1、2024年5月30日星期四新疆王新敞特级教师源头学子 小屋http:/w ww.xj xc/w w http:/w ww.xj xc/源头学子 小屋特级教师王新敞新疆1.不等式412 xx0 的解集为（）(A)(-2,1)(B)(2,+)(C)(-2,1)(2,+)(D)(-,-2)(1,+)【思路点拨】解分式不等式的最简捷的方法是零点分段法（叫根轴法、串线法）.忌去分母.【解析】2104xx10(2)(2)xxx+-+21-2x原不等式的解集为(-2,1)(2,+).C 一、关于不等式的解法2.已知函数2,0()2,0 xxf xxx ，则不等式2()f xx的解集是()（A）1,1 （B）
2、2,2（C）2,1（D）1,2【解析】2()f xx220022xxxxxx 或1001xx或A 11x 一、关于不等式的解法3.若不等式02qpxx的解集是21 xx，则不等式06522xxqpxx的解集是（）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ xx，所以和是方程20 xpxq的根，从而3,2pq，则不等式2232(1)(2)056(6)(1)xxxxxxxx的解集是),6()2,1()1,(.-1126D一、关于不等式的解法4.设 f(x)=1232,2,log(1),2,xexxx则不等式 f(x)2 的解集为(A)（1，2）（3，+）(B)（10，+）(C)（1，2）（10，
3、+）(D)（1，2）【思路点拨】指对数不等式要化成同底的,进而转化为一次或二次不等式求解.【解析】f(x)2 2132,2log(1)2,22xxxxe 或22211 90 xxxx 或1210 xx 或C 一、关于不等式的解法5.不等式3)61(log 2 xx的解集为 【思路点拨】根据对数函数单调性得到再根据双勾函数1()f xxx的图像及分式不等式的解法1068xx【解析】221log(6)3log 8xx1068xx 162xx 62oyx(3 2 2,32 2)1x (3 2 2,3 2 2)1 一、关于不等式的解法6 解不等式：|x-3|-|x+1|1.一、关于不等式的解法解：原不
4、等式等价于1)1()3(1xxx1)1()3(31xxx或1)1()3(3xxx或解的解集为，的解集为x|21 x 21.137.已知m正整数.【思路点拨】不等式的证明方法一般有作差比较法、作商比较法、综合法、分析法、三角换元、代数换元、放缩法、反证法、单调性及数学归纳法.用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)m1+mx；用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)验证：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.二、关于不等式的证明7.已知m为正整数.用数学
5、归纳法证明：当x-1时，(1+x)m1+mx；【证明】当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立；下用数学归纳法证明：当x-1，且x0时，m2,(1+x)m1+mx.用数学归纳法证明本不等式的步骤：(1)验证：当m=2结论正确；(2)假设当m=k(kN*,且k2)时结论(1+x)k1+kx 正确，推导当m=k+1时结论(1+x)k+11+(k+1)x也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从2开始的所有正整数m都有(1+x)m1+mx正确.二、关于不等式的证明7.已知m，n为正整数.用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)m1+mx；证明：当x-1，且x0时，m2,(1+x)m1+mx.(i)当
6、m=2时，左边1+2x+x2 1+2x=右边即左边右边，不等式成立；验证正确（ii）假设当m=k(k2)时，不等式成立，即(1+x)k1+kx,假设正确则当m=k+1时，由条件知 1+x0，kx20.左边=(1+x)k+1=1+(k+1)x+kx2=(1+x)k(1+x)(1+kx)(1+x)1+(k+1)x=右边所以(1+x)k+11+(k+1)x,即当mk+1时，不等式也成立.推理准备利用假设转化变形推出正确二步小结由(i)(ii)知，当m2时所证不等式成立.肯定结论(1+x)k+11+(k+1)x二、关于不等式的证明二、关于不等式的证明8.设函数sin()2cosxf xx如果对任何0
7、x，13a，求证：()f xax证明：令()()g xaxf x13a22cos1()(2cos)xg xax则222cos123()(2cos)2cos(2cos)xg xaaxxx211132cos33ax0 ()()g xaxf x在0 x上是增函数，所以当0 x时，()(0)0g xg，()0axf x即()f xax11,12cos3tx 232gtta 103a 三、关于不等式综合问题9.当(12)x，时，不等式240 xmx恒成立，则m 的取值范围是解：当(1 2)x，时240 xmx恒成立，等价于4()mxx 当(1 2)x，时恒成立，从而 m 就小于等于函数4()yxx 1
8、2x，的最小值因为函数4()yxx 1 2x，的最小值是-5.5m(,5 三、关于不等式综合问题9.当(12)x，时，不等式240 xmx恒成立，则m 的取值范围是另解：当(1 2)x，时240 xmx恒成立，5m(,5 等价于函数2()4,f xxmx(1 2)x，恒为负值.等价于函数2()4,f xxmx(12)x，的图像总在 x 轴下方.则必有(1)0,(2)0ff且140,4240mm 且三、关于不等式综合问题10若不等式13642222xxkkxx对于 x 取任何实数均成立，求k的取值范围.解：22221463xkxkxx2222463xkxkxx222(3)30 xkxk 4x2+6x+30恒成立对xR恒成立对xR恒成立对xR恒成立=-2(k-3)2-8(3-k)0 k2-4k+30 1k3.以上通过例题的形式，介绍了解不等式与证明不等式等的分析和处理方法.仅仅是起到一个抛砖引玉的作用.希望能使所有听课同学的思维得到升华.再见！奎屯王新敞新疆2007新疆奎屯特级教师http:/王新敞源头学子小屋新疆王新敞特级教师源头学子 小屋http:/w ww.xj xc/w w http:/w ww.xj xc/源头学子 小屋特级教师王新敞新疆本讲到此结束，请同学们再关注下一讲.谢谢！
