1、利用导数研究不等式恒(能)成立问题1设f(x)xln x，g(x)x3x23(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围解(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x令g(x)0得x0或x，令g(x)0得0x，又x0,2，所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以g(x)ming，又g(0)3，g(2)1，所以g(x)maxg(2)1故g(x1)g(x2)maxg(x)max
2、g(x)minM，则满足条件的最大整数M4(2)对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)ming(x)max，由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)1在区间上，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，令m(x)xln x，由m(x)ln x10得x即m(x)xln x在上是增函数，可知h(x)在区间上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当x1时，h(x)0即函数h(x)xx2ln x在区间上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，所以a1，即实
3、数a的取值范围是1，)2(2021河北邯郸市高三二模)已知函数f(x)xln xmxm(1)当m2时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当x1时，f(x)2x0恒成立，求整数m的最大值解(1)当m2时，f(x)xln x2x2，定义域为(0，)，又f(1)0且f(x)xln x2ln x3，则f(1)3，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y03(x1)，即y3x3(2)f(x)2xxln xmxm2x0可化为m(x1)1，所以x10，所以当x1时，m恒成立，令g(x)，x(1，)，只需m0在(1，)上恒成立，所以h(x)在(1，)上单调递增，因为h(4)1l
4、n 40，所以t(4,5)，使得h(t)tln t30，即ln tt3，当1xt时，h(x)0，即g(x)t时，h(x)0，即g(x)0，g(x)单调递增，所以g(x)ming(t)t，所以只需mt，因为t(4,5)，所以整数m的最大值为43已知函数f(x)ln x(其中e为自然对数的底数)(1)证明：f(x)f(e)；(2)对任意正实数x、y，不等式a(ln yln x)2x0恒成立，求正实数a的最大值解(1)证明：f(x)ln xln x，令g(x)xln x2ex，g(x)ln x(x)1ln x2，在(0，e2)上，g(x)0，g(x)单调递增，在(e2，)上，g(x)0，g(x)单调递减，所以g(x)maxg(e2)e2ln e22ee22e22ee2e22e0，又因为x0时，g(x)0；g(e)0，所以在(0，e)上，g(x)0，f(x)0，f(x)单调递增，在(e，)上，g(x)0，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)maxf(e)，即f(x)f(e)(2)因为x，y，a，都大于0，由a(ln yln x)2x0两边同除以ax整理得：ln ，令t(t0)，所以ln t恒成立，记h(t)ln t，则h(t)max，由(1)知h(t)maxh(e)1，所以1，即0a2，amax2所以正实数a的最大值是2
