1、单元质检三导数及其应用(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.如果一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是()A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒答案:C解析:根据瞬时速度的意义,可得3秒末的瞬时速度是v=s|t=3=(-1+2t)|t=3=5.2.设曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a等于()A.2B.-2C.12D.-12答案:B解析:因为y=x+1x-1的导数为y=-2(x-1)2,所以曲线在点(3,2)处的切线斜率k=-12.又因
2、为直线ax+y+3=0的斜率为-a,所以-a-12=-1,解得a=-2.3.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是()A.m0B.m1D.m0,若y=ex+mx有极值,则必须使y的值有正有负,故m0.4.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是()A.0B.1C.2D.3答案:A解析:由f(x)=2x+1-1x=2x2+x-1x=0,得x=12或x=-1(舍去).当0x12时,f(x)12时,f(x)0,f(x)单调递增.则f(x)的最小值为f12=34+ln20,所以无零点.5.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处
3、的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案:D解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f(x)=3x2+1,得曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线斜率k=f(0)=1.故切线方程为y=x.6.已知函数f(x)=xsinx,x1,x2-2,2,且f(x1)0B.x1+x20C.x12-x220D.x12-x220,故f(x)在区间0,2内单调递增.又f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x),f(x)为偶函数,当f(x1)f(x2)时,f(|x1
4、|)f(|x2|),|x1|x2|,x12-x220.故选D.7.已知当x12,2时,a1-xx+lnx恒成立,则a的最大值为()A.0B.1C.2D.3答案:A解析:令f(x)=1-xx+lnx,则f(x)=x-1x2.当x12,1时,f(x)0.f(x)在区间12,1内单调递减,在区间(1,2上单调递增,在区间12,2上,f(x)min=f(1)=0,a0,即a的最大值为0.8.已知函数f(x)=lnx+tan02的导函数为f(x),若方程f(x)=f(x)的根x0小于1,则的取值范围为()A.4,2B.0,3C.6,4D.0,4答案:A解析:f(x)=lnx+tan,f(x)=1x.令f
5、(x)=f(x),得lnx+tan=1x,即tan=1x-lnx.设g(x)=1x-lnx,显然g(x)在区间(0,+)内单调递减,而当x0时,g(x)+,故要使满足f(x)=f(x)的根x0g(1)=1.又02,4,2.9.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0,且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是()A.(-3,0)(3,+)B.(-3,0)(0,3)C.(-,-3)(3,+)D.(-,-3)(0,3)答案:D解析:当x0,即f(x)g(x)0,当x0时,f(x)g(x)为增函数,又g(x)是偶函数,且g(3)=0,g(-3)=0,f(-3)g(-3)
6、=0.故当x-3时,f(x)g(x)0时,f(x)g(x)为增函数,且f(3)g(3)=0,故当0x3时,f(x)g(x)0,解得0x344,令f(x)344,故f(x)在区间0,344内单调递增,在区间344,+内单调递减,故f(x)的最大值是f344,于是a=344.11.若函数f(x)=x33-a2x2+x+1在区间12,3内有极值点,则实数a的取值范围是()A.2,52B.2,52C.2,103D.2,103答案:C解析:若f(x)=x33-a2x2+x+1在区间12,3内有极值点,则f(x)=x2-ax+1在区间12,3内有零点,且零点不是f(x)的图象顶点的横坐标.由x2-ax+1
7、=0,得a=x+1x.因为x12,3,y=x+1x的值域是2,103,当a=2时,f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意.所以实数a的取值范围是2,103,故选C.12.(2020广西贵港四模)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(-1)=0,当x0时,xf(x)-f(x)0.已知a=flog214,b=f(31.5),c=f(21.5),则()A.acbB.abcC.bcaD.ca0时,xf(x)-f(x)0,f(x)x=xf(x)-f(x)x20,f(x)x在区间(0,+)内单调递增,又f(x)是奇函数,且f(-1)=0,f(1)=0,当x(0,1)时,f(x)0,
8、a=flog214=f(-2)=-f(2)21.51,f(31.5)0,f(21.5)0,且f(31.5)31.5f(21.5)21.5,f(31.5)f(21.5)321.51,b=f(31.5)f(21.5)=c0.acb.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在区间(-,+)内是减函数,则实数a的取值范围是.答案:(-,-3解析:由题意可知f(x)=3ax2+6x-10在R上恒成立,则a0,=62+43a0,解得a-3.14.(2020广西钦州一模)已知函数f(x)=x(x5-16x2+x-4),且f(x)f(x0)对xR恒成立,
9、则曲线y=f(x)x在点x0,f(x0)x0处的切线的斜率为.答案:17解析:f(x)=x(x5-16x2+x-4)=x6-16x3+x2-4x=(x3-8)2+(x-2)2-68,当x=2时,函数f(x)取得最小值,x0=2.f(x)x=5x4-32x+1,曲线y=f(x)x在点x0,f(x0)x0处的切线的斜率k=524-322+1=17.15.已知函数f(x)=e|x-1|,函数g(x)=lnx-x+a,若x1,x2使得f(x1)g(x2)成立,则a的取值范围是.答案:(2,+)解析:由题意,若x1,x2使得f(x1)g(x2)成立,可转化为f(x)min0),当x(0,1)时,g(x)
10、0,则函数g(x)单调递增;当x(1,+)时,g(x)1,解得a2,即实数a的取值范围是(2,+).16.已知函数f(x)=xlnx+12x2,x0是函数f(x)的极值点,给出以下几个结论:0x01e;f(x0)+x00.其中正确的结论是.(填出所有正确结论的序号)答案:解析:由已知得f(x)=lnx+x+1(x0),不妨令g(x)=lnx+x+1(x0),由g(x)=1x+1,当x(0,+)时,有g(x)0总成立,所以g(x)在区间(0,+)内单调递增,且g1e=1e0,又x0是函数f(x)的极值点,所以f(x0)=g(x0)=0,即g1eg(x0),所以0x01e,即结论正确,则结论错误;
11、因为lnx0+x0+1=0,所以f(x0)+x0=x0lnx0+12x02+x0=x0(lnx0+x0+1)-12x02=-12x020,所以f(x)=0有两个不相等的实数根.所以不存在实数a,使得f(x)是区间(-,+)内的单调函数.18.(12分)已知f(x)=x3-12x2-2x+5.(1)求f(x)的单调区间;(2)过点(0,a)可作y=f(x)的三条切线,求a的取值范围.解：(1)f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),故f(x)在区间-,-23,(1,+)内单调递增,在区间-23,1内单调递减.(2)设切点为(x0,f(x0),则切线的方程为y-f(x0)=f(x0)(x
12、-x0),即y-x03-12x02-2x0+5=(3x02-x0-2)(x-x0).又点(0,a)在切线上,故a-x03-12x02-2x0+5=(3x02-x0-2)(0-x0),即a=-2x03+12x02+5.令g(x)=-2x3+12x2+5,由已知得y=a的图象与g(x)=-2x3+12x2+5的图象有三个交点,g(x)=-6x2+x,令g(x)=0,得x1=0,x2=16,g(x1)=5,g(x2)=51216,故a的取值范围为5,51216.19.(12分)已知f(x)=12x2-a2ln x,a0.(1)求函数f(x)的最小值;(2)当x2a时,证明:f(x)-f(2a)x-2
13、a32a.答案：(1)解函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=x-a2x=(x+a)(x-a)x.当x(0,a)时,f(x)0,f(x)单调递增.所以当x=a时,f(x)取得极小值,也是最小值,且f(a)=12a2-a2lna.(2)证明由(1)知,f(x)在区间(2a,+)内单调递增,则所证不等式等价于f(x)-f(2a)-32a(x-2a)0.设g(x)=f(x)-f(2a)-32a(x-2a),则当x2a时,g(x)=f(x)-32a=x-a2x-32a=(2x+a)(x-2a)2x0,所以g(x)在区间(2a,+)内单调递增.所以当x2a时,g(x)g(2a)=0,即f(x)-f
14、(2a)-32a(x-2a)0,故f(x)-f(2a)x-2a32a.20.(12分)已知函数f(x)=lnx-x.(1)判断函数f(x)的单调性;(2)函数g(x)=f(x)+x+12x-m有两个零点x1,x2,且x11.答案：(1)解函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1x-1=1-xx.令f(x)0,解得0x1;令f(x)1.故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+).(2)证明根据题意得g(x)=lnx+12x-m(x0).因为x1,x2是函数g(x)=lnx+12x-m的两个零点,所以lnx1+12x1-m=0,lnx2+12x2-m=0.两式相减,可
15、得lnx1x2=12x2-12x1,即lnx1x2=x1-x22x2x1,故x1x2=x1-x22lnx1x2,因此x1=x1x2-12lnx1x2,x2=1-x2x12lnx1x2.令t=x1x2,其中0t1,则x1+x2=t-12lnt+1-1t2lnt=t-1t2lnt.构造函数h(t)=t-1t-2lnt(0t1),则h(t)=(t-1)2t2.因为0t0恒成立,故h(t)h(1),即t-1t-2lnt1,故x1+x21.21.(12分)(2020山东,21)已知函数f(x)=aex-1-ln x+lna.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与两坐标轴围成的三
16、角形的面积;(2)若f(x)1,求a的取值范围.解：f(x)的定义域为(0,+),f(x)=aex-1-1x.(1)当a=e时,f(x)=ex-lnx+1,f(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴、y轴上的截距分别为-2e-1,2.因此所求三角形的面积为2e-1.(2)由题意a0,当0a1时,f(1)=a+lna1.当a=1时,f(x)=ex-1-lnx,f(x)=ex-1-1x.当x(0,1)时,f(x)0.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x
17、)1.当a1时,f(x)=aex-1-lnx+lnaex-1-lnx1.综上,a的取值范围是1,+).22.(12分)已知函数f(x)=lnx-ax2-2x,aR.(1)当a0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数h(x)=f(x)+3ax2+3x的极值大于零,求实数a的取值范围.解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=1x-2ax-2=-2ax2-2x+1x,当a=0时,令f(x)=-2x+1x=0,得x=12.所以当x0,12时,f(x)0,f(x)单调递增;当x12,+时,f(x)0时,令f(x)=0,则-2ax2-2x+1=0.因为=(-2)2-4(-2a)=4+8
18、a0,x0,所以x=-1+1+2a2a.故函数f(x)在区间0,-1+1+2a2a内单调递增,在区间-1+1+2a2a,+内单调递减.综上,当a=0时,函数f(x)的单调递增区间为0,12,单调递减区间为12,+;当a0时,函数f(x)的单调递增区间为0,-1+1+2a2a,单调递减区间为-1+1+2a2a,+.(2)由题意可知,函数h(x)=lnx+2ax2+x,所以h(x)=1x+4ax+1=4ax2+x+1x(x0).当a0时,h(x)0,可知函数h(x)在区间(0,+)内单调递增,无极值,不符合题意.当a0,且两根之积为x1x2=14a0,不妨设x10,x2=-1-1-16a8a,则由h(x)=0可得x=x2,故h(x)在区间(0,x2)内单调递增,在区间(x2,+)内单调递减,所以x=x2为极值点.由题意可知,h(x2)=lnx2+2ax22+x20.又4ax22+x2+1=0,所以lnx2+x2-120.构造函数g(x)=lnx+x-12(x0),则g(x)=1x+120,所以函数g(x)在区间(0,+)内单调递增.又g(1)=0,所以由g(x)0,解得x1,即x2=-1-1-16a8a1,解得-12a0.故实数a的取值范围为-12,0.
