1、四川省内江市市中区天立学校2019-2020学年高二数学下学期第二次月考试题（含解析）(考试时间120分钟，总分150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）1.已知命题：若实数满足，则互为相反数；命题：若，则.下列命题，中，真命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据条件分别判断两个命题的真假，结合复合命题的真假关系，进行判断，即可判定.【详解】由题意，例如时，此时，所以命题为假命题；命题：中当时，成立，所以，所以命题为真命题，所以命题假命题；为真命题；为真命题；为假命题，真命题的个数是2个，故选B.【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，
2、其中解答中先判定命题的真假，再结合复合命题的真假关系判定真假是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2.已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】当“直线a和直线b相交”时，平面和平面必有公共点，即平面和平面相交，充分性成立；当“平面和平面相交”，则 “直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立.故选A.3.已知双曲线：（）的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线
3、的方程和其渐近线方程可求得，然后再根据离心率的计算公式可得所求【详解】由可得，即为双曲线的渐近线的方程，又渐近线方程为，.离心率故选B【点睛】（1）求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围（2）本题容易出现的错误是认为，由双曲线的标准方程求渐近线方程时，不论焦点在哪个轴上，只需把方程中的“”改为“”，即可得到渐近线的方程4.已知斜率为2的直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p（ ）A. 1B. C. 2D. 4【答案】C【解析
4、】【分析】设直线l的方程为xy，与抛物线联立利用韦达定理可得p【详解】由已知得F（，0），设直线l的方程为xy，并与y22px联立得y2pyp20，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0），y1+y2p，又线段AB的中点M的纵坐标为1，则y0（y1+y2），所以p=2,故选C【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题5.椭圆的一条弦被点平分，则此弦所在的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设过A点的直线与椭圆两交点的坐标，分别代入椭圆方程，得到两个关系式，分别记作和，后化简得到一个关系式，然后根据A为
5、弦EF的中点，由A的坐标求出E和F两点的横纵坐标之和，表示出直线EF方程的斜率，把化简得到的关系式变形，将E和F两点的横纵坐标之和代入即可求出斜率的值，然后由点A的坐标和求出的斜率写出直线EF的方程即可【详解】设过点A的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），则有，式可得： 又点A为弦EF的中点，且A（4，2），x1+x2=8，y1+y2=4，（x1x2）（y1y2）=0即得kEF=过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y2=（x4），即x+2y8=0故选D【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系及中点弦问题的求解策略，关键在于对“设而不求法”的掌握解决直线与椭圆的位置关系,常
6、见方法有：涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用6.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】当大于等于0，在对应区间上为增函数；小于等于0，在对应区间上为减函数，由此可以求解【详解】解：时，则单调递减；时，则单调递增；时，则f（x）单调递减则符合上述条件的只有选项A故选A【点睛】本题主要考查了函数单调性与导函数的关系，重点是
7、理解函数图象及函数的单调性7.过椭圆的右焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于，则=A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】由题意结合通径公式求解即可.【详解】由椭圆方程可得：，结合通径公式可得：.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查椭圆通径公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.椭圆1(ab0)的离心率为，若直线ykx与椭圆的一个交点的横坐标x0b，则k的值为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据椭圆的离心率为，可得和的关系，设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程即可求得.详解：椭圆的离心率为设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程得.故选B.点睛：本题主要考查了直
8、线与椭圆的位置关系考查了学生对椭圆知识点综合把握，解题中运用“设而不求”、“整体代换”等思想方法的运用，以减少运算量，提高解题的速度.9.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由直线与双曲线联立得(1k2)x24kx100，由结合韦达定理可得解.详解】解析：把ykx2代入x2y26，得x2(kx2)26，化简得(1k2)x24kx100，由题意知即解得k1.答案：D.【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.10.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数定义
9、域是R，函数有两个极值点，其导函数有两个不同的零点；将导函数分离参数m后构造出的关于x的新函数与关于m的函数有两个不同交点，借助函数单调性即可确定m的范围.【详解】函数的定义域为，.因为函数有两个极值点，所以有两个不同的零点，故关于的方程有两个不同的解，令，则，当时，当时，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，又当时，；当时，且，故，所以，故选B.【点睛】本题考查了利用函数极值点性质求解参数范围，解题中用到了转化思想和分离参数的方法，对思维能力要求较高，属于中档题；解题的关键是通过分离参数的方法，将问题转化为函数交点个数的问题，再通过函数导数研究构造出的新函数的单调性确定参数的范围.11
10、.已知点是椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】根据三角形的内心到三边的距离相等，利用三角形的面积公式，将条件化简，结合椭圆的定义，即可求得的值【详解】设PF1F2的内切圆的半径为r，因为M为PF1F2的内心，SMPF1=SMF1F2-SMPF2，所以 所以，即因为P为椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点所以所以所以选D【点睛】本题考查了椭圆的定义及焦点三角形面积问题，内心的定义和应用，属于中档题12.定义域为的可导函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造
11、函数，判断函数的单调性，计算特殊值，解得不等式值.【详解】构造函数因为单调递减.故答案选A【点睛】本题考查了根据函数单调性解不等式，构造函数是解题的关键.13.设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：函数定义域是，设，则，设，则，易知，即也即在上恒成立，所以在上单调递增，又，因此是的唯一零点，当时，当时，所以在上递减，在上递增，函数至少有一个零点，则，故选B考点：函数的零点，用导数研究函数的性质【名师点睛】本题考查函数零点的知识，考查导数的综合应用，题意只要函数的最小值不大于0，因此要确定的正负与零点，又要对求导，得，此时
12、再研究其分子，于是又一次求导，最终确定出函数的最小值，本题解题时多次求导，考查了学生的分析问题与解决问题的能力，难度较大二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）14.函数在其极值点处的切线方程为_.【答案】【解析】，令，此时函数在其极值点处的切线方程为考点：导数的几何意义.15.已知函数，则曲线在点处切线的倾斜角的余弦值为_【答案】【解析】 因为，所以，所以，即，且，则， 所以曲线在点处的切线的倾斜角的余弦值为.16.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是_【答案】.【解析】，令函数有两个极值点，则在区间上有两个实数根，当时，则函数在区间单调递增，因此在区间上不可能有两个实数根，
13、应舍去，当时，令，解得，令，解得，此时函数单调递增，令，解得，此时函数单调递减，当时，函数取得极大值，当近于与近于时，要使在区间有两个实数根，则，解得实数的取值范围是，故答案为.17.设双曲线1的右顶点为A，右焦点为F，过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则AFB的面积为_【答案】【解析】【分析】结合题意，绘制图形，计算直线l的方程，计算直线BF的方程，计算三角形面积，即可【详解】绘制图像,如图:结合双曲线性质可得,直线l的方程为，直线BF与一条渐进线平行，说明过F，则直线BF的方程为，联解这两个方程，可得B的坐标为而A的坐标为，所以【点睛】本道题考查了双曲线的性质，
14、考查了直线与双曲线的位置关系，难度中等18.已知点，抛物线的焦点为，连接，与抛物线相交于点，延长，与抛物线的准线相交于点，若，则实数的值为_【答案】【解析】依题意可得焦点的坐标为，设在抛物线的准线上的射影为，连接由抛物线的定义可知又，解得点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用，考查了学生数形结合思想和转化与化归思想，设出点在抛物线的准线上的射影为，由抛物线的定义可知，再根据题设得到，然后利用斜率得到关于的方程，进而求解实数的值三、解答题（本大题共6小题，共70分）19.已知函数在处取得极小值1（1）求的解析式；（2）求在上的最值【答案】（1）（2）最小值为1，最大值为3【解
15、析】【分析】（1）利用导数，结合在处取得极小值1，求得的值，由此求得解析式.（2）根据在区间上的单调性，结合函数的极值以及区间端点的函数值，求得在区间上的最值.【详解】（1），由，得或当时，则在上单调递增，在上单调递减，符合题意，由，得；当时，则在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，不符合题意所以（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，因为，所以的最小值为1，最大值为3【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究函数的最值，属于基础题.20.设，其中，曲线在点处的切线与y轴相交于点.（1）确定a的值；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）； （2）增区间是，减区间是
16、.【解析】【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线在点处的切线与轴相交于点列出方程求的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到函数的单调区间【详解】(1)因为，所以.令，得，所以曲线在点处的切线方程为，由点在切线上，可得，解得.(2)由(1)知，.令，解得或.当或时，；当时，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.【点睛】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想属于
17、中档题21.函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，证明：当时，恒成立.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对求导，令，可得或，然后分，和三种情况求的单调区间；（2）由（1）可知时，的单调性，然后分和两种情况分别求出的最大值，证明的最大值小于0即可【详解】解：（1）因为定义域为，则.令，得，解得，.当时，所以在上单调递减.当，在上单调递增，在上单调递减.当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，由（1）得在上单调递增，在上单调递减.当，即时，在的最大值.因为，所以.所以，当，即时，在内单调递增.因为，.所以，所以.综合可知当时，恒成立.【点睛】本题考查了利用导数研
18、究函数的单调性与最值和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题22.已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.（1）求椭圆的方程；（2）求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的简单几何性质知，又，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出中点为的坐标，再根据为等腰三角形知，从而得的斜率为，求出，写出：，并计算，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积【详解】（1）由已知得，解得，又，所以椭圆的方程为（2）设直线的方程为，由得，设、的坐标分别为，（），中点为，则
19、，因为是等腰的底边，所以所以的斜率为，解得，此时方程为解得，所以，所以，此时，点到直线：的距离，所以的面积考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离.【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键23.已知椭圆：的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆相交于，两点，若，试用表示.【答案
20、】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由题意列方程组，求解方程组即可得解；（2）由直线和椭圆联立，利用弦长公式结合韦达定理求表示即可.【详解】（1）由题意解得故椭圆C方程为（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-80，所以，因为|AB|4|，所以，所以，整理得k2(4-m2)m2-2，显然m24，又k0，所以故【点睛】本题主要考查了直线与椭圆相交的弦长问题，属于基础题.24.设为坐标原点，椭圆的左焦点为，离心率为.直线与交于两点，的中点为，.（1）求椭圆的方程；（2）设点，求证:直线过定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）；（2）直线过定点.【
21、解析】试题分析：（1）设椭圆的右焦点为，则为的中位线，推出，结合离心率为，即可求出椭圆的方程；（2）设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，表示出，即，再根据点，即可求出的值，从而求出定点的坐标.试题解析：（1）设椭圆的右焦点为，则为的中位线.椭圆方程为:（2）设，.联立,消去整理得：.，整理得： 解得：或（舍去） 直线过定点.点睛：（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查；（2）解决定点、定值问题时，可直接根据题意进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从
22、而得到定值25.已知直线：与抛物线切于点，直线：过定点Q，且抛物线上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为.（1）求抛物线的方程及点的坐标；（2）设直线与抛物线交于(异于点P)两个不同的点A、B，直线PA，PB的斜率分别为，那么是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1），（1，2）；（2）存在，【解析】【分析】（1）由直线恒过点点及抛物线C上的点到点Q的距离与到准线的距离之和的最小值为，求出抛物线的方程，再由直线与抛物线相切，即可求得切点的坐标；（2）直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，求得直线PA，PB的斜率，求出斜率之和为定值，即存在实数使得斜率
23、之和为定值.【详解】（1）由题意，直线变为2x+1-m(2y+1)=0，所以定点Q的坐标为 抛物线的焦点坐标，由抛物线C上的点到点Q的距离与到其焦点F的距离之和的最小值为，可得，解得或（舍去），故抛物线C的方程为又由消去y得，因为直线与抛物线C相切，所以，解得，此时，所以点P坐标为（1，2）（2）设存在满足条件的实数，点，联立，消去x得，则，依题意，可得，解得m-1或，由（1）知P（1，2），可得，同理可得，所以=，故存在实数=满足条件.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
