1、专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建本 章 归 纳 整 合专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建知识网络专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建要点归纳一、导数1对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和 x0 的方式，导数是函数的增量 y 与自变量的增量 x 的比yx的极限，即limx0yxlimx0fx0 xfx0 x.函数 yf(x)在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建2曲线的切线方程利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：(1)判断P点是否在曲线上；(2)如果曲线yf(x)
2、在P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为xx0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为f(x0)3利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建4判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)注意在某一区间内f(x)0(或f(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函
3、数的充分条件专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建5利用导数研究函数的极值要注意(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言的(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建6求函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间a，b上连续的函数f(x)，在a，b
4、上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)x3，x(1,1)(2)求函数最值的步骤一般地，求函数yf(x)在a，b上最大值与最小值的步骤如下：求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建7应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点x0，使f(x0)0，则f(x0)是函数的最值专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建二、定积分1定积分的概念定积分的思想
5、就是无限分割、以直代曲、求和、取极限：，而只是这种极限的一种记号2定积分的性质由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质：(1)abkf(x)dxkabf(x)dx(k 为常数)；(2)abf1(x)f2(x)dxabf1(x)dxabf2(x)dx；(3)abf(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx(其中 acb)专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建3微积分基本定理用微积分基本定理求定积分，关键是求一个未知函数，使它的导函数恰好是已知的被积函数设 F(x)f(x)，且 f(x)在a，b上连续，则abf(x)dxFx baF(b)F(a)专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建4定积
6、分的几何意义由于定积分的值可正、可负还可能是 0，所以如果在区间a，b上函数 f(x)连续且恒有 f(x)0，则abf(x)dx 的值等于曲边梯形的面积；如果 f(x)0，则abf(x)dx 的值等于曲边梯形面积的相反数一般情况下如下图，定积分abf(x)dx 的几何意义是：介于 x 轴，曲线 yf(x)以及直线 xa，xb 之间各部分曲边梯形面积的代数和，在 x 轴上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号即abf(x)dxS1S2S3.专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建如图曲边梯形的面积Sacf(x)dxcdf(x)dxdbf(x)dx.专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建
7、5定积分的应用主要有两个问题：一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题其中，应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建专题一 应用导数解决与切线相关的问题根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建【例 1】设函数 f(x)4x2ln x2，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程解 f(x)8x1x.所以在点(1，f(1)处切线的斜率 kf(1)7，又 f(1)426，所以切点的坐标为(1,6)，所以
8、切线的方程为 y67(x1)，即 y7x1.专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建【例2】点P(2,0)是函数f(x)x3ax与g(x)bx2c的图象的一个公共点，且两条曲线在点P处有相同的切线，求a，b，c的值解 因为点P(2,0)是函数f(x)x3ax与g(x)bx2c的图象的一个公共点，所以232a04bc0由得a4.所以f(x)x34x.又因为两条曲线在点P处有相同的切线，专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建所以f(2)g(2)，而由f(x)3x24得到f(2)8，由g(x)2bx得到g(2)4b，所以84b，即b2，代入得到c8.综上所述，a4，b2，c8.专 题 归 纳解
9、 读 高 考网 络 构 建专题二 应用导数求函数的单调区间在区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内单调递减专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建【例 3】已知函数 f(x)x2xa(2ln x)，a0.讨论 f(x)的单调性解 由题知，f(x)的定义域是(0，)，f(x)12x2axx2ax2x2.设 g(x)x2ax2，二次方程 g(x)0 的判别式 a28.当 0 即 0a2 2时，对一切 x0 都有 f(x)0.此时f(x)是(0，)上的单调递增函数专 题 归 纳解 读
10、高 考网 络 构 建当 0 即 a2 2时，仅对 x 2，有 f(x)0，对其余的 x0 都有 f(x)0.此时 f(x)也是(0，)上的单调递增函数当 0 即 a2 2时，方程 g(x)0 有两个不同的实根x1a a282，x2a a282，0 x1x2.当 x 变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建此时 f(x)在0，a a282上单调递增，在a a282，a a282上单调递减，在a a282，上单调递增x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建专题三 利用导数求
11、函数的极值和最值1利用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f(x)0的根；(3)检验f(x)0的根的两侧f(x)的符号若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建2求函数f(x)在闭区间a，b上的最大值、最小值的方法与步骤(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值特别地，当f(x)在a，b上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；当f(x)在(a，b)内只有一
12、个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a，b)也可以是(，)专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建【例4】已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建解(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f(1)32a，即32a3，a3.又
13、函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22得，f(x)3x26x.由f(x)0得，x0或x2.当0t2时，在区间(0，t)上f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建f(x)minf(2)2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个f(t)f(0)t33t2t2(t3)0.所以f(x)maxf(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，g(x)3x26x3x
14、(x2)x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)22t33t22专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建在 x1,2)上，g(x)0.要使 g(x)0 在1,3上恰有两个相异的实根，则g10，g20，g30，解得2c0.专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建专题四 导数与函数、不等式利用导数知识解决不等式问题是我们常见的一个热点问题，其实质就是利用导数研究函数的单调性，通过单调性证明不等式，这类问题在考查综合能力的同时，又充分体现了导数的工具性和导数的灵活性专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建【例 5】证明：当 x2,1时，113 13x34x163.证明 令 f(x)13
15、x34x，x2,1，则 f(x)x24.因为 x2,1，所以 f(x)0，即函数 f(x)在区间2,1上单调递减故函数 f(x)在区间2,1上的最大值为 f(2)163，专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建最小值为 f(1)113.所以，当 x2,1时，113 f(x)163，即113 13x34x163 成立专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建专题五 导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度
16、以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建【例 6】设函数 f(x)13x32ax23a2xb(0a1)(1)求函数 f(x)的单调区间和极值；(2)若当 xa1，a2时，恒有|f(x)|a，试确定 a 的取值范围；(3)当 a23时，关于 x 的方程 f(x)0 在区间1,3上恒有两个相异的实根，求实数 b 的取值范围专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建解(1)f(x)x24ax3a2(xa)(x3a)令f(x)0，得xa或x3a.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，a)a(a,3a
17、)3a(3a，)f(x)00f(x)极小极大专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建f(x)在(，a)和(3a，)上是减函数，在(a,3a)上是增函数当xa时，f(x)取得极小值，f(x)极小f(a)ba3；当x3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大f(3a)b.(2)f(x)x24ax3a2，其对称轴为x2a.因为0a1，所以2aa1.所以f(x)在区间a1，a2上是减函数当xa1时，f(x)取得最大值，f(a1)2a1；当xa2时，f(x)取得最小值，f(a2)4a4.专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建于是有2a1a，4a4a，即45a1.又因为 0a1，所以45a0，f30，
18、即13b0，b0，1b0，解得 0b13.专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建专题六 定积分及其应用1定积分是解决求平面图形，特别是不规则图形的面积、变速直线运动的路程及变力做功等问题的方便而且强有力的工具2不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建【例 7】设两抛物线 yx22x，yx2 所围成的图形为 M，求M 的面积解 函数 yx22x，yx2 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示由图可知，图形 M 的面积S(x22xx2)dx(2x22x)dx23x3x210 13.专 题 归 纳解 读 高 考网 络 构 建单击此处进入 解读高考
