1、23空间直角坐标系23.1空间直角坐标系23.2空间两点间的距离1.了解空间直角坐标系的有关概念2.理解空间任意一点的坐标的意义，空间两点间距离公式的推导方法3掌握空间任意一点的坐标的表示方法，空间两点间的距离公式及简单应用1空间直角坐标系如图，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以正方体OABCDABC为载体，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD的方向为正方向，以线段OA，OC，OD的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz
2、平面、zOx平面，通常建立的空间直角坐标系为右手直角坐标系，即让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向2空间直角坐标系中点M的坐标空间任意一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标3空间两点间的距离公式在空间直角坐标系中，任意两点P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)间的距离为|P1P2|1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间直角坐标系中，x轴上点的坐标满足x0，z0.()(2)空间直角坐标系中
3、，xOz平面上点的坐标满足z0.()(3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反()(4)平面上两点间的距离公式是空间上两点间距离公式的特例()(5)将距离公式中两点的坐标顺序互换，结果不变()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2在空间直角坐标系Oxyz中，点P(1，0，0)位于()AxOz平面内ByOz平面内Cy轴上 Dx轴上答案：D3点P(1，)到原点O的距离是()A.B. C2D.答案：A4在空间直角坐标系中，点M(1，0，3)与点N(1，1，a)两点间的距离为，则a_答案：2或4确定空间任一点的坐标在如图所示的空间直角坐标系中，OABCOABC是长方体，
4、|OA|1，|OC|2，|OO|3，AC与BO交于点P，分别写出点C，C，B，B，A，A，P的坐标解：因为点C在y轴上，且|OC|2，它的纵坐标为2，它的横坐标x与竖坐标z都是0，所以点C的坐标为(0，2，0)所以点C在yOz平面上，C在z轴和y轴上的射影分别为O和C，且|OO|3，|OC|2，所以点C的坐标为(0，2，3)所以点B的坐标为(1，2，0)所以点B在xOy平面上，点B在x轴和y轴上的射影分别为A和C，因为点B在xOy平面上的射影是B，它的横坐标与纵坐标同点B的横坐标与纵坐标均相同，点B在z轴上的射影是O，它的竖坐标与点O的竖坐标相同，而点O的竖坐标z3，所以点B的坐标是(1，2，
5、3)同理得A(1，0，3)，A(1，0，0)因为点P与z轴的正半轴在xOy平面的同侧，所以点P的竖坐标是3.又点P在xOy平面上的射影的坐标为，所以点P的坐标是. (1)空间中点P坐标的确定方法投影法：即找到点P在三条坐标轴上的投影点方法是过点P作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴于A、B、C三点( A、B、C即为点P在三条坐标轴上的投影点)，点A、B、C在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是a、b、c，则(a，b，c)就是点P的坐标 路径法：先从原点出发沿x轴的正方向(x0)或负方向(x0)移动|x|个单位，再沿y轴的正方向(y0)或负方向(y0)移动|y|个单位，最后沿z轴的正方向(z0)或负方
6、向(z0)移动|z|个单位即可得到此点的坐标(2)空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的1.设有长方体ABCD ABCD，如图所示，长、宽、高分别为AB4，AD3，AA5，N是线段CC的中点分别以AB、AD、AA所在的直线为x轴，y轴，z轴，以1为单位长度，建立空间直角坐标系(1)求A，B，C，D，A，B，C，D的坐标；(2)求N的坐标解：(1)A，B，C，D都在平面xOy内，z的坐标都为0，它们在x轴、y轴所组成的直角坐标系中的坐标分别是A(0，0)，B(4，0)，C(4，3)，D(0，3)，因此空间坐标分别是A(0，0，0)，B(4，0，0
7、)，C(4，3，0)，D(0，3，0)A，B，C，D同在一个垂直于z轴的平面内，这个平面与z轴的交点A在z轴上的代表数是5，故这四点的竖坐标都是5.这四点在xOy平面上的射影分别是A，B，C，D，故A，B，C，D的x，y坐标分别与A，B，C，D相同，由此可知，它们的空间坐标分别是A(0，0，5)，B(4，0，5)，C(4，3，5)，D(0，3，5)(2)N是线段CC的中点，CN2.5，因此N的竖坐标为2.5，C在xOy平面内的平面坐标为(4，3)，故N的空间坐标为(4，3，2.5)空间中点的对称问题已知点P(2，3，1)，求：(1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标；(2)点P关于各坐标轴对称的
8、点的坐标；(3)点P关于坐标原点O对称的点的坐标解：(1)设点P关于xOy坐标平面的对称点为P，则点P在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的相应坐标相同，而点P在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数所以，点P关于xOy坐标平面的对称点P的坐标为(2，3，1)同理，点P关于yOz，zOx坐标平面的对称点的坐标分别为(2，3，1)，(2，3，1)(2)设点P关于x轴的对称点为Q，则点Q在x轴上的坐标与点P的坐标相同，而点Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的坐标互为相反数所以，点P关于x轴的对称点Q的坐标为(2，3，1)同理，点P关于y轴，z轴的对称点的坐标分别为(
9、2，3，1)，(2，3，1)(3)设点P关于坐标原点O的对称点为R(x，y，z)，则点O为线段PR的中点，由中点坐标公式可得x2022，y2033，z20(1)1，所以R为(2，3，1)空间直角坐标系中点的对称问题要类比平面直角坐标系中点的对称问题思考解决(1)点P关于定点G对称点P的坐标，即可视G为线段PP的中点求解，特别地，点P(x0，y0，z0)关于原点O的对称点为P(x0，y0，z0) (2)点P关于坐标轴或坐标平面对称点P的坐标，一般遵循“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标的符号相反”的口诀特别地，在空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：关于x轴(横轴)
10、对称的点的坐标是P(x，y，z)关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P(x，y，z)关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P(x，y，z)关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P(x，y，z)关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P(x，y，z)关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P(x，y，z).2.在空间直角坐标系中，点P(2，1，4)(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，1，4)的对称点的坐标解：(1)点P关于x轴对称的对称点为P1(2，1，4)(2)点P关于xOy平面对称的对称点为P2(2，1，4)(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M
11、为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412.所以P3(6，3，12)空间两点间距离公式的应用如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求PQ的最小值解：依题意P，设点Q(0，1，z)(0z1)，则PQ ，所以当z时，|PQ|min，此时Q，Q恰为CD的中点利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤 3.如图建立空间直角坐标系，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，点P是
12、正方体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上(1)当2C1QQC时，求PQ；(2)当点Q在棱CC1上移动时，探究PQ的最小值解：据题意知B(1，1，0)，D1(0，0，1)，故BD1的中点P.由于点Q在CC1上，故Q点坐标可设为(0，1，a)(0a1)(1)由2C1QQC，易知QC，故Q为.从而PQ .(2)据题意知PQ (0a1)由函数知识可知当a时，取得最小值从而PQmin，此时Q.1空间直角坐标系的特征(1)具有公共原点的三条两两垂直的数轴构成空间直角坐标系(2)空间直角坐标系建立之后，对空间上任一点M都有惟一的一个有序实数组(x，y，z)与之对应反之，任何一个有序实数组(x，y，z)也惟
13、一对应空间中的一点M.2坐标轴及坐标平面上点的坐标xOy平面是坐标形如(x，y，0)的点构成的点集；xOz平面是坐标形如(x，0，z)的点构成的点集；yOz平面是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集；x轴是坐标形如(x，0，0)的点构成的点集；y轴是坐标形如(0，y，0)的点构成的点集；z轴是坐标形如(0，0，z)的点构成的点集其中x，y，z均为任意实数3空间线段的中点坐标设M(x1，y1，z1)，N(x2，y2，z2)是空间中两点，则线段MN的中点P的坐标为.4空间两点间的距离公式的特例与应用(1)特别地，点P(x，y，z)与原点O间的距离公式为OP.(2)空间两点间距离公式是平面两点间距离
14、公式的推广动点P(x，y，z)到定点P0(x0，y0，z0)的距离等于定长r(r0)的轨迹方程为(xx0)2(yy0)2(zz0)2r2，此方程表示以点P0为球心，以r为半径的球面如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标【解】取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BOAC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，因为三棱柱各棱长均为1，所以OAOCO1C1O1A1，OB.因为点A、B、C均在坐标轴上，所以A，B，C，点A1与C1在yOz平面内，所以A1，C1，点B1在xOy平面内投影为B，且BB11
15、.所以B1.所以各点的坐标为A，B，C，A1，B1，C1.求空间点的坐标的关键是建立正确的空间直角坐标系，这也是正确利用坐标求解此类问题的前提建立空间直角坐标系时要注意坐标轴必须是共点且两两垂直，且符合右手法则通常是选取从一点出发的三条两两垂直的直线作为坐标轴如果没有满足条件的直线，可以让某一条坐标轴“悬空”1设点P在x轴上，它到点P1(0，3)的距离为到点P2(0，1，1)的距离的两倍，则点P的坐标为()A(1，0，0)B(1，0，0)C(1，0，0)或(0，1，0) D(1，0，0)或(1，0，0)答案：D2已知A(1，2，7)，则点A关于x轴对称的点的坐标为()A(1，2，7) B(1，
16、2，7)C(1，2，7) D(1，2，7)答案：A3已知A(1t，1t，t)，B(2，t，t)，则AB的最小值为_解析：由两点间的距离公式可得AB .答案： A基础达标1在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)与点Q(3，4，5)的位置关系是()A关于x轴对称B关于xOy平面对称C关于坐标原点对称 D以上都不对答案：A2点P(1，)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为()A(0，0，) B(0，)C(1，0，) D(1，0)解析：选D.由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，0)3若点P(4，2，3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，
17、(e，f，d)，则c与e的和为()A7 B7C1 D1解析：选D.由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(4，2，3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，2，3)，故c3，e4，故ce341.4与A(3，4，5)，B(2，3，0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是()A10x2y10z370B5xy5z370C10xy10z370D10x2y10z370解析：选A.由MAMB，得(x3)2(y4)2(z5)2(x2)2(y3)2z2，化简得10x2y10z370，故选A.5在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)的坐标满足方程(x2)2(y1)2(z3)21，则点P的轨迹是(
18、)A圆 B直线C球面 D线段解析：选C.(x2)2(y1)2(z3)21表示(x，y，z)到点(2，1，3)的距离的平方为1，它表示以(2，1，3)为球心，以1为半径的球面，故选C.6在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是_解析：分别以x轴、y轴、z轴上的单位长度为正方体的相邻的棱作正方体，则点P在正方体与O相对的顶点上，所以OP.答案：7一束光线自点P(1，1，1)出发，被xOy平面反射到达点Q(3，3，6)被吸收，那么光所走的距离是_解析：P关于xOy平面对称的点为P(1，1，1)，则光线所经过的路程为PQ.答案：8若点(m，n，t)关于点(1，2，3)
19、的对称点是(3n，2t，2m)，则mnt_解析：由题意得即解之得m，n，t.所以mnt.答案：9已知正四棱锥PABCD的底面边长为a，侧棱长为l，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标解：设正四棱锥底面中心点为O，因为OAOB，点P在平面ABCD上的射影为O，所以以O为坐标原点，以OA，OB，OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系则OAa，PAPBPCPDl，所以PO.故各顶点坐标依次为A.B，C，D，P.10三棱锥PABC中，侧面PAC底面ABC，ABC是以角B为直角顶点的直角三角形，ABBC2，又PAPBPC3，试建立恰当的空间直角坐标系，在这个坐标系中：(1)求点
20、A，B，C，P的坐标；(2)求AB，PC的中点之间的距离解：(1)取AC的中点O，连结OB，OP.因为ABC是直角三角形，且ABBC2.所以AC4，OB2.因为PAPBPC，所以点P在平面ABC上的射影是ABC的外心，即点O.故PO平面ABC.因为PA3，所以PO.以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则P(0，0，)，A(0，2，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)(2)AB的中点坐标为(1，1，0)，PC的中点坐标为.这两个中点之间的距离为d.B能力提升1已知点P(2，3，1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yO
21、z的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为_解析：点P(2，3，1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，3，1)答案：(2，3，1)2对于任意实数x、y、z，则 的最小值为_解析：设P(x，y，z)，M(1，2，1)则POPM，由于x、y、z是任意实数，即点P是空间任意一点，则POPMOM，则所求的最小值为.答案：3如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3，AA12，点M在A1C1上，MC12A1M，N在D1C上且为D1C的中点，求M、N两
22、点间的距离解：如图，分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系由题意可知C(3，3，0)，D(0，3，0)，因为DD1CC12，所以C1(3，3，2)，D1(0，3，2)因为N为CD1的中点，所以N.M是A1C1的三等分点且靠近点A1，所以M(1，1，2)由两点间距离公式，得MN .4(选做题)已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|BN|a(0a)，求：(1)MN的长；(2)a为何值时，MN的长最小解：(1)因为平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，ABBE，BE平面ABEF，所以BE平面ABCD.所以AB、BC、BE两两垂直过点M作MGAB，MHBC，垂足分别为G、H，连结NG，易证NGAB.因为|CM|BN|a，所以|CH|MH|BG|GN|a，所以以B为坐标原点，以BA、BE、BC所在直线为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则M，N.所以|MN|(0a)(2)因为|MN|(0a)，故当a时，|MN|min，这时M、N恰好为AC、BF的中点
