1、热点题型探究专题限时集训第17讲 圆锥曲线的定义、方程与性质题型一|圆锥曲线的定义及其标准方程(1)设F1，F2分别是椭圆E：x2 y2b2 1(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若AF13F1B，AF2x轴，则椭圆E的方程为_(2)已知椭圆C：x29 y24 1，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则ANBN_.(1)x232y21(2)12(1)不妨设点A在第一象限，AF2x轴，A(c，b2)(其中c21b2,0b0)又AF13F1B，由AF1 3F1B 得B5c3，b23，代入x2y2b21得25c29 b49b21，又c
2、21b2，b223.故椭圆E的方程为x232y21.(2)根据已知条件画出图形，如图设MN的中点为P，F1，F2为椭圆C的焦点，连结PF1，PF2.显然PF1是MAN的中位线，PF2是MBN的中位线，ANBN2PF12PF22(PF1PF2)2612.【名师点评】1.圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”定型就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程2数形结合，画出图形根据椭圆的定义及几何性质求解1在平面直角坐标系xOy中，已知方程x24my22m1表示双曲线，则实数m的取值范围为_(2,4)由题意可知(4m)(2m)0，解得2m0，b0)的一条渐近
3、线的斜率为2，且右焦点与抛物线y24 3x的焦点重合，则该双曲线的方程为_x2y22 1 由双曲线的方程得其渐近线方程为ybax，则ba 2，b 2a，又抛物线的焦点为(3，0)，则双曲线的右焦点为(3，0)，即c 3，可解得a1，b 2，故双曲线的方程为x2y221.3如图171，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则ba_.图17121 正方形ABCD的正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点，Ca2，a，Fa2b，b.又点C，F在抛物线y22px(p0)上，a2pa，b22pa2b，解得ba 21.题型二|圆锥曲线的几何性质(1)在平面直角坐标
4、系xOy中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为x 12，且它的一个顶点与抛物线y24x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为_(2)过点M(1,1)作斜率为12的直线与椭圆C：x2a2y2b21(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_(1)y 3x(2)22 (1)抛物线的焦点为(1,0)，a1.又a2c 12，c2，b 3.从而双曲线的渐近线方程为ybax，即y 3x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，x1x2x1x2a2y1y2y1y2b20，y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2.y1y2
5、x1x212，x1x22，y1y22，b2a212，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，ca 22.【名师点评】1.两类离心率的求法：一是利用定义、方程、性质求出a，c，进而求e；二是运用条件构建关于a，c的齐次方程，变形求e.2两类离心率的变形应用：(1)椭圆的离心率e：e2c2a21b2a2，ba 1e2；(2)双曲线的离心率e：e2c2a21b2a2，ba e21.1已知双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 52，则双曲线C的渐近线方程为_【导学号：19592051】y12x 双曲线C的渐近线方程为ybax，离心率为eca 52，所以c2a254a
6、2b2a2，b2a214，即ba12，故渐近线方程为y12x.2(2016苏北三市三模)已知点F为抛物线y24x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为_43 由题意可知F(1,0)，又由抛物线的定义可知AFxA1，又AF5，故xA4.yA4(yA4舍去)kAF404143.3双曲线C：x2a2 y2b2 1(a0，b0)与抛物线y22px(p0)相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为_21 抛物线的焦点为F p2，0，且cp2，所以p2c.根据对称性可知公共弦ABx轴，且AB的方程为xp2，当xp2 时，yAp，所以A p2
7、，p.又因为双曲线左焦点F1的坐标为p2，0，所以AF1p2p22p2 2p，又AFp，所以 2pp2a，即(21)2c2a，所以ca121 21.题型三|直线与圆锥曲线的位置关系(1)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_(2)已知双曲线x2 y23 1上存在两点M，N关于直线yxm对称，且MN的中点在抛物线y218x上，则实数m的值为_(1)94(2)0或8(1)由已知得焦点坐标为F34，0，因此直线AB的方程为y33 x34，即4x4 3y30.法一：联立抛物线方程化简得4y212 3y90，故|yAyB|yAyB24y
8、AyB6.因此SOAB12OF|yAyB|1234694.法二：联立方程得x2212 x 9160，故xAxB212.根据抛物线的定义有ABxAxBp212 3212.同时原点到直线AB的距离为h|3|424 3238，因此SOAB12ABh94.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为P(x0，y0)，则x21y2131，x22y2231，由得x21x22y21y223，即(x1x2)(x1x2)13(y1y2)(y1y2)，也即2x013y1y2x1x22y013(1)2y0，y03x0，又P在直线yxm上，y0 x0m，由解得Pm4，34m，代入抛物线y218x得，916
9、m218m4，m0或8.经检验m0或8均符合题意【名师点评】与直线和圆锥曲线相交的有关问题的求解策略在涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立后所得方程的根的情况，使用根与系数的关系进行整体代入，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本方法1在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2 6d1，则椭圆C的离心率为_33 依题意，d2a2c cb2c.又BFc2b2a，所
10、以d1bca.由已知可得b2c 6bca，所以 6c2ab，即6c4a2(a2c2)，整理可得a23c2，所以离心率eca 33.2已知点A(1,0)，椭圆C：x24 y23 1，过点A作直线交椭圆C于P，Q两点，AP2QA，则直线PQ的斜率为_ 52 设Q(x0，y0)，P(xP，yP)，则AP(xP1，yP)，QA(1x0，y0)，由AP2QA，得xP121x0，yP2y0，xP32x0，yP2y0，因为点P，Q都在椭圆上，所以x204y2031，32x0244y203 1，解得x074，y03 58，即Q为74，3 58，P为12，3 54，所以直线PQ的斜率k 52.3直线3x4y40与抛物线x24y和圆x2(y1)21从左到右的交点依次为A，B，C，D，则ABCD的值为_116 由3x4y40，x24y，得x23x40，解得x1或4.所以A1，14，D(4,4)直线3x4y40恰过抛物线的焦点F(0,1)，且该圆的圆心为F(0,1)，所以AFyA154，DFyD15，所以ABCDAF1DF1 116.专题限时集训（十八）点击图标进入
