1、第5讲 三角恒等变换与三角函数 第6讲 解三角形 第7讲 平面向量 专题二 三角函数、平面向量 专题二 三角函数、平面向量 知识网络构建专题二 知识网络构建 考情分析预测专题二 考情分析预测 考向预测该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换、平面向量的线性运算、平面向量的数量积、平面向量的平行与垂直，以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用该部分在试卷中一般是 23 个选择题或者填空题，一个解答题，选择题在于有针对性地考查本专题的重要知识点(如三角函数性质、平面
2、向量的数量积等)，解答题一般有三个命题方向，一是以考查三角函数的图象和性质为主，二是把解三角形与三角函数的性质、三角恒等变换交汇，三是考查解三角形或者解三角形在实际问题中的应用由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知识，在试题的难度上不大，一般都是中等难度或者较为容易的试题基于这个实际情况以及高考试题的相对稳定性，我们预测在 2012 年的高考中该部分的可能考查情况如下：专题二 考情分析预测 (1)在选择题或者填空题部分命制23个试题，考查三角函数的图象和性质、通过简单的三角恒等变换求值、解三角形、平面向量线性运算、平面向量的数量积运算等该专题的重点知识中的23个方面试题仍然是突出重点和重视基
3、础，难度不会太大(2)在解答题的前两题(一般是第一题)的位置上命制一道综合性试题，考查综合运用该部分知识分析解决问题的能力，试题的可能考查方向如我们上面的分析从难度上讲，如果是单纯的考查三角函数图象与性质、解三角形、在三角形中考查三角函数问题，则试题难度不会大，但如果考查解三角形的实际应用，则题目的难度可能会大一点，但也就是中等难度专题二 考情分析预测 由于该专题内容基础，高考试题的难度不大，经过一轮复习的学生已经达到了高考的要求，二轮复习就是在此基础上进行的巩固和强化，在复习中注意如下几点：(1)该专题具有基础性和工具性，虽然没有什么大的难点问题，但包含的内容非常广泛，概念、公式、定理很多，
4、不少地方容易混淆，在复习时要根据知识网络对知识进行梳理，系统掌握其知识体系(2)抓住考查的主要题型进行训练，要特别注意如下几个题型：根据三角函数的图象求函数解析式或者求函数值，根据已知三角函数值求未知三角函数值，与几何图形结合在一起的平面向量数量积，解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合运用，解三角形的实际应用问题(3)注意数学思想方法的应用，该部分充分体现了数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想(变换)，在复习中要有意识地使用这些数学思想方法，强化数学思想方法在指导解题中的应用备考策略专题二 考情分析预测 第5讲 三角恒等变换与三角函数 第5讲 三角恒等变换与三角函数 主干
5、知识整合第5讲 主干知识整合 1yAsin(x)(A0)的图象特点：在对称轴处取得最大值或最小值；对称中心就是函数图象与 x 轴的交点；两相邻的对称中心(或对称轴)之间相差半个周期，相邻的一个对称中心和对称轴之间相差四分之一个周期2三角函数的恒等变换：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切割化弦，降幂，用三角公式转化出现特殊角，异角化同角，异名化同名，高次化低次等二倍角公式是实现降幂或升幂的主要依据，注意其变形：1cos22cos2，1cos22sin2，cos21cos22，sin21cos22.要点热点探究第5讲 要点热点探究 探究点一 简单的三角恒等变换 例 1(1)20
6、11浙江卷 若 02，20，cos（4）13，cos（42）33，则 cos（2）()A.33 B 33 C.5 39D 69(2)2011重庆卷 已知 sin12cos，且 0，2，则cos2sin4的值为_第5讲 要点热点探究(1)C(2)142 【解析】(1)cos4 13，02，sin4 2 33.又cos42 33，20，sin42 63，cos 2 cos 4 42 cos 4 cos 42 sin4 sin42 13 33 2 23 63 5 39.第5讲 要点热点探究(2)cos2sin4 cos2sin222 sincoscossincossin22 sincos 2(cos
7、sin)，sin12cos，cossin12，两边平方得 12sincos14，所以 2sincos34.0，2，cossin cossin2134 72，cos2sin4 142.第5讲 要点热点探究【点评】在进行三角恒等变换时，一个重要的技巧是进行角的变换，把求解的角用已知角表示出来，把求解的角的三角函数使用已知的三角函数表示出来，常见的角的变换有，把22 变换成24，()()，2()()，2()()，22，22 2 等；在进行三角函数化简或者求值时，如果求解目标较为复杂，则首先要变换这个求解目标，使之简化，以便看出如何使用已知条件 第5讲 要点热点探究 (1)已知cos22sin4 52
8、，则 tan1tan的值为()A8 B8 C18D.18(2)若 sin2cos0，则1cos2cos2sin2的值为()A23B.25C.23D83 第5讲 要点热点探究 (1)A(2)A【解析】(1)cos22sin4 52，即 cossin 52，即 sincos18，所以 tan 1tan1sincos8.(2)由已知 sin2cos0 得 tan2，1cos2cos2sin22cos2cos22sincos2cos2cos2cos2cos22sincoscos2212tan23.正确选项为 A.第5讲 要点热点探究 例2(1)2011辽宁卷 已知函数f(x)Atan(x+)0，|2，
9、yf(x)的部分图象如图 51，则 f 24 _.图 51 探究点二 三角函数的图象第5讲 要点热点探究(2)要得到函数 ycos（2x3）的图象，只需将函数 y12sin2x 32cos2x 的图象()A向左平移8个单位 B向右平移2个单位C向右平移3个单位 D向左平移4个单位 【分析】(1)根据正切函数的周期性和已知函数图象上的特殊点的坐标，求出函数的解析式；(2)化函数 y12sin2x32 cos2x 为余弦型函数，再根据两个函数解析式之间的差异确定变换的方法第5讲 要点热点探究(1)3(2)D【解析】(1)由图象知238 8 2，2.又由于 28k2(kZ)，k4(kZ).又|0，0
10、)的部分图象如图 52 所示，则 f(0)的值是_图 52第5讲 要点热点探究 (2)给出下列六种图象变换方法：图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变；图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变；图象向右平移3个单位；图象向左平移3个单位；图象向右平移23 个单位；图象向左平移23 个单位请用上述变换中的两种变换，将函数 ysinx 的图象变换到函数ysinx23 的图象，那么这两种变换的序号依次是_(填上一种你认为正确的答案即可)第5讲 要点热点探究 (1)62 (2)或(填出其中一种即可)【解析】(1)由图象可得 A 2，周期为 47123，所以 2，将712，2 代入
11、得 27122k32，即 2k3，所以 f(0)2sin 2sin3 62.(2)ysinxysinx3 ysinx23，或 ysinxysin12xysin12x23 sinx23.第5讲 要点热点探究 例 3 2011安徽卷 已知函数 f(x)sin(2x)，其中 为实数，若 f(x)f 6 对 xR 恒成立，且 f 2 f()，则 f(x)的单调递增区间是()A.k3，k6(kZ)B.k，k2(kZ)C.k6，k23(kZ)D.k2，k(kZ)探究点三 三角函数的性质第5讲 要点热点探究 C【解析】对 xR 时，f(x)f 6 恒成立，所以 f 6 sin3 1，可得 2k6或 2k56
12、，kZ.因为 f2 sin()sinf()sin(2)sin，故sin0.所以 2k56，所以 f(x)sin2x56.由22k2x56 22k，得函数 f(x)的单调递增区间为k6，k23(kZ)，答案为 C.第5讲 要点热点探究 例 4 设函数 f(x)sinxsinx2，xR.(1)若 12，求 f(x)的最大值及相应的 x 的集合；(2)若 x8是 f(x)的一个零点，且 010，求 的值和 f(x)的最小正周期 【分析】(1)通过三角恒等变换把函数 f(x)sinxsinx2 化为正弦型函数 f(x)Asin(x)的形式，然后根据正弦函数的性质解决；(2)即满足 f8 0，根据这个方
13、程确定 的通解，再根据限制条件得出具体的 值即可第5讲 要点热点探究 【解答】(1)f(x)sinxsinx2 sinxcosx，当 12时，f(x)sinx2cosx2 2sinx24.而1sinx24 1，所以 f(x)的最大值为 2，此时，x2422k，kZ，即 x32 4k，kZ，相应的 x 的集合为xx324k，kZ.第5讲 要点热点探究 (2)方法 1：因为 f(x)2sinx4，所以，x8是 f(x)的一个零点f 8 sin8 4 0，即8 4k，kZ，整理，得 8k2.又 010，所以 08k210，14k1，而 kZ，所以 k0，2，f(x)2sin2x4，f(x)的最小正周
14、期为.方法 2：x8是 f(x)的一个零点f8 sin8 cos8 0，即tan8 1.所以8 k4，kZ，整理，得 8k2.又 010，所以 08k210，解得14k0)和 g(x)3cos(2x)的图象的对称中心完全相同，若 x0，2，则 f(x)的取值范围是()A.32，3B3,3C.12，32D.0，32【解析】A 根据题意 2，62x656，故12sin2x6 1，所以函数 f(x)的取值范围是32，3.第5讲 教师备用例题 例 2 若将函数 yAcosx6 sinx6(A0，0)的图象向左平移6个单位后得到的图象关于原点对称，则 的值可能为()A2B3C4D5【解析】D 图象平移后
15、得到的函数图象的解析式是 f(x)Acosxsinx66，这个函数是奇函数，由于 ycosx 是偶函数，故只要使得函数 ysinx66 是奇函数即可，根据诱导公式和正弦函数性质，则只要66k(kZ)即可，即 6k1(kZ)，所以 的可能值为 5.第5讲 教师备用例题 例 3 若 f(x)2sin(x)m 对任意实数 t 都有 f8t f 8t，且 f 8 3，则实数 m 的值等于()A1B5C5 或1D5 或 1【解析】C 根据分析当 2sin8 2 时，m5；当2sin8 2 时，m1.第5讲 教师备用例题 例 4 已知 sin3sin4 35，20，则 cos23 等于()A45B35C.35D.45【解析】D 已知条件即32sin 32 cos4 35 32 sin12cos45，即 sin6 45cos23 cos62 sin6 45.
