1、热点题型探究专题7 选修系列4部分第23讲 选修41:几何证明选讲题型一|相似三角形的判定与性质(2016江苏高考)如图231,在ABC中,ABC90,BDAC,D为垂足,E是BC的中点求证:EDCABD.图231证明 在ADB和ABC中,因为ABC90,BDAC,A为公共角,所以ADBABC,5分于是ABDC.7分在RtBDC中,因为E是BC的中点,所以EDEC,从而EDCC.9分所以EDCABD.10分【名师点评】判定两个三角形相似的几种方法:(1)两角对应相等,两三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;(3)三边对应成比例,两三角形相似;(4)相似三角形的定义1如图23
2、2,在ABCD中,E是DC边的中点,AE交BD于O,SDOE9 cm2,则求AOB的面积 图232解 在ABCD中,ABDE,AOBEOD,3分SAOBSDOEABDE2.5分E是CD的中点,DE12CD12AB,7分则ABDE2,SAOBSDOE224,9分SAOB4SDOE4936(cm2).10分2如图233,BD,CE是ABC的高求证:ADEABC.图233证明 BD,CE是ABC的高,AECADB90.2分又AA,AECADB,5分ADAEABAC.7分又AA,ADEABC.10分题型二|与圆有关的比例线段问题 如图234,PA为圆O的切线,A为切点,PBC为经过圆心O的割线,若PA
3、10,PB5,BAC的平分线与BC和圆O分别交于D,E,求ADAE的值 图234解 连结CE,由切割线定理知,PA2PBPC.1分PA10,PB5,PC20,CB15.2分又PA为圆O的切线,PABACP,PP,PABPCA,4分ABACPBPA12.5分又BC为直径,CAB为直角,AC2AB2BC2225,6分由得AC6 5,AB3 5.7分又AE平分BAC,EABCAE,ABCE,8分ACEADB,ABAEADAC.ADAEABAC3 56 590.10分【名师点评】(1)圆中线段长度成比例的问题,要结合切割线定理、相交弦定理,构造比例关系(2)利用相似关系求解线段长度要灵活地在三角形中对
4、条件进行转化或等比替换1(2016苏锡常镇二模)已知ABC内接于O,BE是O的直径,AD是BC边上的高求证:BAACBEAD.图235证明 连结AE.1分BE是O的直径,BAE90.3分BAEADC.5分又BEAACD,BEAACD.8分BEBAACAD,BAACBEAD.10分2如图236,AB是O的直径,C,F是O上的两点,OCAB,过点F作O的切线FD交AB的延长线于点D.连结CF交AB于点E.求证:DE2DBDA.图236证明 连结OF.因为DF切O于F,所以OFD90.2分所以OFCCFD90.因为OCOF,所以OCFOFC.5分因为COAB于O,所以OCFCEO90.所以CFDCE
5、ODEF,所以DFDE.8分因为DF是O的切线,所以DF2DBDA.所以DE2DBDA.10分题型三|圆内接四边形的判定及性质定理的应用 如图237,D,E分别为ABC的边AB,AC上的点,且不与ABC的顶点重合已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根(1)证明:C,B,D,E四点共圆;(2)若A90,且m4,n6,求C,B,D,E所在圆的半径【导学号:19592065】解(1)证明:连结 DE,根据题意知,在ADE 和ACB 中,ADABmnAEAC,即ADACAEAB.2 分又DAECAB,从而ADEACB.3分因此ADEACB,所以ADEEDB
6、ACBEDB180,所以C,B,D,E四点共圆.5分(2)m4,n6时,方程x214xmn0的两根为x12,x212.故AD2,AB12.7分取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线,两垂线相交于H点,连结DH.因为C,B,D,E四点共圆,所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.由于A90,故GHAB,HFAC.从而HFAG5,DF 12(122)5.故C,B,D,E四点所在圆的半径为5 2.10分【名师点评】判定四点共圆的方法1如果四个点到一定点的距离相等,那么这四个点共圆2如果一个四边形的一组对角互补,那么这四个点共圆3如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形四个顶点共圆4如果两个三角形有公共边,公共边所对的角相等且都在公共边的同侧,那么这两个三角形的四个顶点共圆如图238,AB为圆O的直径,CD为垂直于AB的一条弦,垂足为E,弦BM与CD交于点F.(1)证明:A,E,F,M四点共圆;(2)若MF4BF4,求线段BC的长解(1)证明:连结AM,由AB为圆O的直径可知AMB90,2分又CEAB于E,故AEF90,所以AMBAEF180.因此A,E,F,M四点共圆.5分(2)连结AC,由A,E,F,M四点共圆,可知BFBMBEBA,7分在RtABC中,BC2BEBA,又由MF4BF4知BF1,BM5,所以BC25,BC 5.10分