1、双曲线的标准方程 0)b0(a1byax2222,F1 F2 0 xyax 1.范围：2.对称性：关于x轴、对称;y轴、原点双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.A1 A2 B2 B1 b a a,0)、(A1(a,0)、A2(0,-b)、B1b)(0,B23.顶点叫做双曲线的顶点.它的长为_.叫做双曲线的虚轴,BB它的长为_;叫做双曲线的实轴,A线段A2121a,b分别叫做双曲线的实半轴长和虚半轴长.2a 2b 焦点在x轴上的双曲线的几何性质F1 F2 0 xyA1 A2 B2 B1 b a N(x,Y)M(x,y)Q a)(xaxaby22xabY xaby 22axaby2xa1xabxab
2、Y4.渐近线:yYMNF1 F2 0 xyA1 A2 B2 B1 b a N(x,Y)M(x,y)Q xaby)ax(xab22)ax(x)ax)(xax(xab222222)ax(xab22 MNMQ.x叫做双曲线的渐近线ab两条直线yYXF1F2A1A2B1B212222 byax焦点在x轴上的双曲线草图画法5.离心率:叫做双曲线的离心率.,ac的比e双曲线的焦距与实轴长_.e)(1,F1 F2 0 xyb a xaby ab它的开口就越大.双曲线的离心率越大,.1e2 aac22 1ac224.y(2)x1;9y4x(1):的草图例1.作出下列双曲线2222注:实轴和虚轴等长的双曲线叫做
3、等轴双曲线.0)b0,1(abxay标准方程为2222实轴为虚轴为实轴长虚轴长焦点坐标顶点坐标范围对称性渐近线21AA21BB2a2bc)(0,(0,-c),a)(0,(0,-a),ay 称关于x、y轴、原点对0 xyyabxF1 F2 A1 A2 B2 B1 b a 把方程化为标准方程得,1342222 xy可得:实半轴长:53422c虚半轴长:半焦距:焦点坐标是:(0,-5),(0,5)离心率:45 ace渐近线方程:xy34解:a=4b=3例题2:求双曲线 14416922xy的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率,渐近线方程。例题2:求双曲线 14416922xy的实半轴长,虚半轴长,
4、焦点坐标,离心率,渐近线方程。渐近线方程有两种形式,xy34:故所求渐近线方程为说明:;,)1(xabyx轴上时当焦点在.,)2(xbayy轴上时当焦点在求渐近线方程最简捷的办法是令常数项为零再分解因式解:0)43)(43(016922xyxyyx得令练习1：双曲线116222 byx的实轴的一个端点A1，虚轴的一个端点为B1，且|A1B1|=5，求双曲线的标准方程。OA1xyB1练习2：求以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程.15822 yx标准方程2a2b范围顶点焦点离心率渐近线32822 yx81922 yx-422 yx1254922 yx284|4 2x 0,240,6423e
5、xy42618|x|3(3,0)0,10310ey=3x44|y|2(0,2)22,0 2exy1014|y|5(0,5)74,0 574exy75思考题:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线,求证:(1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;(2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.YXA1A2B1B2F1F2oF2F1证明:(1)设已知双曲线的方程是:12222 byax则它的共轭双曲线方程是:12222 axby渐近线为：0 byax渐近线为:0 axby可化为：0 byax故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0
6、),F(-c,0)它的共轭双曲线的焦点为F1(0,c),F2(0,-c),22bac22bacc=c所以四个焦点F1,F2,F3,F4在同一个圆.2222上bayx问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m,选择适当的坐标系,求出双曲线方程.C/B/A/OABCyx131225解:建立如图直角坐标系,使小圆直径AA在x 轴上,圆心与原点重合,这时上、下口的直径CC，BB平行于x轴。).(225|),(213|mBBmCC且).,13(),0(1122222yCbbyx点设双曲线方程为),55,25(yB则点.1)55(12251121322222222byby或)(125,负值舍去联立方程组解得by 0181502751911222222bbbyx得代入双曲线方程为12512),(252222yxmb双曲线方程为用计算器得例3 方程图形范围对称性顶点离心率12222 byax12222 bxayaaxx,关于x轴，y轴，原点对称 关于x轴，y轴，原点对称)1(eace)1(eaceoYXA1A2B1B2F2F2YXA1A2B1B2F2F1oaayy,)0,(),0,(21aAaA 12(0,),(0,)Ba Baxaby:渐近线方程xbay
