1、第2讲 空间中的平行与垂直 专题五 立体几何与空间向量 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 31.(2015北京)设，是两个不同的平面，m是直线且m.则“m”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析 m，m ，但m，m，m是的必要而不充分条件.B1 2 32.(2015安徽)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A.若，垂直于同一平面，则与平行 B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线 D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一
2、平面 1 2 3解析 对于A，垂直于同一平面，关系不确定，A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，不平行，但内能找出平行于的直线，如中平行于，交线的直线平行于，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则mn，其逆否命题即为D选项，故D正确.答案 D 1 2 33.(2015江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；证明 由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面
3、AA1C1C.1 2 3(2)BC1AB1.证明 因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，1 2 3所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.考情考向分析 1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行
4、判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.热点一 空间线面位置关系的判定热点分类突破 空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断.例1(1)(2015广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1
5、，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交 解析 若l与l1，l2都不相交则ll1，ll2，l1l2，这与l1和l2异面矛盾，l至少与l1，l2中的一条相交.答案 D(2)平面平面的一个充分条件是()A.存在一条直线a，a，a B.存在一条直线a，a，a C.存在两条平行直线a，b，a，b，a，b D.存在两条异面直线a，b，a，b，a，b解析 若l，al，a，a，则a，a，故排除A.若l，a，al，则a，故排除B.若l，a，al，b，bl，则a，b，故排除C.故选D.D 思维升华 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线
6、面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中.跟踪演练1 已知m，n为两条不同的直线，为两个不重合的平面，给出下列命题：若m，n，则mn；若m，mn，则n；若，m，则m；若m，m，则.A.0B.1C.2D.3 解析 对于，垂直于同一个平面的两条直线平行，正确；对于，直线n可能在平面内，所以推不出n，错误；对于，举一反例，m且m与，的交线平行时，也有m，错误；对于，可以证明其正确性，正确.故选C.答案 C 热点二 空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性
7、质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.例2(2015广东)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.(1)证明：BC平面PDA；证明 因为四边形ABCD是长方形，所以BCAD，因为BC平面PDA，AD平面PDA，所以BC平面PDA.(2)证明：BCPD；证明 因为四边形ABCD是长方形，所以BCCD，因为平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面PDC，因为PD平面PDC，所以BCPD.(3)求点C到平面PDA的距离.解 如图，取CD的中点E，连接AE和PE.因为PDPC，所以PECD，在 R
8、tPED 中，PEPD2DE24232 7.因为平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，PE平面PDC，所以PE平面ABCD，由(2)知：BC平面PDC，由(1)知：BCAD，所以AD平面PDC，因为PD平面PDC，所以ADPD.设点C到平面PDA的距离为h，因为V三棱锥C-PDAV三棱锥P-ACD，所以13SPDAh13SACDPE，即 hSACDPESPDA 1236 712343 72，所以点 C 到平面 PDA 的距离是3 72.思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；
9、二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.思维升华(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，ala.跟踪演练2 如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点.求证：(1)AF平面BCE；证明 如图，取CE的中点G，连接FG，BG.F 为 CD 的中点，GFDE 且 GF12DE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又 AB12DE，GFAB.
10、四边形GFAB为平行四边形，则AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)平面BCE平面CDE.证明 ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.热点三 平面图形的折叠问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键.一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的
11、线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法.例3 如图(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图(2).(1)求证：DE平面A1CB；证明 因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)求证：A1FBE；证明 由题图(1)得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD.所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE，又BE平面BCDE，所以A1F
12、BE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？请说明理由.解 线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.思维升华(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论.跟踪演练3(2014广
13、东)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如图(2)折叠，折痕EFDC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；证明 因为PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.又因为ABCD是矩形，CDAD，PD与CD交于点D，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF.又MFCF，MDMFM，所以CF平面MDF.(2)求三棱锥MCDE的体积.所以 PD 3，由(1)知 FDCF，解 因为PDDC，BC2，CD1，PCD60，在直角三角形 DCF 中，CF12CD
14、12.过点F作FGCD交CD于点G，得 FGFCsin 6012 32 34，所以 DEFG 34，故 MEPE 3 34 3 34，所以 MDME2DE23 34 2 34 2 62.SCDE12DEDC12 34 1 38.故 VMCDE13MDSCDE13 62 38 216.高考押题精练 1 21.不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面，内，下列为真命题的是()A.mnmB.mn C.mD.mn 押题依据 空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点.此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推
15、理能力.1 2解析 构造长方体，如图所示.因为A1C1AA1，A1C1平面AA1C1C，AA1 平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C与平面AA1B1B不垂直.所以选项A，B都是假命题.CC1AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以选项D为假命题.1 2“若两平面平行，则平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选C.答案 C 1 22.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC.(1)求证：D1CAC1；(2)问在棱CD上是否存在点E，使D1E平面A1BD.若存在，确定点E位置；若不
16、存在，说明理由.1 2押题依据 空间直线和平面的平行、垂直关系是立体几何的重点内容，也是高考解答题的热点，结合探索性问题考查考生的空间想象能力、推理论证能力，是命题的常见形式.1 2(1)证明 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，连接C1D，DCDD1，四边形DCC1D1是正方形，DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1D，AD平面DCC1D1，又D1C平面DCC1D1，1 2ADD1C.AD平面ADC1，DC1平面ADC1，且ADDC1D，D1C平面ADC1，又AC1平面ADC1，D1CAC1.1 2(2)解 假设存在点E，使D1E平面A1BD.连接AD1，AE，D1E，设AD1A1DM，BDAEN，连接MN，平面AD1E平面A1BDMN，要使D1E平面A1BD，可使MND1E，1 2又M是AD1的中点，则N是AE的中点.又易知ABNEDN，ABDE.即E是DC的中点.综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E平面A1BD.谢谢观看
