1、第4讲 函数的奇偶性与周期性一、选择题1下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()Aylog2x(x0) Byxx3(xR)Cy3x(xR) Dy(xR，x0)解析：选项A，定义域不关于原点对称；选项C不是奇函数；选项D在(，0)和(0，)上是减函数答案：B2函数f(x)x3sin x1的图象()A关于点(1,0)对称 B关于点(0,1)对称C关于点(1,0)对称 D关于点(0，1)对称解析：令g(x)f(x)1x3sin x，则g(x)为奇函数，所以g(x)的图象关于原点(0,0)对称，当x0时，有f(x)10，此时f(x)1，所以对称点为(0,1)答案：B3(2010模拟精选)函
2、数f(x)x3sin x1(xR)，若f(a)2，则f(a)的值为()A3 B0 C1 D2解析：f(a)a3sin a12，f(a)(a)3sin(a)1a3sin a1(a3sin a1)2220.答案：B4(2009山东)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)0，f(x)在2,0上也是增函数，且f(x)0，且f(x)为减函数同理f (x)在4,6为减函数且f (x)0.如图所示f (-25)= f (-1)0，f (80
3、)= f (0)=0，f (-25) f (80) f (11)答案：D二、填空题5已知函数f(x)a ，若f(x)为奇函数，则a_.解析：f(x)为奇函数，定义域为R，f(0)0a0a，经检验，当a时，f(x)为奇函数答案：6(2009北京西城一模)设a为常数，f(x)x24x3，若函数f(xa)为偶函数，则a_；ff(a)_.解析：由题意得f(xa)(xa)24(xa)3x2(2a4)xa24a3，因为f(xa)为偶函数，所以2a40，a2. ff(a)ff(2)f(1)8.答案：287(2010河南调研)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)log2(x1)若f(m)2
4、，则实数m的取值范围是_解析：令x0，f(x)log2(1x)，f(x)为奇函数，故有f(x)log2(1x)，f(m)2,1m4，故m3.答案：(，3)三、解答题8已知f(x)x()(x0)判断f(x)的奇偶性解： f(x)的定义域是(，0)(0，)f(x)x().f(x)f(x)故f(x)是偶函数9(2009哈尔滨模拟)定义在2,2上的偶函数g(x)，当x0时，g(x)单调递减，若g(1m)g(m)，求m的取值范围解：因为g(x)在x2,2上是偶函数所以由g(1m)g(m)可得，g(|1m|)|m|，且|1m|2.解得：1m.m的取值范围是.10(2010模拟精选)设函数f(x)是奇函数(
5、a，b，c都是整数)，且f(1)2，f(2)3，f(x)在(1，)上单调递增(1)求a，b，c的值；(2)当x0时，f(x)的单调性如何？证明你的结论解：(1)由f(1)2得2，由f(2)3得3.函数f(x)是奇函数，函数f(x)的定义域关于原点对称又函数f(x)的定义域为x|xR且x，则0，c0，于是得f(x)，且2，3，3，即0b，又bZ，b1，则a1.a1，b1，c0符合 f(x)在(1，)上单调递增(2)由(1)知f(x)x.已知函数f(x)是奇函数，根据奇函数的对称性，可知f(x)在(，1)上单调递增；以下讨论f(x)在区间1,0)上的单调性当1x1x20时，f(x1)f(x2)(x
6、1x2)，显然x1x20,0x1x21,10，函数f(x)在1,0)上为减函数综上所述，函数f(x)在(，1)上是增函数，在1,0)上是减函数1函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则()Af(x)是偶函数 Bf(x)是奇函数Cf(x)f(x2) Df(x3)是奇函数解析：由已知条件对xR都有f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)因此f(x3)f(x2)1f(x2)1f(x1)f(x1)f(x21)f(x3)因此函数f(x3)是奇函数答案：D2()定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)，且f(x)在1,0上是增函数，下列五个关于f(x)的命题中：f(x)是
7、周期函数；f(x)的图象关于x1对称；f(x)在0,1上是增函数；f(x)在1,2上是减函数；f(2)f(0)其中正确命题的序号是_(请把正确命题的序号全部写出)解析：对于，由f(x1)f(x)得f(x2)f(x1)1)f(x1)(f(x)f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数，故正确；对于，由f(x)的周期为2可得f(x1)f(x1)，由f(x)为偶函数，得f(x1)f(1x)，所以f(1x)f(1x)，即函数f(x)的图象关于x1对称，故正确；对于，由f(x)在1,0上是增函数，而且f(x)为偶函数，所以f(x)在0,1上是减函数，故错误；对于，由函数 f(x )的周期为2可得f(x)在1,2上是增函数，故错误；对于，由可得f(2)f(0)，故正确综上所述，正确的命题有.答案：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m