1、12余弦定理(1)1.掌握余弦定理及其证明方法2.会用余弦定理解决两类问题：“已知三边”“已知两边夹角”解三角形3会用余弦定理判断三角形的形状,学生用书P6)1余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C2余弦定理的推论cos A，cos B，cos C3运用余弦定理可以解决两类有关解三角形的问题(1)已知三边，求三角(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角1判断下列关于余弦定理的命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)余弦定理揭示了任意三角形边角
2、之间的关系，因此，它适用于任何三角形()(2)在ABC中，若a2b2c2，则ABC一定为钝角三角形()(3)在ABC中，已知两边和其夹角时，ABC不唯一()解析：(1)正确余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适用于任何三角形(2)正确当a2b2c2时，cos A0.因为0A，故A一定为钝角，则ABC为钝角三角形(3)错误当ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此ABC唯一确定答案：(1)(2)(3)2一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是，则三角形的另一边长为_解析：设三角形的另一边长为c.由余弦定理得：c2.答案：23在ABC中，acos Abcos Bc
3、cos C，则ABC的形状是_解析：因为acos Abcos Bccos C，所以abc，整理得0，即0，所以b2a2c2或a2b2c2，故ABC是直角三角形答案：直角三角形已知两边与一角解三角形学生用书P6(1)在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC_(2)在ABC中，若AB，AC5，且cos C，则BC_【解析】(1)由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C，即13AC292AC3cos 120，化简得AC23AC40，解得AC1或AC4(舍去)(2)由余弦定理得：()252BC225BC，所以BC29BC200，解得BC4或5.【答案】(1)1(2)4或5已知两边与一角解
4、三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解 (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理或余弦定理求解1.在ABC中，A60，AC2，BC，则AB等于_解析：法一：在ABC中，根据余弦定理，即BC2AB2AC22ABACcos 60，得()2AB2222AB2cos 60，整理得AB22AB10，解得AB1.法二：在ABC中，根据正弦定理，得，即，解得sin B1，因为B(0，180)，所以B90，所以AB1.答案：1已知三边(三边关系)解
5、三角形学生用书P6在ABC中，已知abc2(1)，求各角的度数【解】由已知abc2(1)，令a2k，bk，c(1)k(k0)由余弦定理，得cos A，所以A45.cos B，所以B60.所以C180AB180456075. (1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 2.在ABC中，若a7，b4，c，则ABC的最小角大小为_解析：因为cba，所以BA.又因为0Aa2，这一隐含条件，如果忽略了这一条件，会出现在求得
6、sin A时，得到A30或150，这样就出现了150这一增解导致不得分(2)在利用正、余弦定理解三角形时，一定要准确分析题中的已知条件和求解的关系，挖掘其中的隐含条件，防止出现漏解或增解1在ABC中，a1，c2，B60，则b_解析：由余弦定理可得b2a2c22accos B1423，所以b.答案：2ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a，c2，cos A，则b_解析：由余弦定理得522b222bcos A，因为cos A，所以3b28b30，所以b3.答案：33ABC中，B120，AC7，AB5，则ABC的面积为_解析：由余弦定理知AC2AB2BC22ABBCcos 120，即4
7、925BC25BC，解得BC3.故SABCABBCsin 12053.答案：,学生用书P73(单独成册)A基础达标1边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是_解析：设中间角为，则cos ，60，18060120即为所求答案：1202在ABC中，若a6，b6，A30，则c_解析：由余弦定理a2b2c22bccos A，得c218c720，从而c6或12.答案：6或123设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(abc)(abc)ab，则角C_解析：由(abc)(abc)ab，得a2b2c2ab，则cos C.又因为角C为ABC的内角，所以C.答案：4在ABC中，A，ac，则_解
8、析：在ABC中，A，所以a2b2c22bccos，即a2b2c2bc.因为ac，所以3c2b2c2bc，所以b2bc2c20，所以(b2c)(bc)0，所以bc0，所以bc，所以1.答案：15设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acos C4csin A，已知ABC的面积Sbcsin A10，b4，则a的值为_解析：由3acos C4csin A，得.又由正弦定理，得tan C.由Sbcsin A10，b4csin A5.由tan Csin C.又根据正弦定理，得a.答案：6已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2ac，且c2a，则cos B_解
9、析：因为b2ac，且c2a，由余弦定理，得cos B.答案：7在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2b2c2，则的值为_解析：因为a2b2c2，所以b2a2c2.所以cos B.所以.答案：8在ABC中，若acos Bbcos A，则ABC的形状是_三角形解析：由余弦定理，可得ab，即a2c2b2b2c2a2，从而ab.故ABC为等腰三角形答案：等腰9在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan C3.(1)求cos C；(2)若，且ab9，求c.解：(1)因为tan C3，所以3.又因为sin2Ccos2C1，解得cos C.因为tan C0，所以C是锐角所以co
10、s C.(2)因为，所以abcos C.所以ab20.又因为ab9，所以a22abb281.所以a2b241.所以c2a2b22abcos C36.所以c6.10在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2sin2Cc2sin2B2bccos Bcos C，试判断ABC的形状解：法一：化角为边因为b2sin2Cc2sin2B2bccos Bcos C，所以b2(1cos2C)c2(1cos2B)2bccos Bcos C.根据余弦定理的推论可得b2c2b2c22bc，即b2c2a2，所以ABC为直角三角形法二：化边为角因为b2sin2Cc2sin2B2bccos Bcos C，
11、由正弦定理得sin2Bsin2Csin2Csin2B2sin Bsin Ccos Bcos C，即sin Bsin Ccos Bcos C，cos(BC)0，所以BC90，所以ABC为直角三角形B能力提升1ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，当a2c2b2ac时，角B的取值范围为_解析：cos B，又B(0，)，故B.答案：2在ABC中，若acos2ccos2b，那么a，b，c的关系是_解析：cos2，cos2，代入已知等式得：acacos Cccos A3b，所以acac3b，整理得ac2b.答案：ac2b3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a3，b4，c6，则
12、bccos Aaccos Babcos C的值是_解析：因为cos A，所以bccos A(b2c2a2)同理accos B(a2c2b2)，abcos C(a2b2c2)，所以bccos Aaccos Babcos C(a2b2c2).答案：4(选做题)在ABC中，已知AB，cosABC，AC边上的中线BD，求sin A的值解：如图，设E为BC的中点，连结DE，则DEAB，且DEAB，cosBEDcosABC(BED与ABC互补)设BEx，在BDE中，利用余弦定理得：BD2BE2ED22BEEDcosBED，即5x22x，解得：x1，x(舍去)故BC2，从而AC2AB2BC22ABBCcosABC，即AC.又sinABC，故，所以sin A.
