1、第二章章末质量评估检测时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1自然数是整数，4是自然数，所以4是整数以上三段论推理()A正确B推理形式不正确C两个“自然数”概念不一致D“两个整数”概念不一致解析：三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的答案：A2已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为()Aa1a2a3a929Ba1a2a929Ca1a2a929 Da1a2a929解析：由等差数列性质，有a1a9a2a82a5.易知D成立答案：D3已知f(x
2、1)，f(1)1(xN*)，猜想f(x)的表达式为()Af(x) Bf(x)Cf(x) Df(x)解析：f(2)，f(3)，f(4)，猜想f(x).答案：B4下列四类函数中，具有性质“对任意的x0，y0，函数f(x)满足f(x)yf(xy)”的是()A指数函数 B对数函数C一次函数 D余弦函数解析：当函数f(x)ax(a0，a1)时，对任意的x0，y0，有f(x)y(ax)yaxyf(xy)，即指数函数f(x)ax(a0，a1)满足f(x)yf(xy)，可以检验，B，C，D选项均不满足要求答案：A5下列推理正确的是()A把a(bc)与loga(xy)类比，则有loga(xy)logaxloga
3、yB把a(bc)与sin(xy)类比，则有sin(xy)sinxsinyC把a(bc)与axy类比，则有axyaxayD把(ab)c与(xy)z类比，则有(xy)zx(yz)解析：(xy)zx(yz)是乘法的结合律，正确答案：D6观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28 B76C123 D199解析：记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f
4、(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.答案：C7在平面直角坐标系内，方程1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc0)的平面方程为()A.1 B.1C.1 Daxbycz1解析：类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证答案：A8求证：.证明：因为和都是正数，所以为了证明，只需证明()2()2，展开得525，即20，此式显然成立，所以不等式成立上述证明过程应用了()A综合法B分析法C综合法、分析法配合使用D间接证法解析：证明过程中的“为
5、了证明”，“只需证明”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式答案：B9用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，假设正确的是()A假设三内角都不大于60B假设三内角都大于60C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个大于60解析：假设应为“三内角都大于60”答案：B10数列an满足a1，an11，则a2 013等于()A. B1C2 D3解析：a1，an11，a211，a312，a41，a511，a612，an3kan(nN*，kN*)a2 013a33670a32.答案：C11分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设abc，且abc0，求证：a”最终的
6、索因应是()Aab0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0解析：要证a只需证b2ac3a2abc0，bac只需证(ac)2ac3a2只需证(ca)(c2a)0只需证(ca)(cabc)0只需证(ca)(ab)0故选C.答案：C12观察式子：1，1，1，则可归纳出一般式子为()A1(n2)B1(n2)C1(n2)D1(n2)解析：由合情推理可得答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分”以上推理的大前提是_答案：菱形对角线互相垂直且平分14已知x，yR，且xy2，且x，y中至少有一个大于1，在用反
7、证法证明时，假设应为_解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x，y均不大于1”，亦即“x1且y1”答案：x，y均不大于1(或者x1且y1)15已知 2， 3， 4， 6，a，b均为正实数，由以上规律可推测出a、b的值，则ab_.解析：由题意归纳推理得6，b62135，a6.ab63541.答案：4116现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为_解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部的
8、体积为.答案：三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行解析：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交结论是正确的，证明如下：设，且a，则必有b，若与不相交，则必有.又，与a矛盾，必有b.(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交18(本小题满分12分)ABC中
9、，三边a、b、c成等比数列求证：acos2ccos2b.证明：a、b、c成等比数列，b2ac.acos2ccos2(ac)(acosCccosA)(ac)(ac)bbbacos2ccos2b.19(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数；sin213cos217sin13cos17；sin215cos215sin15cos15；sin218cos212sin18cos12；sin2(18)cos248sin(18)cos48；sin2(25)cos255sin(25)cos55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果
10、，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解析：方法一：(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin15cos151sin301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.方法二：(1)同方法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin(cos30cossin30
11、sin)cos2(cos60cos2sin60sin2)sincossin2cos2cos2sin2sin2(1cos2)1cos2cos2.20(本小题满分12分)若a10，a11，an1(n1,2，)(1)求证：an1an；(2)令a1，写出a2、a3、a4、a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an(不要求证明)解析：(1)证明：若an1an，即an，解得an0或1.从而anan1a2a10或1，这与题设a10，a11相矛盾，所以an1an不成立故an1an成立(2)由题意得a1，a2，a3，a4，a5，由此猜想：an.21(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)(1
12、)求证：tan；(2)设xR，a为非零常数，且f(x)，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论解析：(1)证明：由两角和的正切公式得tan，即tan，命题得证(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数证明过程如下：f(x2a)f(xa)a.f(x4a)f(x2a)2af(x)f(x)是以4a为周期的周期函数f(x)是周期函数，其中一个周期为4a.22(本小题满分12分)已知Cn(n1)n，设TnC1C2Cn，试比较Tn与的大小，并予以证明解析：Cn(n1)n，故Tn23243(n1)n，Tn223344(n1)n1，由，得Tn123n(n1)n11(n1)n1.Tn3，Tn3，于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n1的大小由2211,22221,23231,24241,25251，可猜想当n3时，2n2n1，证明如下：当n3时，由上可知显然成立假设当nk时，2k2k1成立那么，当nk1时，2k122k2(2k1)4k22(k1)1(2k1)2(k1)1，所以当nk1时猜想也成立，综合和，对一切n3的正整数，都有2n2n1.所以当n1,2时，Tn；当n3时，Tn(n为正整数)
