；当1x3时，g(x)0，g(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(1，3，g(x)ming(1)1，函数f (x)在上有两个零点，g3ln 3，g(3)3，3ln 33，实数a的取值范围是
