1、概率统计（文）【考纲解读】1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别2.了解两个互斥事件的概率加法公式3.理解古典概型及其概率计算公式;会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率;了解几何概型的意义5.理解随机抽样的必要性和重要性;会及简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样方法.6.了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.7.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差;能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差).
2、8.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样体估计总体的思想.9.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题.10.会作两个有关联变量数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系;了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.11了解独立性检验（只要求22列联表）的基本思想、方法及其简单应用;了解回归的基本思想、方法及其简单应用【考点预测】本章知识的高考命题热点有以下两个方面：1.概率统计是历年高考的热点内容之一，考查方式多样，选择题、填空题、解答题中都可能出现，数量各1道，难度中等,主要考查古典
3、概型、几何概型、分层抽样、频率分布直方图、茎叶图的求解.2.预计在2012年高考中，概率统计部分的试题仍会以实际问题为背景,概率与统计相结合命题.【要点梳理】1.随机事件的概率：（1）随机事件；（2）频率；（3）概率；（4）互斥事件的概率加法公式：,若A与B为对立事件,则.2.古典概型:求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数;求出事件A包含的基本事件个数;代入公式,求出.3.几何概型:(1)理解几何概型与古典概型的区别;(2)几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积之比与长度之比.4.三种抽样方法:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，正确区分这三种抽样.5.用样本估计总体:(1)在
4、频率分布直方图中,各小矩形的面积表示相应的频率;各个小矩形的面积之和为1;(2)理解众数、中位数及平均数；（3）会求一组数据的平均数、方差、标准差.6.变量间的相关关系,会求回归直线方程.【考点在线】考点一 古典概型例1. (2010年高考北京卷文科3)从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a，从1,2,3中随机选取一个数为b，则ba的概率是（ ） （A） (B) （C） (D)【答案】 D【解析】分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足的有3种，故所求事件的概率为.【名师点睛】本题考查古典概型的概率问题，求解此类问题要求能够准确的确定基本事件空间的基本事件个数，和所求事件所含的基
5、本事件个数.【备考提示】：古典概型是高考考查的重点内容之一,必须熟练掌握.练习1: （2011年高考海南卷文科6)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因为每位同学参加各个小组的可能性相等,所以所求概率为,选A.考点二 几何概型例2.（2011年高考福建卷文科7)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的重点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】这是一几何概型,所求概率为,故选C.【名师点睛】本
6、小题考查几何概型的求法。【备考提示】：熟练掌握几何概型的定义及求法是解决本类题的关键. 练习2: （2010年高考湖南卷文科11）在区间-1,2上随即取一个数x，则x0,1的概率为 。【答案】【解析】由几何概型得：概率为。考点三 统计例3. （2011年高考江西卷文科8)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x（cm）174176176176178儿子身高y（cm）175175176177177则y对x的线性回归方程为（ ）A.y = x-1 B.y = x+1 C.y = 88+ D.y = 176【答案】C 【解析】线性回归方程，【名师点睛】本题考查线性
7、回归的有关知识.【备考提示】：统计知识是高考的重点内容之一，特别是新课标新增内容,它们是与大学知识的衔接，所以必须熟练.练习3：（2011年高考福建卷文科4)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）A. 6 B. 8 C. 10 D.12【答案】B【解析】设样本容量为N,则,所以,故在高二年级的学生中应抽取的人数为,选B.【考题回放】1. (2011年高考安徽卷文科9) 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于
8、（ ）（A） (B) (C) (D) 【答案】D【解析】通过画树状图可知从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中能构成矩形3个，所以是矩形的概率为.故选D.2.（2011年高考浙江卷文科8)从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】 D【解析】无白球的概率是，至少有1个白球的概率为，故选D.3. （2011年高考四川卷文科12)在集合中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量a=（a，b）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四
9、边形的个数为n，其中面积等于2的平行四边形的个数m，则=( )（A） （B）（C） （D）【答案】 B【解析】由题意，向量a的个数为23=6，即，可构成平行四边形的个数为,设构成平行四边形的两个向量坐标为，则平行四边形的面积是，由，满足该条件的组合有，故概率为.4. （2011年高考江西卷文科7)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】计算可以得知，中位数为5.5，众数为5所以选D5. （2011年高考四川卷文科2)有一个容量为66的样本，数据的分
10、组及各组的频数如下： 2 4 9 18 11 12 7 3根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占（ ）（A） (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】大于或等于31.5的数据所占的频数为12+7+3=22，该数据所占的频率约为. 6. （2011年高考陕西卷文科9)设 ，是变量和的次方个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ）(A) 直线过点 （B）和的相关系数为直线的斜率（C）和的相关系数在0到1之间（D）当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同【答案】A【解析】：由得又，所以则直线过点，故选A . 7（2011年高考重
11、庆卷文科4)从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134则样本数据落在内的频率为A0.2B0.3C0.4D0.5【答案】C8（2011年高考湖南卷文科15)已知圆直线则圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 【答案】【解析】由点到直线的距离公式可得；可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即与圆相交所得劣弧上，由半径为，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为，故所求概率为.9. （2011年高考湖北卷文科13) 在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过
12、保质期的概率为 （结果用最简分数表示）【答案】 【解析】因为30瓶饮料中未过期饮料有30-3=27瓶，故其概率为.10（2011年高考重庆卷文科14)从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为 【答案】11(2011年高考广东卷文科13)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y0405060604小李这 5天的平均投篮命中率为，用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为【答案】0.5;0.53【解析】由题得小
13、李这 5天的平均投篮命中率为 12. （2011年高考湖北卷文科11)某市有大型超市200家、中型超市400家，小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市 家.【答案】20【解析】应抽取中型超市（家）.13.（2011年高考浙江卷文科13)某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某此数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）。根据频率分布直方图3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是 .【答案】60014.（2011年高考辽宁卷文科14)调查了某地若干户家庭的
14、年收x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,井由调查数据得到y对x的回归直线方程.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1万元，年饮食支出平均增加_万元.【答案】0.254【解析】由线性回归直线斜率的几何意义可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元。15. (2011年高考天津卷文科15)编号分别为的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138()
15、将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:区间人数()从得分在区间内的运动员中随机抽取2人,(i) 用运动员编号列出所有可能的抽取结果;(ii) 求这2人得分之和大于50的概率.【解析】()4,6,6.()(i)解:得分在区间内的运动员编号为.从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:, , , , ,共15种.(ii)解:“从得分在区间内的运动员中随机抽取2人,这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有: , ,共5种.所以P(B)=. 16.（2011年高考江西卷文科16) 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别公司准备了两种不同的饮料共5 杯，其颜色完全相同，并且其中3杯
16、为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3 杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力（1） 求此人被评为优秀的概率；（2） 求此人被评为良好及以上的概率【解析】（1）员工选择的所有种类为，而3杯均选中共有种，故概率为.（2）员工选择的所有种类为，良好以上有两种可能：3杯均选中共有种；：3杯选中2杯共有种。故概率为.17（2011年高考湖南卷文科18)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关据统计，当X=70时，Y=460
17、；X每增加10，Y增加5；已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160（I）完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率（II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率【解析】（I）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨
18、量频率分布表为降雨量70110140160200220频率（II）故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为【高考冲策演练】一、选择题：1. (2010年高考江西卷文科9)有位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少每一位同学能通过测试的概率为A B C D【答案】D【解析】每位同学不能通过的概率为，所有同学都不能通过的概率为，至少有一位同学能通过的概率为。2.(2010年高考安徽卷文科10)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两
19、条直线相互垂直的概率是（ ）（A） （A） （A） （A）【答案】C【解析】正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件。两条直线相互垂直的情况有5种（4组邻边和对角线）包括10个基本事件，所以概率等于。3. （2011年高考山东卷文科8)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元【答案】B【解析】由表可计算,因为点在回归直线上,且为9.4，所以, 解得,故回归方程为, 令x=6得65.5,选B.4（2011年高考湖南卷
20、文科5)通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由附表：0050001000013841663510828参照附表，得到的正确结论是（ ）A 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C 在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D 在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】A【解析】由，而，故由独立性检验的意义可知选A.5（2010年高考山东卷文科6）在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分
21、数如下： 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）（A）92 , 2 (B) 92 , 2.8(C) 93 , 2 (D) 93 , 2.8【答案】B【解析】由题意知，所剩数据为90，90，93，94，93，所以其平均值为90+=92；方差为2.8，故选B。【命题意图】本题考查平均数与方差的求法，属基础题。6（2010年高考福建卷文科9）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 A.91.5和91.5 B.91.5和92 C.91和91.5 D.92和92【答案】A【解析】由茎叶图可知
22、：这组数据为87，89，90，91，92，93，94， 96，所以其中位数为91.5，平均数为（87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5，故选A。7（2010年高考重庆卷文科5）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )（A）7 （B）15（C）25 （D）35【答案】B【解析】青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7:5:3，所以样本容量为.8（2010年高考陕西卷文科4）如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分
23、别为,样本标准差分别为sA和sB,则( )(A) ，sAsB (B) ，sAsB(C) ，sAsB (D) ，sAsB【答案】B9（2010年高考四川卷文科4）一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )（A）12,24,15,9 （B）9,12,12,7 （C）8,15,12,5 （D）8,16,10,6【答案】D【解析】因为, 故各层中依次抽取的人数分别是，.10(山东省潍坊三县2011届高三阶段性教学质量检
24、测文科)在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积大于的概率是 ( )A. B. C. D.【答案】C11. （2009年高考山东卷文科第11题）在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（ ）学A. B. C. D. 【答案】A【解析】当时，在区间上，只有或，根据几何概型的计算方法，这个概率值是.12. (山东省青岛市2011年3月高考第一次模拟文科)某时段内共有辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如右图所示,则时速超过km/h的汽车数量为（ ）A.辆B.辆 C.辆 D.辆【答案】A二填空题：13.(2011年高考江苏卷5)从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，
25、则其中一个数是另一个的两倍的概率是_【答案】【解析】从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，所有可能的取法有6种, 满足“其中一个数是另一个的两倍”的所有可能的结果有(1,2),(2,4)共2种取法,所以其中一个数是另一个的两倍的概率是.14. （2011年高考山东卷文科13)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 .【答案】16【解析】由题意知,抽取比例为3:3:8:6,所以应在丙专业抽取的学生人数为40=16.15.(2011年高考江苏卷6)某老师
26、从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差.【答案】3.2【解析】考查方差的计算,可以先把这组数都减去6,再求方差,.16（2010年高考重庆卷文科14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为_ .【答案】【解析】加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率.三解答题：17（2011年高考山东卷文科18)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同
27、的概率；（II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.【解析】(1) 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男)，共9种；选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女1, 乙女1)、(甲女1, 乙女2)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为.（2）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2,
28、 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共15种；选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为.18. （2011年高考全国新课标卷文科19)某种产品以其质量指标值衡量，质量指标越大越好
29、，且质量指标值大于102的产品为优质产品，现在用两种新配方（A配方、B配方）做试验，各生产了100件，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果： A配方的频数分布表指标值分组频数82042228 B配方的频数分布表指标值分组频数41242328(1) 分别估计使用A配方，B配方生产的产品的优质品的概率；(2) 已知用B配方生产一件产品的利润与其质量指标的关系为：估计用B配方生产上述产品平均每件的利润。【解析】（）由试验结果知：使用A配方生产的优质品的概率为；使用B配方生产的优质品的概率为()有已知条件得，用B配方生产的利润大于0,；当且仅当其质量指标值，由试验结果知：的频率为0.96；
30、所以用B配方生产一件产品利润大于0的概率估值为0.96；因此，用B配方生产一件产品利润为19.（2011年高考辽宁卷文科19)某农场计划种植某种新作物为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验，选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙。 ()假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率： ()试验时每大块地分成8小块即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位kghm2)如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种?附：样本数据x1，x
31、2，xa的样本方差，其中为样本平均数。【解析】（I）设第一大块地中的两小块地编号为1,2，第二大块地中的两小块地编号为3,4，令事件A=“第一大块地都种品种甲”，从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）。而事件A包含1个基本事件：（1，2），所以P（A）=.（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是：，。品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是：，由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙。20.(2011年高考安徽卷文科20)
32、某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据： 年份20022004200620082010需求量（万吨）236246257276286（）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程;（）利用（）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明.【解析】：（）由所给数据可以看出，年需求量与年份之间的是近似直线上升，为此对数据预处理如下表：年份-2006-4-2024需求量-257-21-1101929对预处理后的数据，容易算得=0 ，=3.2，所求的回归直线方程为即（）当x=2012时，（万吨）答：该地2012年的粮食需求量为299
33、.2万吨。21. （2011年高考四川卷文科17)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲乙两人独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时.（）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；（）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率.【解析】（）甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率的分别是，故甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率
34、都是.（）设“甲、乙两人每次租车都不超过两小时”为事件A, “甲、乙两人每次租车一人不超过两小时，另一个人在两小时以上且不超过三小时还车”为事件B, 此时，所付的租车费用之和2元；“甲、乙两人每次租车都在两小时以上且不超过三小时还车”为事件C，此时，所付的租车费用之和4元；甲、乙两人每次租车一人不超过两小时，另一个人在三小时以上且不超过四小时还车”为事件D，此时，所付的租车费用之和4元；则,.因为事件A,B,C,D互斥，故甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率.所以甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率.22. （2011年高考陕西卷文科20)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，
35、现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下： （）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;时间（分钟） 选择612181212选择0416164（）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;（）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径。【解析】（）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，用频率估计相应的概率为0.44.（）选择的有60人，选择的有40人，故由调查结果得频率为：时间（分钟）的频率0.10.20.30.20.2的频率00.10.40.40.1（），分别表示甲选择和时，在40分钟内赶到火车站；，分别表示乙选择和时，在50分钟内赶到火车站。由（）知=0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5，甲应选择=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8， =0.1+0.4+0.4=0.9， 乙应选择.
