1、23向量的坐标表示23.1平面向量基本定理1.了解平面内所有向量的一组基底的含义2.理解平面向量基本定理3.掌握平面向量的正交分解1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a1e12e2的形式，我们称它为向量a的分解当e1与e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解2向量共线定理与平面向量基本定理的关系(1)由平面向量共线定理知，任意一个向量可以用一个与它共线的非零向量来线性表示，而且这种
2、表示是唯一的；(2)由平面向量基本定理知，任一平面向量可以用不共线的两个非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的；上述两个定理都可以看成(在一定范围内的)向量分解“唯一性”定理1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底()(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则1e12e2(1，2为实数)可以表示该平面内所有向量()(3)若ae1be2ce1de2(a，b，c，dR)，则ac，bd.()解析：(1)错误根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底(2)正确根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向
3、量e1，e2线性表示(3)错误当e1与e2共线时，结论不一定成立答案：(1)(2)(3)2设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()A2e1，3e2Be1e2，3e13e2Ce1，5e2De1，e1e2答案：B3如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若a，b，则_，_(用a，b表示)解析：()ba，()ab.答案：baab用基底表示向量如图所示，在ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若a，b，试用a，b表示向量，.【解】ab.ba.若本例中的基向量“，”换为“，”即若a，b，试用a，b表示向量，.解：222ba.222ab.用基
4、底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解 1.如图所示，四边形OADB是以向量a，b为邻边的平行四边形又，试用a，b表示，.解：由题意，得，所以ab，则(ab)，(ab)，b(ab)ab.(ab)ab.向量正交分解在物理学中的应用如图所示，用绳子AC和BC吊一重物，绳子与垂直方向夹角分别为60和30，已知绳子AC和BC所能承受的最大拉力分别为80 N和150 N，那么重物的重力的大小应不超过多少？【解】设重物的重力为G，如图所示可知方向上的力的大小为|G|cos 30|G|.方向上
5、的力的大小为|G|cos 60|G|.根据题意，得，解得|G|160，所以重物的重力大小应不超过160 N.物理学中的受力分析、速度分解与合成，特别是作正交分解，充分体现了平面向量基本定理的思想内涵，使复杂的问题简单化、特殊化，从而便于解决 2.如图所示，质量为m kg的木块沿倾斜角为的斜面匀加速下滑，设g10 m/s2，摩擦系数为，求木块在下滑过程中加速度a的大小解：由题意知，对木块进行受力分析，如图可知，|mg10m，|sin 10msin ，|cos 10mcos ，|10mcos ，所以，加速度大小为a10(sin cos )平面向量基本定理的综合应用平面内有一个ABC和一点O(如图)
6、，线段OA、OB、OC的中点分别为E、F、G，BC、CA、AB的中点分别为L、M、N，设a，b，c.(1)试用a、b、c表示向量、；(2)证明：线段EL、FM、GN交于一点且互相平分【解】连结EL、FM、GN、OL、OM、ON.(1)因为a，(bc)，所以(bca)同理可得(acb)，(abc)(2)证明：设线段EL的中点为P1，则()(abc)设FM、GN的中点分别为P2、P3，同理可求得(abc)，(abc)所以.即EL、FM、GN交于一点，且互相平分用向量法证明三线相交于一点且互相平分常用的方法是：在平面上找一点，证明这点到三条线段中点的向量相等找点时，要考虑运算的简便性 3.如图，在矩
7、形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC3AE，BC3BF，若，其中，R，求，的值解：在矩形OACB中，()()，所以1，1，所以.1对平面向量基本定理的理解(1)实质：平面向量基本定理的实质是向量的分解(2)平面向量基本定理中，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的(3)零向量与任意向量都共线，因此零向量不能作为基底(4)这个定理体现了转化与化归的数学思想2对基底的理解基底具备两个主要特征：(1)基底是两个不共线向量；(2)基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件注意零向量
8、与任意向量共线，故不能作为基底3平面向量基本定理唯一性的应用设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1ay1bx2ay2b，则4重要结论设e1，e2是平面内的一组基底，当1e12e20时恒有120a1e12e2当20时，a与e1共线当10时，a与e2共线当120时，a0已知e10，R，ae1e2，b2e1，则a与b共线的条件为_【解析】若e1，e2共线，则a与b共线若e1，e2不共线，则ab(e1e2)与2e1共线e1e22ke1(kR)，即a与b共线的条件为0.【答案】e1，e2共线或0(1)本题常见错解为：由a与b共线知akb，即e1e2k2e1，所以所以0.此解法由ae1e2，直接想到
9、平面向量基本定理，将e1，e2看作基底忽视了e1与e2共线的情况(2)防范：在应用平面向量基本定理时， 要注意等式a1e12e2中，e1，e2不共线这个条件，若没有指明，则应对e1，e2分共线与不共线两种情况加以讨论1如图在矩形ABCD中，若5e1，3e2，则()A(5e13e2)B(5e13e2)C(3e25e1)D(5e23e1)解析：选A()()(5e13e2)2.如图，已知，用、表示 ，则等于_解析：因为，所以()，即.答案：学生用书P106(单独成册)A基础达标1若e1，e2是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是()e1e2(，R)可以表示平面内的所有向量；对于平面中的任一向
10、量a，使ae1e2的实数，有无数多对；若1，1，2，2均为实数，且向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使1e11e2(2e12e2)；若存在实数，使e1e20，则0.ABCD解析：选B由平面向量基本定理，可知说法正确，说法不正确对于，当12120时，这样的有无数个故选B2e1，e2为基底向量，已知向量e1ke2，2e1e2，3e13e2，若A，B，D三点共线，则k的值是()A2B3C2D3解析：选Ae12e2(e12e2)又A，B，D三点共线，则和是共线向量，所以k2.3已知ABC的边BC上有一点D，满足3 ，则可表示为()ABC23 D解析：选B由3 ，得().4设非零向
11、量a，b，c满足|a|b|c|，abc，则向量a，b的夹角为()A150B120C60D30解析：选B设向量a，b的夹角为，作a，b，则cab(图略)，a，b的夹角为180C因为|a|b|c|，所以C60，所以120.5若D点在三角形ABC的边BC上，且4rs，则3rs的值为()ABCD解析：选C因为4rs，所以()rs，所以r，s.所以3rs.6在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中，R，则_解析：如图所示，设a，b，则ab，ab，又因为ab，所以()，即，所以.答案：7在ABCD中，a，b，N是AC上一点且3，M是BC的中点，若用a，b表示，则_解析：如图所示，连
12、结BD交AC于O点，则O为AC，BD的中点，又因为3，所以AN3NC，即N为OC的中点，又M是BC的中点，所以MNBO，又ba，所以(ba)答案：(ba)8.如图，在ABC中，已知AB2，BC3，ABC60，AHBC于H，M为AH的中点，若，则_解析：因为AB2，ABC60，AHBC，所以BH1，又M为AH的中点，BC3，所以()()，所以.答案：9用向量法证明三角形的三条中线交于一点证明：如图所示，设D、E、F分别是ABC的三边BC，AC，AB的中点，令a，b为基底，则ab，ab，ab.设AD与BE交于点G1，且，则有ab，ab.又有a(1)b，所以解得.所以.再设AD与CF交于点G2，同理
13、求得.所以点G1、G2重合，即AD、BE、CF交于一点所以三角形的三条中线交于一点10.如图，已知点G是ABC的重心，若PQ过ABC的重心G，且a，b，ma，n b(m0，n0)，试问m，n的倒数和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由解：因为a，b，(ab)，所以(ab)，由于P、G、Q三点共线，则(为正实数)，因为(ab)maab，n b(ab)ab，所以ab，可得ab0，由于a，b不共线，则必有mn0，消去，整理得3mnmn，所以3为定值B能力提升1已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，y，x，其中x，yR，且均不为0.若，则_解析：因为xy，由，可设，即xy()，所以则.
14、答案：2.如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若mn，则mn的取值范围是_解析：由点D是圆O外一点，可设(1)，则(1).又C，O，D三点共线，令(1)，则(1，1)，所以m，n，且mn(1，0)答案：(1，0)3.如图所示，在ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，AN2NC，AM与BN相交于点P，求证：4.证明：记e1，e2，所以3e2，e1，则3e2e1，2e1e2.因为A，P，M共线，且B，P，N共线，所以存在实数，使3e2e1；2e1e2，所以2e1e23e2e1(2)e1(3)e2，又2e13e2，所以解之得所以，所以APPM41，即4.4(选做题)如图，已知A，B，C三点不共线，O为平面上任意一点，求证：若存在实数p，q，r使得pqr0，且pqr0，则必有pqr0.证明：由题意可得r(pq)又因为pqr0，所以pq(pq)0，所以p()q()0，即pq0.所以pq000.由平面向量基本定理可知，其分解是唯一的，所以p0，q0，所以pq0，所以r0.故pqr0.
