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2012届高考数学二轮复习精品课件(大纲版)专题5 第17讲空间直线、平面的位置关系及简单的几何体.ppt

上传人:高**** 文档编号:741995 上传时间:2024-05-30 格式:PPT 页数:33 大小:3.38MB
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1、第17讲 空间直线、平面的位置关系及简单几何体 第17讲 空间直线、平面 的位置关系及简单几何体 主干知识整合第17讲 主干知识整合 ,1.空间线线、线面、面面之间的位置关系直线与平面垂直的有关问题可以利用直线与平面垂直的判定及性质定理来解平面与平面平行与垂直是两种重要的位置关系,与它们有关的问题可以用两个平面平行与垂直的判定与性质定理来解决2.几何体的折叠与展开(1)折叠:设一个平面图形 A 被某一线段 PQ 分为两部分 F1 和 F2,沿线段 PQ 折叠 A,得到空间图形有两个方面的内涵:位于折叠线 PQ 同侧的几何对象(如点、线段或角等),即 F1 或 F2 中的几何对象,相互之间的位置

2、关系、数量关系,折叠前后没有变化;位于折叠线 PQ 两侧的几何对象,即 F1 与 F2 的几何对象,相互之间的位置关系、数量关系都可能发生变化 第17讲 主干知识整合 (2)展开:一般适用于多面体表面上两点间的最短距离问题,其利用的解题原理是平面内两点之间线段最短展开后,有些点可能会“一分为二”,需进行合理的标记以区分展开前后点的变化情况3球与多面体的切与接用一个平面去截一个球,截面是圆面球的截面有下面性质:(1)球心与截面圆心的连线垂直于截面(2)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆的半径 r 的关系为:d2R2r2.球的很多问题是通过球的截面平面化后,转化为圆的问题来解决的,此时

3、要注意区分大圆与小圆球与多面体的切与接问题,首先要弄清位置关系,选择最佳角度作截面,一般是过球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空间问题化归为平面问题,从而在平面内解决 例 1 2011四川卷 l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()Al1l2,l2l3l1l3Bl1l2,l2l3l1l3Cl1l2l3l1,l2,l3 共面Dl1,l2,l3 共点l1,l2,l3 共面要点热点探究第17讲 要点热点探究 探究点一 空间两条直线关系的判断【分析】对四个备选答案逐一判断,正确的找出依据,错误的要能举出反例B【解析】对于 A,直线 l1 与 l3 可能异面;对于 C,直线 l1

4、、l2、l3 可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面;对于 D,直线 l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面.所以选 B.第17讲 要点热点探究【点评】几乎每年的高考都会有一个小题考查有关线面位置关系真假的判断,线线、线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理及有关空间的概念是解决命题真假判断的方法和依据,实物的简单演示法、特例法模型的使用是解决问题的法宝第17讲 要点热点探究 已知直线 l、m,平面、,且 l,m,给出下列四个命题:若,则 lm;若 lm,则;若,则 lm;若 lm,则.其中正确的命题个数为()A.1 B.2C.3D.4 B【解析】对于,由定理“若一条直线垂直于两个平行平

5、面中的一个,则它也垂直于另一个平面”得知,直线 l,又 m,因此有 lm,正确;对于,此时平面,可能是相交平面,如当 m 时,相关的条件都满足,但结论不成立,因此不正确;对于,显然此时由条件不能得知 lm,因此不正确;对于,由定理“若两条平行直线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”得知,直线 m,又 m,因此有,正确综上,正确的命题有 2 个第17讲 要点热点探究 探究点二 直线与平面的平行与垂直例 2 2011全国卷 如图 171,四棱锥 SABCD 中,ABCD,BCCD,侧面 SAB 为等边三角形ABBC2,CDSD1.(1)证明:SD平面 SAB;(2)求 AB 与平面

6、SBC 所成的角的大小图 171【分析】(1)要证一条直线垂直于一个平面,只要证明直线与平面内两相交直线垂直即可(2)求线面角,若直接法不好求可转化为线上的某个点到面的距离与该点到斜足的距离之比为线面角的正弦值来解决第17讲 要点热点探究【解答】解法一:(1)取 AB 中点 E,连接 DE,则四边形 BCDE为矩形,DECB2.连接 SE,则 SEAB,SE 3.又 SD1,故ED2SE2SD2,所以DSE 为直角由 ABDE,ABSE,DESEE,得 AB平面 SDE,所以 ABSD.SD 与两条相交直线 AB、SE都垂直所以 SD平面 SAB.(2)由 AB平面 SDE 知,平面 ABCD

7、平面 SDE.作 SFDE,垂足为 F,则 SF平面 ABCD,SFSDSEDE 32.作 FGBC,垂足为G,则 FGDC1.第17讲 要点热点探究 连接 SG,则 SGBC.又 BCFG,SGFGG,故 BC平面 SFG,平面 SBC平面 SFG.作 FHSG,H 为垂足,则 FH平面 SBC.FHSFFGSG 37,即 F 到平面 SBC 的距离为 217.由于 EDBC,所以ED平面 SBC,故 E 到平面 SBC 的距离 d 也为 217.设 AB 与平面 SBC所成的角为,则 sin dEB 217,arcsin 217.解法二:以 C 为坐标原点,射线 CD 为 x 轴正半轴,建

8、立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz.设 D(1,0,0),则 A(2,2,0),B(0,2,0)又设 S(x,y,z),则 x0,y0,z0.(1)AS(x2,y2,z),BS(x,y2,z),DS(x1,y,z),由|AS|BS|得 x22y22z2 x2y22z2,故 x1,第17讲 要点热点探究 由|DS|1 得 y2z21,又由|BS|2 得 x2(y2)2z24,即 y2z24y10,故 y12,z 32.于是 S1,12,32,AS1,32,32,BS1,32,32,DS 0,12,32,DS AS0,DSBS0.故 DSAS,DSBS,又 ASBSS,所以 SD平面 SAB.(

9、2)设平面 SBC 的法向量 a(m,n,p),则 aBS,aCB,aBS0,a CB 0.又 BS 1,32,32,CB (0,2,0),故m32n 32 p0,n0.取 p2得 a(3,0,2)又AB(2,0,0),所以 cosAB,a AB a|AB|a|217.故 AB 与平面 SBC 所成的角为arcsin 217.第17讲 要点热点探究【点评】本题以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算利用传统的方法证明直线与平面垂直的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直,在证明的过程中,要充分利用平面几何的知识,以达到通过平面内的垂直关系证明空间的垂直关系的目的第17讲 要点热点探究

10、 探究点三 平面与平面的平行与垂直例 32011江苏卷 如图 172,在四棱锥 PABCD 中,平面 PAD平面 ABCD,ABAD,BAD60,E、F 分别是 AP、AD 的中点求证:(1)直线 EF平面 PCD;(2)平面 BEF平面 PAD.图 172第17讲 要点热点探究【分析】要证直线 EF平面 PCD,只要证明 EF 与平面 PCD内某条直线平行即可要证两平面垂直通常证明其中一个平面经过另外一个平面的一条垂线【解答】证明:(1)在PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD的中点,所以 EFPD.又因为 EF平面 PCD,PD平面 PCD,所以直线 EF平面 PCD.(2)连接 B

11、D,因为 ABAD,BAD60,所以ABD 为正三角形,因为 F 是 AD 的中点,所以 BFAD.因为平面 PAD平面 ABCD,BF平面 ABCD,平面 PAD平面 ABCDAD,所以 BF平面 PAD.又因为 BF平面 BEF,所以平面 BEF平面 PAD.第17讲 要点热点探究【点评】本题考查空间线面的位置关系,证明线面平行、面面垂直问题,考查空间想象能力和计算能力空间线面平行的关键在于在平面内找出一条直线与该直线平行,一般此类问题与三角形的中位线有关,而面面垂直问题的关键在于找出其中一个平面的垂线第17讲 要点热点探究 如图 173,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、N、P

12、 分别为所在边的中点,O 为面对角线 A1C1 的中点(1)求证:面 MNP面 A1C1B;(2)求证:MO面 A1C1B.图 173第17讲 要点热点探究【解答】证明:(1)连接 D1C,MN 为DD1C 的中位线,MND1C.又D1CA1B,MNA1B.同理 MPC1B.而 MN 与 MP 相交,MN,MP面 MNP;A1B 与 BC1 相交,A1B,BC1面 A1C1B.面 MNP面 A1C1B.(2)连接 C1M 和 A1M,设正方体的边长为 a,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,C1MA1M,又O 为 A1C1 的中点,A1C1MO,连接BO 和 BM,在三角形 BMO 中,经

13、计算知 OB 62 a,MO 32 a,BM32a,OB2MO2MB2,即 BOMO.而 A1C1,BO面 A1C1B,MO面 A1C1B.第17讲 要点热点探究 例 4 2011课标全国卷 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB6,BC2 3,则棱锥 OABCD 的体积为_【分析】要求棱锥 OABCD 的体积,关键是要求点 O 到平面 ABCD 的距离,矩形对角线的交点即为截面圆的圆心,结合球的性质可知球心 O 与截面圆圆心的连线垂直于截面圆 探究点四 球与多面体的组合问题8 3【解析】如图,由题意知,截面圆的直径为 622 32 484 3,所以四棱锥的高O

14、O1 OA2O1A2 16122,所以其体积 V13S 矩形 ABCD OO1 1362 328 3.第17讲 要点热点探究【点评】本题考查球的组合体问题,在球的组合体中,球的所有截面都是圆,而矩形的对角线恰好是其外接圆的直径,本题中经过截面圆圆心和球心的直线必垂直于截面圆这一性质对解决此题起着至关重要的作用第17讲 要点热点探究 若半径为 R 的球与正三棱柱的各个面都相切,则球与正三棱柱的体积比为()A.4 327 B.2 327 C.33 D.36 B【解析】球的半径为 R,设三棱柱的高为 h,底面边长为 a,分析知:三棱柱底面三角形的内切圆与球的大圆大小相同,三棱柱的高与球的直径等长,即

15、 h2R,a2 3R,则三棱柱的体积为 V 34(2 3R)22R6 3R3,故球与三棱柱体积比为43R36 3R32 327.第17讲 要点热点探究 热点链接 12 平面图形的折叠与几何体的展开问题折叠问题是立体几何的一个重要问题,是立体几何与平面几何问题转化的集中体现在近年来全国各地的高考试题中,平面图形的折叠问题渐渐成为考查的热点解决折叠问题时,要根据原来平面图形的特征,尤其是其中的点、线之间的关系,把折叠后图形补成一个常见的几何体,然后将原来不变的数量关系移植到新的图形中,再将变化了的数量关系求出来,最后用立体几何的相关知识解决问题因此解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体

16、图形,并弄清折叠前后哪些量和位置关系发生了变化,哪些量和位置关系没有发生变化第17讲 要点热点探究 例 52011陕西卷 如图 174,在ABC 中,ABC60,BAC90,AD 是 BC 上的高,沿 AD 把ABD 折起,使BDC90.图 174(1)证明:平面 ADB平面 BDC;(2)设 E 为 BC 的中点,求AE 与DB 夹角的余弦值【分析】确定图形在折起前后的不变的关系,如一些角的大小不变,线段长度不变,线线关系不变,再由面面垂直的判定定理进行推理证明第17讲 要点热点探究【解答】(1)折起前 AD 是 BC 边上的高,当ABD 折起后,ADDC,ADDB.又 DBDCD,AD平面

17、 BDC,AD平面 ABD,平面 ABD平面 BDC.(2)由BDC90及(1)知 DA,DB,DC 两两垂直,不妨设|DB|1,以 D 为坐标原点,以DB,DC,DA 所在直线为 x,y,z 轴建立如图 175 所示的空间直角坐标系,易得 D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,3),E12,32,0.AE 12,32,3,DB(1,0,0),AE 与DB 夹角的余弦值为 cosAE,DB AE DB|AE|DB|121224 2222.第17讲 要点热点探究 图 175【点评】本题以折叠问题为背景,考查面面垂直分析问题时,主要思路是看清折叠前哪些量具有垂直关系,折

18、叠后,这些垂直关系还是否保留,这是证明折叠问题中垂直关系的重要依据第17讲 要点热点探究 如图 176,正ABC 的边长为 4,CD 是 AB 边上的高,E,F 分别是 AC 和 BC 边的中点,现将ABC 沿 CD 翻折成直二面角 ADCB.(1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由;(2)求二面角 EDFC 的余弦值;(3)在线段 BC 上是否存在一点 P,使 APDE?证明你的结论图 176第17讲 要点热点探究【解答】(1)在ABC 中,由 E、F 分别是 AC、BC 中点,得 EFAB,又 AB平面 DEF,EF平面 DEF.AB平面 DEF.(2)ADCD,BD

19、CD,ADB 是二面角 ACDB 的平面角,ADBD,AD平面 BCD,取 CD 的中点 M,这时 EMAD,EM平面 BCD.过 M 作 MNDF 于点 N,连接 EN,则 ENDF,MNE 是二面角 EDFC 的平面角在 RtEMN 中,EM1,MN 32,EN 72,cosMNE 217.(3)在线段 BC 上存在点 P,使 APDE.证明如下:在线段 BC 上取点 P.使 BP13BC,过 P 作 PQCD 于点 Q,PQ平面 ACD,又 DE平面 ACD,PQDE.DQ13DC2 33,则在 RtADQ 中,DAQ30,AQDE,又 AQPQQ,ED平面 APQ,又 AP平面APQ,

20、DEAP.规律技巧提炼第17讲 规律技巧提炼 1正方体中的重要结论:正方体的棱长为 a.体对角线长为 3a,面对角线长为 2a;体对角线与各个面成的角相等,正弦值为 33;体对角线与各条棱成的角相等,余弦值为 33;相对面上互相异面的面对角线所成角为 90;相邻面上互相异面的面对角线所成角为 60;相对面上互相异面的面对角线的距离为 a;相邻面上互相异面的面对角线的距离为 33 a;若一个正四面体的四个顶点恰好为一个正方体的四个顶点,则正方体的面对角线成为正四面体的棱;正方体的面对角线形成的平面 ABC 和 DEF 平行,且垂直并三等分正方体的对角线 GH;连接正方体的共顶点的三条棱上的三点的

21、三角形为锐角三角形 第17讲 规律技巧提炼 2球与其他几何体的接切问题(1)球与正方体接切(球的半径为 R,正方体的棱长为 a)球与正方体的顶点接(正方体为球的内接正方体):2R 3a;球与正方体的面切(球为正方体的内切球):2Ra;球与正方体的棱切:2R 2a.(2)球与长方体接切(球的半径为 R,长方体的棱长为 a、b、c)球与长方体的顶点接(长方体为球的内接长方体):2R a2b2c2.(3)球与正四面体接切(球的半径为 R,正四面体的棱长为 a)球与正四面体的顶点接(正四面体为球的内接正四面体):R 64 a;球与正四面体的面切(球为正四面体的内切球):R 612a;球与正四面体的棱切

22、:R 24 a.(4)球与直四面体接切(球的半径为 R,直四面体的共顶点的互相垂直的三条棱的长为 a、b、c,有一个顶点处的三条棱互相垂直的四面体即为直四面体)球与直四面体的顶点接(直四面体为球的内接直四面体):2R a2b2c2.第17讲 教师备用例题 教师备用例题备选理由:所选的两道题都是立体几何中的探究性问题,可以作为例 5 的进一步延伸,通过例题的讲解,培养学生求解立体几何探究性问题的能力第17讲 教师备用例题 例 1 如图所示,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,ABBB1,AC1平面A1BD,D 为 AC 的中点(1)求证:B1C1平面 ABB1A1;(2)在线段 CC1 上是否存

23、在一点 E,使得直线 A1E 与平面 A1BD 所成的角的正弦值为 33,若存在,试确定 E 的位置,并判断平面 A1BD 与平面BDE 是否垂直?若不存在,请说明理由第17讲 教师备用例题【解答】(1)证明:连接 AB1,ABB1B,四边形 ABB1A1为正方形,A1BAB1.又AC1面 A1BD,AC1A1B,A1B面 AB1C1,A1BB1C1.又在直三棱柱 ABCA1B1C1中,BB1B1C1,B1C1平面 ABB1A1.(2)假设在线段 CC1上存在点 E,使得直线 A1E 与平面 A1BD 所成的角的正弦值为 33,设 ABBB12,CEx,过点 E 作 EFAC1交直线 A1D

24、于 F,则 EF面A1BD,所以EA1F 就是直线 A1E 与平面 A1BD 所成的角,所以 sinEA1F EFA1E,CC1面 ABC,AC1BD,ACBD,又 D 是 AC 中点,BCBA2,从而计算得 EF 13(x2),A1E 82x2,又 sinEA1F 33,所以得 x1,即E 是 C1C 的中点D、E 分别为 AC、C1C 的中点,DEAC1.AC1平面 A1BD,DE平面 A1BD.又DE平面 BDE,平面 A1BD平面 BDE.第17讲 教师备用例题 例 2 如图,已知平行四边形 ABCD 中,BC2,BDCD,四边形 ADEF为正方形,平面 ADEF平面 ABCD,G,H

25、 分别是 DF,BE 的中点(1)求证:GH平面 CDE;(2)记 CDx,V(x)表示四棱锥 FABCD 的体积求 V(x)的表达式;当 V(x)取得最大值时,求平面 ECF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值第17讲 教师备用例题【解答】(1)证法 1:EFAD,ADBC,EFBC 且 EFADBC.四边形 EFBC 是平行四边形,H 为 FC 的中点,又G 是 FD 的中点,HGCD,HG平面 CDE,CD平面 CDE,GH平面 CDE.证法 2:连接 EA,四边形 ADEF 是正方形,G 是 AE 的中点,在EAB 中,GHAB.又ABCD,GHCD.HG平面 CDE,CD平面 C

26、DE,GH平面 CDE.(2)平面 ADEF平面 ABCD,交线为 AD 且 FAAD,FA平面ABCD.BDCD,BC2,CDx,FA2,BD 4x2(0 x2)SABCDCDBDx 4x2,V(x)13SABCDFA23x 4x2(0 x2)要使 V(x)取得最大值,只需 x 4x2 x24x2(0 x2)取得最大值,x2(4x2)x24x2224,当且仅当 x24x2,即 x 2时 V(x)取得最大值第17讲 教师备用例题 在平面 ABCD 内过点 D 作 DMBC 于 M,连接 EM,BCED,BC平面 EMD,BCEM,EMD 是平面 ECF 与平面 ABCD 所成的二面角的平面角当 V(x)取得最大值时,CD 2,DB 2,DM12BC1,EM ED2DM2 5.sinEMDEDEM2 55.即平面 ECF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为 55.

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