1、数学试题一、选择题1.下列命题中正确的个数有（ ）向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合向量的定义依次分析四个命题，综合即可得答案【详解】对于，若向向量与是共线向量，则，或A,，在同条直线上，故错误；对于，因为单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故错误；对于，相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因为零向量的方向是不确定的，可以是任意方向，所以相等，故错误；
2、对于，比如共线的向量与(A,B,C在一条直线上)起点不同，则终点相同，故错误.故选：【点睛】本题考查向量的基本定义和命题的真假判断，关键是理解向量有关概念的定义2.把电影院的4张电影票随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”是（ ）A. 对立事件B. 不可能事件C. 互斥但不对立事件D. 以上答案都不对【答案】C【解析】【分析】事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”不可能同时发生，故它们是互斥事件.事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”可能都不发生，故它们不是对立事件.【详解】由题意知，事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排
3、1号”不可能同时发生.由互斥事件的定义可知，它们是互斥事件.又事件“丙分得4排1号”与事件“丁分得4排1号”其中一个可能发生，即事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”可能都不发生.由对立事件的定义知，它们不是对立事件.故选：.【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的定义，属于基础题.3.如图，已知，用，表示，则等于()A. B. C. D. 【答案】C【解析】()，选C.4.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随
4、机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）A. 0.35B. 0.25C. 0.20D. 0.15【答案】B【解析】【分析】已知三次投篮共有20种，再得到恰有两次命中的事件的种数，然后利用古典概型的概率公式求解.【详解】三次投篮共有20种，恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为故选：B【点睛】本题主要考古
5、典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5.一梯形的直观图是如图的等腰梯形，且直观图的面积为2，则原梯形的面积为（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】D【解析】【分析】根据，可求出原梯形的面积.【详解】由斜二测画法知，又，.故选：.【点睛】本题考查斜二测画法，属于基础题.6.一组数据，的平均数为1，标准差为2，则数据，的平均数与标准差分别是（）A. ，4B. ，C. 2，4D. 2，【答案】A【解析】【分析】根据平均数和标准差的计算公式，可得答案.【详解】由题意知，的平均数为.数据，标准差为2，,，的方差为，即数据，的标准差为4.故选：【点睛】本题考查平均数和标准差，属于基础
6、题.7.九章算术是中国古代的数学瑰宝，其第五卷商功中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”翻译成现代汉语就是：今有三面皆为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体的隧道，前端下宽尺，上宽一丈，深尺，末端宽尺，无深，长尺（注：一丈十尺）则该五面体的体积为（ ）A. 立方尺B. 立方尺C. 立方尺D. 立方尺【答案】C【解析】【分析】如图，在，上取，使得，连接，计算得到答案.【详解】如图，上取，使得，连接，故多面体的体积，故选：C【点睛】本题考查了几何体体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8.已知点在平面中，且，则点是的（ ）A. 重
7、心B. 垂心C. 外心D. 内心【答案】D【解析】【分析】由数量积的定义可知，两向量的数量积是一个实数.由题意得，.根据数量积的定义，化简这3个等式，即得点的位置.【详解】由数量积的定义可知，两向量的数量积是一个实数.，.当时，如图所示即，点在的内角的角平分线上.同理，点在的内角的角平分线上，点在的内角的角平分线上.点是的内心.故选：.【点睛】本题考查向量的数量积，属于中档题.二、多选题（每小题5分，共4小题20分）9.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）A. 圆柱的侧面积为B. 圆锥的侧面积为C. 圆柱的侧面积与球面面积相等D. 圆锥的表面积最小
8、【答案】CD【解析】【分析】根据圆柱、圆锥的侧面积计算公式，球的表面积计算公式，对选项逐一判断，即得答案.【详解】由题意可得，圆柱、圆锥的底面半径均为，高均为，球的半径为.则圆柱的侧面积为，故错误.圆锥的侧面积为，故错误.球的表面积为圆柱的侧面积与球面面积相等，故正确.圆锥表面积为，圆柱的表面积为，球的表面积为圆锥的表面积最小，故正确.故选：.【点睛】本题考查圆柱、圆锥、球的侧面积和表面积的计算公式，属于基础题.10.下列结论正确的是（ ）A. 若向量，共线，则向量，的方向相同B. 中，D是中点，则C. 向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上D. 若，则，使【答案】B【解析】【
9、分析】根据平面向量的线性运算和共线定理，对四个选项逐一分析判断即可.【详解】对于A，与的方向相同或相反，所以A错误；对于B，由向量的中点公式，可知是正确的；对于C，A，B，C，D不一定在一条直线上，如的四个顶点；对于D，当时，不一定存在，使，所以D错误故选：B【点睛】本题考查对平面向量的线性运算和共线定理的理解及应用，属于常考题.11.是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即日均值在以下空气质量为一级，在空气量为二级，超过为超标如图是某地12月1日至10日的（单位：)的日均值，则下列说法不正确的是（ ）A. 这天中有天空气质量为一级B. 从日到日日均值逐渐降低C. 这天中日
10、均值的中位数是D. 这天中日均值最高的是月日【答案】C【解析】【分析】认真观察题中所给的折线图，对照选项逐一分析，求得结果.【详解】这10天中第一天，第三天和第四天共3天空气质量为一级，所以A正确；从图可知从日到日日均值逐渐降低，所以B正确；从图可知，这天中日均值最高的是月日，所以D正确；由图可知，这天中日均值的中位数是，所以C不正确；故选C.【点睛】该题考查的是有关利用题中所给的折线图，描述对应变量所满足的特征，在解题的过程中，需要逐一对选项进行分析，正确理解题意是解题的关键.12.设、表示不同直线，、表示不同平面，则下列结论中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 、是两条异面直线，若，
11、则D. 若，则【答案】CD【解析】【分析】对选项逐一分析：项，有可能.项，当与相交，且直线都平行于与的交线时，也符合条件.项，设直线，且，直线与确定的平面为，可证，故.项，易知或.分或两种情况判断与的位置关系，即得答案.【详解】项，若，则或，故错误.项，当与相交，且直线都平行于与的交线时，也符合条件，故错误.项，设直线，且，直线与确定的平面为.由题意.，又.同理，.故正确.项，或.若，过作平面交于直线，则.，又.若，.故正确.故选：.【点睛】本题考查空间线面、面面的位置关系，属于中档题.三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.已知i为虚数单位，若复数，z的共轭复数为，则_.【答案】1.【
12、解析】【分析】先通过除法，化简复数，再计算其共轭复数，用乘法计算结果.【详解】由题可知，所以，所以.故答案为：1.【点睛】本题考查复数的除法、乘法以及共轭复数的求解.14.已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由与的夹角为锐角，设为，则 0cos1，由两个向量的夹角公式求出cos的解析式，代入不等式求解【详解】与的夹角为锐角，设为，则 0cos1，又cos，01，1 且48+4220+52，即 1 且4.故答案为 1 且4【点睛】本题考查向量的数量积和两个向量的夹角公式，当两个向量的夹角为锐角时，夹角的余弦值大于0且小于1，属于基础题15.如图所示，一艘海轮从A
13、处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向，则海轮的速度为_海里/分【答案】【解析】【分析】根据题中所给角度求出三角形ABC中的三个内角大小，再由正弦定理即可得解.【详解】由已知得 由正弦定理可得，所以海轮的速度为海里/分故答案为.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用考查了学生分析问题和解决实际问题的能力16.如图，在中，则的值为 【答案】【解析】试题分析：考点：向量数量积四、解答题17.已知复数（为虚数单位）.（1）若，求复数的共轭复数；（2）若是关于的方程一个虚根，求实数的
14、值.【答案】（1）；（2）2【解析】分析：（1）因为，所以，求出，即可得到的共轭复数；（2）将代入方程，根据复数相等可求求实数的值.详解：（1）因为，所以，所以复数的共轭复数为.（2）因为是关于的方程的一个虚根，所以，即.又因为是实数，所以.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等的充要条件、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题18.已知中，BC边上的高为AD.（1）求证：；（2）求点D和向量的坐标；（3）设，求.【答案】（1）见解析；（2）D点坐标为，；（3）.【解析】【分析】（1）计算可得；（2）由及共得点坐标，再得向量；（3）由计算可得【详解】（1）证明：，.，即.（2）设D点坐标
15、为，则，又，.又，而与共线，由解得，故D点坐标为，.（3），.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，考查向量平行的坐标表示，考查求向量的夹角问题根据题设条件，利用向量的夹角公式或相关知识构建方程（或方程组），把向量问题转化为代数问题，用方程思想求向量坐标.同时要注意转化的细节，如本题中的第（3）问，必须是向量与向量的坐标，有的同学不小心用和的坐标进行计算而导致错误.19.2017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会简称党的“十九大”在北京召开一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现
16、这100名员工的成绩都在内，按成绩分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习求这100人的平均得分同一组数据用该区间的中点值作代表；求第3，4，5组分别选取作深入学习的人数；若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率【答案】（1）87.25；（2）3，2，；（3）【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的性质能求出这100人的平均得分（
17、2）第3组的人数为30，第4组的人数为20，第5组的人数为10，用分层抽样能求出在这三个组选取的人数（3）记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，从这6人随机选取2人，利用列举法能写出甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率.【详解】这100人的平均得分为：.第3组的人数为，第4组的人数为，第5组的人数为，故共有60人，用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2，记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，则所有选取的结果为甲、乙、甲、丙、甲、丁、甲、戊、甲、己、乙、丙、乙、丁、乙、戊、乙、己、丙、丁、丙、戊、丙、己、丁、戊、丁、己、戊、己共15种情况，其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况，故甲、
18、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率为【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，分层抽样，古典概率，属于中档题.20.设是不共线的两个非零向量.（1）若，求证：三点共线；（2）若与共线，求实数的值；（3）若，且三点共线，求实数的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.（3）.【解析】【分析】（1）利用向量的加法运算得，再利用共线向量定理得三点共线；（2）假设存在实数使得，从而得到关于的方程组；（3）由三点共线得与共线，设，即，从而得到关于的方程组。【详解】证明：（1），所以.又因为为公共点，所以三点共线.（2）设，则解得或所以实数的值为.（3），因为三点共线，所以与共线.从而存在实数使，即，得解得所以.【点睛】本题考查共线向量基本定理的运用，考查方程思想和基本运算求解能力。21.已知中，角，的对边分别是，向量，满足（1）求角（2）若的面积为，求的周长【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由得.由正弦定理得，可求角（2）由（1）知.由三角形面积公式可得，求出.由余弦定理求出，即求的周长【详解】（1）由得，由正弦定理得即.，（2）的面积为，由（1）知，由余弦定理得的周长为【点睛】本题考查向量共线的坐标表示、正余弦定理和三角形面积公式，属于中档题.
