1、变量间的关系与统计案例一、选择题1.设(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是()Ax和y的相关系数为直线l的斜率Bx和y的相关系数在0到1之间C当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D直线l过点(，)解析：回归直线过样本中心(，)答案：D2通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2算得，K27.8.附表：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828
2、参照附表，得到的正确结论是()A有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”解析：根据独立性检验的思想方法，正确选项为A.答案：A3一位母亲记录了自己儿子39岁的身高数据(略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为7.19x73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是()A身高一定是145.83 cmB身高在145.83 cm以上C身高在145.83 cm左右D身高在145.83 cm以
3、下解析：用回归模型7.19x73.93，只能作预测，其结果不一定是一个确定值答案：C4如图5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是()A相关系数r变大B残差平方和变大C相关指数R2变大D解释变量x与预报变量y的相关性变强解析：相关系数r越接近1，R2越大，残差平方和越小，拟合效果越好答案：B5某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是()A.10x200 B.10x200C.10x200 D.10x200解析：由图象可知，选项B、D为正相关，选项C不符合实际意义，只有A项符合要求答案：A 6下列四个命题正确的是()线性相关系数r越大，两个变量的线性相
4、关性越强；反之，线性相关性越弱；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好；随机误差e是衡量预报精确度的一个量，它满足E(e)0.A BC D解析：线性相关系数r满足|r|1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱，故错误；相关指数是度量模型拟合效果的一种指标相关指数越大，模型拟合效果越好故正确答案：B二、填空题7调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：0.254x0.321.由回归方程
5、可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元解析：以x1代x，得0.254(x1)0.321，与0.254x0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元答案：0.2548某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_cm.解析：设父亲身高为x cm，儿子身高为y cm，则x173170176y170176182173，176，1，17611733，x3，当x182时，185.答案：1859第二十届世界石油大会将于2011年12月4日8日在卡塔尔首都
6、多哈举行，能源问题已经成为全球关注的焦点某工厂经过技术改造后，降低了能源消耗，经统计该厂某种产品的产量x (单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)有如下几组样本数据：x3456y2.5344.5根据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7.已知该产品的年产量为10吨，则该工厂每年大约消耗的汽油为_吨解析：由题知，4.5，3.5，故样本数据的中心点为A(4.5,3.5)设回归方程为y0.7xb，将中心点坐标代入得：3.50.74.5b，解得b0.35，故回归方程为y0.7x0.35，所以当x10时，y0.7100.357.35，即该工厂每年大约消耗
7、的汽油为7.35吨答案：7.35三、解答题10已知x，y的一组数据如下表：x13678y12345(1)从x，y中各取一个数，求xy10的概率；(2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为yx1与yx，试利用“最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好解：(1)从x，y中各取一个数组成数对(x，y)，共有25对，其中满足xy10的有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(8,2)，(8,3)，(8,4)，(8,5)，共9对故所求概率P.(2)用yx1作为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为S1(1)2(22)2(33)2(4)2(5)2.用y
8、x作为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为S2(11)2(22)2(3)2(44)2(5)2.S2s，该生的物理成绩更稳定(2)由于x 与y之间具有线性相关关系，0.5，1000.510050，线性回归方程为0.5x50.当y115时，x130.建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，这将有助于物理成绩的进一步提高12某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)甲(50岁以下)乙(50岁以上)15386784532023456789015676
9、237964528158(1)根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯；(2)根据以上数据完成下列22的列联表：主食蔬菜主食肉类合计50岁以下50岁以上合计(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析附：K2.P(K2k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)在30位亲属中，50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主(2)22的列联表如下：主食蔬菜主食肉类合计50岁以下481250岁以上16218合计201030(3)因为K2106.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关
