1、22.3向量的数乘1.了解向量数乘运算的几何意义2.理解向量共线定理3.掌握向量数乘运算法则及运算律1向量的数乘的定义一般地，实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，长度和方向有如下规定：(1)|a|a|(2)当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a02向量数乘的运算律设，为实数，那么：(1)(a)()a，(2)()aaa，(3)(ab)ab3向量共线定理以及向量的线性运算(1)向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba(2)向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b)1a2b.1判断(正确
2、的打“”，错误的打“”)(1)共线向量定理中，条件a0可以去掉()(2)a的方向与a的方向一致()解析：(1)错误若条件a0去掉，当b0，a0时，不存在(2)错误当0时，a的方向与a的方向一致；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0，方向任意答案：(1)(2)24(ab)3(ab)b()Aa2bBaCa6bDa8b解析：选D原式4a4b3a3bba8b.3若|a|5，b与a的方向相反，且|b|7，则a_b.解析：因为|a|5，|b|7，所以，又方向相反，所以ab.答案：4若2(cb3y)b0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y_解析：由2(cb3y)b0，得2yacbyb0，即yac
3、b0，所以yabc.答案：abc向量的线性运算化简下列各式：(1)4(ab)3(ab)；(2)3(a2bc)(2ab3c)；(3)(ab)(2a4b)(2a13b)【解】(1)4(ab)3(ab)(4a3a)(4b3b)a7b.(2)3(a2bc)(2ab3c)3a6b3c2ab3ca7b6c.(3)(ab)(2a4b)(2a13b)abababab0a0b000.向量线性运算的基本方法关于向量数乘的有关运算，只需把向量符号看做一般字母符号，然后按照实数的运算方法进行计算即可其中向量的数乘之间的和差运算，相当于合并同类项 1.化简下列各式(1)(2a3bc)(3a2bc)2(c3b)；(2).
4、解：(1)原式2a3bc3a2bc2c6b(23)a(326)b(112)cab.(2)原式ab.向量共线定理的应用已知非零向量e1，e2不共线(1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值【解】(1)证明：因为e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5.所以与共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线(2)因为ke1e2与e1ke2共线，所以存在，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有所以k1.向量共线定理的应用(1)若ba(a0)，且b与a所在的直线无公共
5、点，则这两条直线平行(2)若ba(a0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合例如，若，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法2.已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则A，B，C，D中一定共线的三点是_解析：因为2a4b2，所以向量，共线，又它们有公共点B，故A，B，D三点共线答案：A，B，D用已知向量表示其他向量如图，ABCD是一个梯形，且|2|，M，N分别是DC，AB的中点，已知e1，e2，试用e1，e2表示下列向量(1)_；(2)_【解】因为，|2|，所以2，.(1)e2e1.(2)e1e2e1e1e2.答案：(1)e2e1(2)e
6、1e2在本例中，若条件改为e1，e2，试用e1，e2表示向量.解：由题意可知，得2e1e2，所以e1e2.用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法 (2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程3.如图所示，D，E分别是ABC中边AB，AC的中点，已知a，b，试用a，b分别表示，.解：由三角形中位线定理，知DEBC，故，即a.abaab.1向量的数乘运算(1)数乘向量的结果仍是一个向量；(2)实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，例如a，a无法运算；(3)当0或a0时，a0，这时就不必讨论方向了；当1
7、时，(1)aa就是a的相反向量2向量共线定理(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数，使ba(a0)，则a与b共线；反之，若a与b共线(a0)，则必存在一个实数，使ba.(2)定理中，之所以限定a0是由于若ab0，虽然仍然存在，可是不唯一，定理的正反两个方面不等价(3)若a，b不共线，且ab，则必有0.3向量的线性运算向量线性运算法则在形式上与实数加减法、乘法的运算法则类似，但是向量的运算与实数的运算在具体含义上是不同的由于它们在形式上类似，所以实数运算中的常用变形手段，如去括号、移项、合并同类项等在向量的线性运算中都可以使用设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若
8、(R)，(R)，且2，则称A3，A4调和分割点A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是_(填序号)C可能是线段AB的中点；D可能是线段AB的中点；C，D可能同时在线段AB上；C，D不可能同时在线段AB的延长线上【解析】依题意，若C，D调和分割点A，B，则有，且2.若C是线段AB的中点，则有，此时.又2，所以0，不可能成立因此不对，同理不对当C，D同时在线段AB上时，由，知01，02，与已知条件2矛盾，因此不对若C，D同时在线段AB的延长线上，则时，1，时，1，此时2，与已知2矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上【答案】(1)见到调和分割，感到无所适从，对其理
9、解不够对，满足的条件2，不知如何利用只知正向推导，不会逆向思维，造成思维受阻，事倍功半(2)深刻理解题意，尤其新定义题目灵活解题策略，若正向推导不易进行时，可采用逆向思维的方式进行注意分类讨论思想的运用，把握数乘向量的实质1.等于()A2abB2baCbaDab解析：选B原式(2a8b)(4a2b)ababa2b.2若点O为平行四边形ABCD的中心，2e1，3e2，则e2e1()ABCD解析：选A3e22e1，e2e1.3已知.设，那么实数的值是_解析：因为，所以()，即(1)，又因为，所以.答案：4已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a2e13e2，be16e2，若a，b共线，则等于_解
10、析：由a，b共线知amb，mR，于是2e13e2m(e16e2)，即(2m)e1(6m3)e2.由于e1，e2不共线，所以所以4.答案：4学生用书P105(单独成册)A基础达标设a是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是()Aa与a的方向相反B|a|a|Ca与2a的方向相同D|a|a解析：选C当取负数时，a与a的方向是相同的，选项A错误；当|(如图所示)，所以1.B能力提升1已知O是ABC内的一点，且0，则O是ABC的_解析：是以、为邻边作平行四边形的对角线，且过AB的中点，设中点为D，则2，所以20，同理设E、F为AC，BC中点，则满足条件的点O为ABC三边中线的交点，故为重心答案：重心已知
11、ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m_解析：由0知，点M为ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则()()，所以有3，故m3.答案：3证明：若向量、的终点A、B、C共线，则存在实数、，且1，使得：；反之，也成立证明：如图所示，若、的终点A、B、C共线，则，故存在实数m，使得m，又，所以m()，即m(1m).令m，1m，则存在实数、且1，使得.若，其中，R且1，则1.故(1)，即()，即.所以A、B、C三点共线，即向量、的终点在一条直线上4(选做题)在ABC中，点D是边BC的中点，A，D，E三点共线，求证：存在一个实数，使得()证明：由向量加法的平行四边形法则可知()因为A，D，E三点共线，所以可设，则()令，可得()所以，存在一个实数，使得()
