1、热点题型探究专题7 选修系列4部分第23讲 选修41：几何证明选讲题型一|相似三角形的判定与性质(2016江苏高考)如图231，在ABC中，ABC90，BDAC，D为垂足，E是BC的中点求证：EDCABD.图231证明 在ADB和ABC中，因为ABC90，BDAC，A为公共角，所以ADBABC，5分于是ABDC.7分在RtBDC中，因为E是BC的中点，所以EDEC，从而EDCC.9分所以EDCABD.10分【名师点评】判定两个三角形相似的几种方法：(1)两角对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(3)三边对应成比例，两三角形相似；(4)相似三角形的定义1如图23
2、2，在ABCD中，E是DC边的中点，AE交BD于O，SDOE9 cm2，则求AOB的面积 图232解 在ABCD中，ABDE，AOBEOD，3分SAOBSDOEABDE2.5分E是CD的中点，DE12CD12AB，7分则ABDE2，SAOBSDOE224，9分SAOB4SDOE4936(cm2).10分2如图233，BD，CE是ABC的高求证：ADEABC.图233证明 BD，CE是ABC的高，AECADB90.2分又AA，AECADB，5分ADAEABAC.7分又AA，ADEABC.10分题型二|与圆有关的比例线段问题 如图234，PA为圆O的切线，A为切点，PBC为经过圆心O的割线，若PA
3、10，PB5，BAC的平分线与BC和圆O分别交于D，E，求ADAE的值 图234解 连结CE，由切割线定理知，PA2PBPC.1分PA10，PB5，PC20，CB15.2分又PA为圆O的切线，PABACP，PP，PABPCA，4分ABACPBPA12.5分又BC为直径，CAB为直角，AC2AB2BC2225，6分由得AC6 5，AB3 5.7分又AE平分BAC，EABCAE，ABCE，8分ACEADB，ABAEADAC.ADAEABAC3 56 590.10分【名师点评】(1)圆中线段长度成比例的问题，要结合切割线定理、相交弦定理，构造比例关系(2)利用相似关系求解线段长度要灵活地在三角形中对
4、条件进行转化或等比替换1(2016苏锡常镇二模)已知ABC内接于O，BE是O的直径，AD是BC边上的高求证：BAACBEAD.图235证明 连结AE.1分BE是O的直径，BAE90.3分BAEADC.5分又BEAACD，BEAACD.8分BEBAACAD，BAACBEAD.10分2如图236，AB是O的直径，C，F是O上的两点，OCAB，过点F作O的切线FD交AB的延长线于点D.连结CF交AB于点E.求证：DE2DBDA.图236证明 连结OF.因为DF切O于F，所以OFD90.2分所以OFCCFD90.因为OCOF，所以OCFOFC.5分因为COAB于O，所以OCFCEO90.所以CFDCE
5、ODEF，所以DFDE.8分因为DF是O的切线，所以DF2DBDA.所以DE2DBDA.10分题型三|圆内接四边形的判定及性质定理的应用 如图237，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若A90，且m4，n6，求C，B，D，E所在圆的半径【导学号：19592065】解(1)证明：连结 DE，根据题意知，在ADE 和ACB 中，ADABmnAEAC，即ADACAEAB.2 分又DAECAB，从而ADEACB.3分因此ADEACB，所以ADEEDB
6、ACBEDB180，所以C，B，D，E四点共圆.5分(2)m4，n6时，方程x214xmn0的两根为x12，x212.故AD2，AB12.7分取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于A90，故GHAB，HFAC.从而HFAG5，DF 12(122)5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5 2.10分【名师点评】判定四点共圆的方法1如果四个点到一定点的距离相等，那么这四个点共圆2如果一个四边形的一组对角互补，那么这四个点共圆3如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形四个顶点共圆4如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且都在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆如图238，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F.(1)证明：A，E，F，M四点共圆；(2)若MF4BF4，求线段BC的长解(1)证明：连结AM，由AB为圆O的直径可知AMB90，2分又CEAB于E，故AEF90，所以AMBAEF180.因此A，E，F，M四点共圆.5分(2)连结AC，由A，E，F，M四点共圆，可知BFBMBEBA，7分在RtABC中，BC2BEBA，又由MF4BF4知BF1，BM5，所以BC25，BC 5.10分