1、第5讲 函数、导数及不等式的综合应用 第5讲 函数、导数及 不等式的综合应用 主干知识整合第5讲 主干知识整合 1利用导数研究函数问题(1)利用导数求函数单调性的步骤：求 f(x)；求方程 f(x)0 的根，设根为 x1，x2，xn；x1，x2，xn 将给定的区间分成 n1 个子区间，再在每一个子区间内判断 f(x)的符号，由此确定每一个子区间的单调性(2)利用导数研究函数的极值时，一般应先考虑函数的定义域，然后求出函数的导数，得到导数为零的点，这些点将整个定义域分为若干个区间，然后将 x、f(x)、f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中，通过表格可以清楚地判断出在哪个点处是极值，是极大
2、值还是极小值 第5讲 主干知识整合 2利用导数解决不等式问题(1)不等式恒成立：不等式恒成立问题中蕴含着转化、数形结合、分类讨论、函数与方程、有限与无限等丰富的数学思想方法，越来越受到高考命题者的青睐，这从近年来的高考试题中不难看出不等式恒成立问题的基本思路就是转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题，导数正是研究这个问题的有力工具(2)比较两个函数的大小：这类问题开始时并不知道两个函数之间的大小关系，一般思路是用作差比较的方法解决，两个函数作差后还是一个函数，通过研究这个函数值域与零的大小确定所比较的两个函数的大小 第5讲 主干知识整合 (3)证明不等式：对于只含有一个变量的不等式都可以通过
3、构造函数，然后利用函数的单调性和极值解决3利用导数研究实际生活问题(1)用导数解决实际问题的一般步骤：建立函数关系式；利用导数求函数的最值；根据求解结果对实际问题作出解释即建模、解模、解释实际问题(2)有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与端点比较，就可以知道这个极值点就是最大(小)值点 要点热点探究第5讲 要点热点探究 探究点一 函数与导数的综合例 1 2011江苏卷 已知 a，b 是实数，函数 f(x)x3ax，g(x)x2bx,f(x)和 g(x)分别是 f(x)和 g(x)的导函数，若 f(x)g(x)0
4、 在区间 I 上恒成立，则称 f(x)和 g(x)在区间 I 上单调性一致(1)设 a0，若 f(x)和 g(x)在区间1，)上单调性一致，求 b 的取值范围；(2)设 a0，故 3x2a0，进而 2xb0，即 b2x 在区间1，)上恒成立，所以 b2.因此 b 的取值范围是2，)(2)令 f(x)0，解得 xa3.若 b0，由 a0 得 0(a，b)又因为 f(0)g(0)ab0，所以函数 f(x)和 g(x)在(a，b)上不是单调性一致的因此 b0.现设 b0.当 x(，0)时，g(x)0.因此当 x，a3 时，f(x)g(x)0.故由题设得 aa3且 ba3，从而13a0，故函数 f(x
5、)和 g(x)在13，0 上单调性一致因此|ab|的最大值为13.【点评】本题考查函数与导数的综合应用，含有参数的函数与导数类综合试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数的值，基本解题思想是方程思想；二是确定参数的范围(或取值)使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程思想、分类讨论思想本题中单调性一致问题本质上反映了函数的单调性与定区间上的求解策略在解综合性的函数题中的应用 第5讲 要点热点探究 探究点二 函数与不等式的综合例 2 已知函数 f(x)满足 2f(x2)f(x)，当 x(0,2)时 f(x)lnxaxa12，当 x(4，2)时 f(x)的最大值为4.(1)求
6、 x(0,2)时函数 f(x)的解析式；(2)是否存在实数 b 使得不等式 xbfxx x对于 x(0,1)(1,2)恒成立？若存在，求出实数 b 的取值集合，若不存在，说明理由 第5讲 要点热点探究【解答】(1)由已知得：f(x)2f(x2)4f(x4)，x(0,2)时 f(x)lnxaxa12，设 x(4，2)，则 x4(0,2)，f(x4)ln(x4)a(x4)，x(4，2)时，f(x)4f(x4)4ln(x4)4a(x4)，f(x)4x44a4ax41ax4，a12，41a42，当 x4，1a4 时，f(x)0，f(x)为增函数，当 x1a4，2时，f(x)0，f(x)为减函数，f(x
7、)maxf1a4 4ln1a 4a1a 4，a1.即当 x(0,2)时，f(x)lnxx.第5讲 要点热点探究(2)由(1)可得：x(0,1)(1,2)时，不等式 xbfxx x恒成立，即xblnx x恒成立，当 x(0,1)时，xblnx xbx xlnx，令 g(x)x xlnx，x(0,1)，则 g(x)1 lnx2 x 1x2 xlnx22 x，令 h(x)2 xlnx2，则当 x(0,1)时，h(x)1x1x x1x0，h(x)在(0,1)上单调递减，h(x)h(1)0，g(x)hx2 x0,g(x)在(0,1)上单调递增，g(x)g(1)1，故此时只需 b1 即可；第5讲 要点热点
8、探究 当 x(1,2)时，xblnx xbx xlnx，令 g(x)x xlnx，x(1,2)，则 g(x)1 lnx2 x 1x2 xlnx22 x，令 h(x)2 xlnx2，则当 x(1,2)时，h(x)1x1xx1x0，h(x)在(1,2)上单调递增，h(x)h(1)0，g(x)hx2 x0,g(x)在(1,2)上单调递增，g(x)g(1)1，故此时只需 b1 即可综上所述：b1，因此满足题中条件的 b 的取值集合为1第5讲 要点热点探究 探究点三 导数在实际生活中的应用例 32011山东卷 某企业拟建造如图 51 所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端
9、均为半球形，按照设计要求容器的容积为803 立方米，且 l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c(c3)千元设该容器的建造费用为 y 千元(1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的 r.图 51第5讲 要点热点探究【分析】首先通过给出的几何模型，建立关于建设费用 y 与半球形的半径 r 的函数关系式，然后再利用导数求解这个函数的最小值，得到对应的该容器建设费用最小时的半径 r 的值【解答】(1)设容器的容积为 V，由题意知 Vr2l43r3，又 V803，故 lV4
10、3r3r2803r243r4320r2r.由于 l2r，因此 0r2.所以建造费用 y2rl34r2c2r4320r2r 34r2c，因此 y4(c2)r2160r，0r2.(2)由(1)得 y8(c2)r160r2 8c2r2r3 20c2，03，所以 c20，当r3 20c20 时，r320c2.令320c2m，则 m0，所以 y8c2r2(rm)(r2rmm2)当 0m92时，当 rm 时，y0；当 r(0，m)时，y0.所以 rm 是函数 y 的极小值点，也是最小值点第5讲 要点热点探究 当 m2 即 3c92时，当 r(0,2时，y0，函数单调递减，所以 r2 是函数 y 的最小值点
11、综上所述，当 392时，建造费用最小时 r320c2.【点评】本题以实际问题为背景考查球与圆柱的体积公式、表面积公式，不等式的解法及利用导数求最值等知识，立体几何知识是建立函数模型的基础，导数知识是解决函数最值的工具最值函数的应用题，写出目标函数利用导数求最值是首选的方法，因此要认真审题，分析各个量的关系，列出函数解析式 yf(x)，然后利用导数求函数 f(x)的最值，最后根据数学问题的答案再来解决实际问题中的优化问题第5讲 要点热点探究 热点链接 3 构造函数证明不等式问题利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值问题应用这种方法的难点是如何根据不等
12、式的结构特点或者根据题目目标的要求，构造出相应函数关系式如何构造函数关系式，破解的基本思路是从函数的角度分析和理解要证明的不等式的结构特点，然后去构造函数式，或者从不等式证明的方向上去构造函数式，使所构造出的函数是不等式所需要的最佳函数第5讲 要点热点探究 例 42011辽宁卷 已知函数 f(x)lnxax2(2a)x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)设 a0，证明：当 0 x1a时，f1ax f1ax；(3)若函数 yf(x)的图象与 x 轴交于 A，B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x0，证明 f(x0)0.【分析】(1)讨论函数的单调性，要对字母进行分类讨论；(2)对不等式的证明
13、，可考虑构造函数法；(3)证明 f(x0)0，即证明 f(x)在 x0 x1x22所在的区间内单调递减第5讲 要点热点探究【解答】(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1x2ax(2a)2x1ax1x.若 a0，则 f(x)0，所以 f(x)在(0，)单调增加若 a0，则由 f(x)0 得 x1a，且当 x0，1a 时，f(x)0，当 x1a时，f(x)0.所以 f(x)在0，1a 单调增加，在1a，单调减少(2)设函数 g(x)f1ax f1ax，则 g(x)ln(1ax)ln(1ax)2ax，g(x)a1axa1ax2a 2a3x21a2x2.当 0 x1a时，g(x)0，而 g(0)
14、0，所以 g(x)0.故当 0 x1a时，f1ax f1ax.第5讲 要点热点探究(3)由(1)可得，当 a0 时，函数 yf(x)的图象与 x 轴至多有一个交点，故 a0，从而 f(x)的最大值为 f1a，且 f1a 0.不妨设 A(x1,0)，B(x2,0)，0 x1x2，则 0 x11af(x1)0.从而 x22ax1，于是 x0 x1x221a.由(1)知，f(x0)0.【点评】利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面，成为高考的一个新热点一般地，证明 f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数 F(x)f(x)g(x)，如果 F(x)0，则 F(x)在(a，b)上是减函数，同
15、时若 F(a)0，由减函数的性质可知，x(a，b)时，有 F(x)0，即证明了 f(x)g(x)证明 f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数 F(x)f(x)g(x)，如果 F(x)0，则 F(x)在(a，b)上是增函数，同时若 F(a)0，由增函数的性质可知，x(a，b)时，有 F(x)0，即证明了 f(x)g(x)第5讲 要点热点探究 已知函数 f(x)xlnx.(1)求 f(x)的最小值；(2)若对所有 x1 都有 f(x)ax1，求实数 a 的取值范围【解答】(1)f(x)的定义域为(0，),f(x)的导数 f(x)1lnx.令 f(x)0，解得 x1e；令 f(x)0，解得 0
16、 x1e.从而 f(x)在0，1e 上单调递减，在1e，上单调递增.所以，当 x1e时，f(x)取得最小值1e.(2)解法一：令 g(x)f(x)(ax1)，则 g(x)f(x)a1alnx，若 a1，当 x1 时，g(x)1alnx1a0，故g(x)在(1，)上为增函数，所以，x1 时，g(x)g(1)1a0，即 f(x)ax1.若 a1，方程 g(x)0 的根为 x0ea1，第5讲 要点热点探究 此时，若 x(1，x0)，则 g(x)0，故 g(x)在该区间为减函数所以 x(1，x0)时，g(x)g(1)1a0，即 f(x)ax1，与题设 f(x)ax1 相矛盾综上，满足条件的 a 的取值
17、范围是(，1 解法二：依题意，得 f(x)ax1 在1，)上恒成立，即不等式 alnx1x对于 x1，)恒成立.令 g(x)lnx1x，则 g(x)1x 1x21x11x.当 x1 时，因为 g(x)1x11x 0，故 g(x)是(1，)上的增函数，所以 g(x)的最小值是 g(1)1，所以 a1.所以 a 的取值范围是(，1规律技巧提炼第5讲 规律技巧提炼 1求解不等式恒成立的方法求解含参数的不等式 F(a，x)0(或 F(a，x)0)(xA)的一般步骤：(1)分离参数：将题目中的参数和自变量 x 分离开来，分别放在不等式的左右两边，即 af(x)(或 af(x)(xA)；(2)求函数最值：
18、记 tf(x)(xA)，求函数 tf(x)在 xA 上的最值；(3)极端原理：af(x)恒成立等价于 af(x)max；af(x)等价于af(x)min.第5讲 规律技巧提炼 注：上述方法中如果函数 f(x)不存在最值，可将上面的最大值替换为函数值域的右端点，最小值替换为函数值域的左端点2用导数证明不等式的方法证明不等式 f(x)g(x)(xA)的一般步骤：(1)构造函数 F(x)f(x)g(x)(xA)；(2)求 F(x)的最小值 m；(3)若 m0，则所证不等式成立第5讲 教师备用例题 教师备用例题备选理由：作为导数的综合应用，高考在设计命题时，体现了在知识的交汇处设置命题的思想，因此，二
19、轮复习教学中，还可以从多角度选择例题，培养学生对导数知识的综合应用能力下面备选的例 1 是导数在数列中的应用，例 2 是导数在解析几何中的应用，它们的共同特点是考查导数的几何意义，突出从导数的角度研究曲线的切线第5讲 教师备用例题 例 1 已知函数 f(x)x2bx 的图象在点 A(1，f(1)处的切线 l与直线 3xy20 平行，若数列1fn 的前 n 项和为 Sn，则 S2010的值为()A.20082009 B.20092010 C.20102011 D.20112012【解析】C 对 f(x)求导，得 f(x)2xb，由 f(1)2b3，得 b1.于是 1fn1n2n1nn11n 1n
20、1，S2010 1f1 1f2 1f31f20101121213 12010 120111 1201120102011.第5讲 教师备用例题 例 2 已知直线 l：ykx2 与抛物线 C：x22py(p0)交于 A，B 两点，O 为坐标原点，OA OB(4，12)(1)求直线 l 和抛物线 C 的方程；(2)抛物线上一动点 P 从 A 到 B 运动时，求ABP 面积的最大值第5讲 教师备用例题【解答】(1)由ykx2，x22py)得 x22pkx4p0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22pk，y1y2k(x1x2)42pk24.OA OB(x1x2，y1y2)(2pk，2pk24)(4，12)，2pk4，2pk2412，解得p1，k2.于是，直线 l 的方程为 y2x2，抛物线 C 的方程为 x22y.第5讲 教师备用例题(2)设 P(x0，y0)，依题意知，抛物线过点 P 的切线与 l 平行时，ABP 的面积最大yx，x02，求得 x02，y012x202，即 P(2，2)此时，点 P 到直线 l 的距离 d|2222|2212 454 55，由y2x2，x22y，)得 x24x40，|AB|1k2 x1x224x1x2 122 4244 4 10，ABP 面积的最大值为4 104 5528 2.
