1、第20讲 概率与统计 第20讲 概率与统计 主干知识整合第20讲 主干知识整合 1概率主要包括等可能性事件的概率、互斥事件的概率和相互独立事件的概率其中等可能性事件的概率与排列、组合的联系非常密切，其定义本身也就是其计算方法 P(A)mn，其中 n 和 m 的求解一般要借助排列、组合数公式，解决这类概率问题的关键首先是判断所给问题是否为等可能性事件，然后再进行计算互斥事件和相互独立事件的概率一般是综合在一起进行考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解2在概率求解的问题中，一方面要善于将复杂
2、事件分解为比较简单的事件，对照相关的概率类型，利用相关公式计算；另一方面要充分利用对立事件的概率性质将问题进行转化，尤其在含有“至少”“至多”等词语的问题中要善于运用这一办法 第20讲 主干知识整合 3离散型随机变量的期望和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容解决期望和方差问题，都离不开随机变量的分布列随机变量的分布列有两个重要参数：各个取值和相应的概率值，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用4抽样方法注意有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种这三种抽样方法各自适用于不同特点的总体，它们之间既有区别又有联系，但不论是哪种抽样方法，在整个抽样过程中，每一个个体被抽到的概率都是相
3、等的，都等于样本容量和总体容量的比值此外还要注意分层抽样中有关数值的计算频率分布直方图中每一个小矩形的面积等于数据落在相应区间上的概率，所以小矩形的面积之和等于 1.5正态分布也是日常生活中一种常见的分布，要了解正态密度曲线的特征，会进行非标准正态分布和标准正态分布之间的转化，能够进行有关的数值计算正态分布图的对称性质会为解题带来方便，要熟记并能灵活应用 要点热点探究第20讲 要点热点探究 探究点一 基本事件概率的计算方法例 1 2011陕西卷 甲、乙两人一起去游“2011 西安世园会”，他们约定，各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览，每个景点参观1 小时，则最后一小时他们同
4、在一个景点的概率是()A.136 B.19C.536D.16第20讲 要点热点探究 【分析】分别求出甲、乙两人最后游览一个景点的选法和两人最后选同一个景点的选法，再用等可能事件求概率大小D【解析】对本题我们只看甲、乙二人游览的最后一个景点，最后一个景点的选法有 C16C1636(种)，若两个人最后选同一个景点共有C166(种)选法，所以最后一小时他们在同一个景点游览的概率为 PC16C16C1616.【点评】本题考查等可能性事件的概率计算，求解等可能性事件概率的一般步骤是：确定随机事件中等可能性的基本事件是什么；计算随机事件中所有基本事件的可能性结果数 n；计算事件 A 中包含的基本事件个数
5、m；利用定义计算事件 A的概率，即 P(A)mn.第20讲 要点热点探究 某校 A 班有学生 40 名，其中男生有 24 名，B 班有学生 50 名，其中女生 30 名现从 A、B 两班各找一名学生进行问卷调查，则找出的学生是一男一女的概率为_ 1325【解析】找出一男一女是 A 班男生、B 班女生的概率为3535 925；是 B 班男生、A 班女生的概率为2525 425.这两个事件是互斥事件，故所求概率为 925 4251325.第20讲 要点热点探究 探究点二 抽样方法、频率分布直方图例 2 2011天津卷 一支田径队有男运动员 48 人，女运动员 36人，若用分层抽样的方法从该队的全体
6、运动员中抽取一个容量为 21 的样本，则抽取男运动员的人数为_(2)2011浙江卷 某中学为了解学生数学课程的学习情况，在 3000名学生中随机抽取 200 名，并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图 201)根据频率分布直方图推测，推测这 3000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是_第20讲 要点热点探究 图 201 第20讲 要点热点探究【分析】第(1)题是分层抽样问题，首先求出抽样比，再计算应抽取的人数；第(2)题先计算小于 60 分的频率，再计算 3000 人中成绩小于 60 分所占的人数(1)12(2)600【解析】(1)设抽取
7、男运动员人数为 n，则 n48214836，解之得 n12.(2)设满足所求条件的学生人数为 x 名，由频率分布直方图可知200 名学生中 60 分以下学生为 200(0.0020.0060.012)1040(名)又 x3000 40200，即 x600.【点评】抽样方法、用样本估计总体、频率分布直方图等是高考考查的一类常见题型(1)对于简单随机抽样问题，主要是掌握一个性质：从个体数为 N 的总体中抽取一个容量为 n 的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽取到的概率相等，都等于nN.(2)对于频率分布直方图问题，理解频率分布直方图中的组距是解题的关键，数据落在各小组内的频率用长方形的面积表示，
8、各小长方形的面积总和为 1.第20讲 要点热点探究 2011湖北卷 有一个容量为 200 的样本，其频率分布直方图如图202 所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间10,12)内的频数为()图 202A18 B36 C54 D72 B【解析】因为落在2,10内的频率为0.020.050.150.1920.82，所以落在10,12)内的频率为 10.820.18，故落在10,12)内的频数为 2000.1836.第20讲 要点热点探究 探究点三 离散型随机变量的分布列与期望例 3 2011重庆卷 某市公租房的房源位于 A、B、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申
9、请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任 4 位申请人中：(1)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数 的分布列与期望【分析】第(1)问是等可能性事件的概率，只需求出所有可能的申请方式数与恰有 2 人申请 A片区房源的方式数即可顺利求解；也可以处理为独立重复试验，因为由条件知每位申请人申请A 片区房源的概率为13，将事件处理为 4 次重复试验，然后利用重复试验的概率公式可求解第(2)问首先确定 的可能取值，然后求出相应的概率并列出相应的分布列，进而利用期望的计算公式求解第20讲 要点热点探究【解答】这是等可能性事件的概率计算问题(1)解法一：所有可能的申请方式
10、有 34 种，恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式有 C2422 种，从而恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为C242234 827.解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是 4 次独立重复试验，记“申请 A 片区房源”为事件 A，则 P(A)13.从而，由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知，恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为 P4(2)C24132232 827.(2)的所有可能值为 1,2,3.又 P(1)334127，P(2)C23C12C34C24C22341427或P2C23242341427，第20讲 要点热点探究 P(3)C13C24C12344
11、9或P3C24A3334 49.综上知，有分布列123P127142749从而有 E1 127214273496527.【点评】高考中理科对概率与统计的考查一般设计两问或三问，前问求概率，最后问求分布列和数学期望解答策略：搞清各类事件类型，并沟通所求事件与已知事件的联系；涉及“至多”“至少”问题考虑是否可通过计算对立事件的概率解决问题；求期望必须先要建立概率的分布列，同时也要注意识别特殊的分布，如二项分布与几何分布等第20讲 要点热点探究 在高中“自选模块”考试中，某考场的每位同学都选了一道数学题，第一小组选数学史与不等式选讲的有 1 人，选矩阵变换和坐标系与参数方程的有 5 人，第二小组选数
12、学史与不等式选讲的有 2 人，选矩阵变换和坐标系与参数方程的有 4 人，现从第一、第二两小组各任选 2 人分析得分情况(1)求选出的 4 人均为选矩阵变换和坐标系与参数方程的概率；(2)设 为选出的 4 个人中选数学史与不等式选讲的人数，求 的分布列和数学期望第20讲 要点热点探究 【解答】(1)设“从第一小组选出的 2 人均选矩阵变换和坐标系与参数方程”为事件 A，“从第二小组选出的 2 人均选矩阵变换和坐标系与参数方程”为事件 B.由于事件 A、B 相互独立，P(A)C25C2623，P(B)C24C2625，于是，选出的 4 人均为选矩阵变换和坐标系与参数方程的概率为 P(AB)2325
13、 415.第20讲 要点热点探究(2)的所有可能取值为 0,1,2,3，则P(0)415，P(1)C25C26C12C14C26 C15C26C24C262245，P(3)C15C26 1C26 145，P(2)1P(0)P(1)P(3)29.故 的分布列为：0123P415224529145所以 的数学期望 E0 415122452293 1451.第20讲 要点热点探究 探究点四 正态分布例42011湖北卷 已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则 P(02)()A0.6B0.4C0.3D0.2【分析】由随机变量 N(2，2)知 2，即正态分布曲线关于直线 x2 对称，从
14、而可利用数形结合求解C【解析】因为 P4 0.2.由图象的对称性知，P4 0.2，所以 P04 1P4 0.6.所以 P0212P04 0.3.第20讲 要点热点探究【点评】本题考查正态分布的基本应用，这类题型是高考考查正态分布的常见题型正态曲线关于直线 x 对称，从而在关于直线 x 对称的区间上概率相等，在解相关概率问题时应结合正态曲线的对称性求解，更为直观第20讲 要点热点探究 某班有 50 名学生，一次考试后数学成绩(N)服从正态分布 N(100,102)，已知 P(90100)0.3，估计该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为_.10 【解 析】由 题 意 知，P(110)12P9
15、010020.2，该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为 0.25010.规律技巧提炼第20讲 规律技巧提炼 1n 次独立重复试验中事件 A(发生的概率为 p)恰好发生 k 次可以看作是 Ckn个互斥事件的和，其中每一个事件都可以看作是 k 个 A事件与 nk 个 A事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是 pk(1p)nk.因此 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)Cknpk(1p)nk.2求离散型随机变量分布列，应按下述三个步骤进行：(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；(2)利用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率；(3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证
