1、考纲要求1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系。2能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。3理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。4在具体环境中，了解全集与空集的含义。5理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。6理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。7能使用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算。考情分析1.重点考查集合间的基本关系，集合的运算。2常与函数、方程、不等式、解析几何等知识结合考查。3题型以选择题为主，属低档题。小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)集合x2x,0中实数 x 可取
2、任意值。()(2)任何集合都至少有两个子集。()(3)集合x|y x1与集合y|y x1是同一个集合。()(4)若 A0,1，B(x，y)|yx1，则 AB。()解析：(1)错误。由元素的互异性知 x2x0，即 x0 且 x1。(2)错误。只有一个子集。(3)错误。x|y x1x|x1，y|y x1y|y0。(4)错误。集合 A 是数集，集合 B 是点集。2若集合 AxN|x 10，a2 2，则下面结论中正确的是()AaA BaACaADaA解析：因为 2 2不是整数，所以 aA。答案：D3已知集合 Ax|x 是平行四边形，Bx|x 是矩形，Cx|x是正方形，Dx|x 是菱形，则()AAB B
3、CBCDC DAD解析：因为平行四边形包含矩形、正方形、菱形，矩形又包含正方形，故选 B。答案：B4已知全集 U0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合 A0,1,3,5,8，集合B2,4,5,6,8，则(UA)(UB)()A5,8 B7,9C0,1,3 D2,4,6解析：UA2,4,6,7,9，UB0,1,3,7,9，(UA)(UB)7,9，故选 B。答案：B5若 Px|x1，Qx|x1则()APQBQPCRPQ DQRP解析：由题意知RPx|x1，故RPQ，选 C。答案：C知识重温一、必记 3个知识点1元素与集合(1)集合中元素的特性：_、_、无序性。(2)元素与集合的关系：若 a 属
4、于 A，记作_，若 b 不属于A，记作_。(3)集合的表示方法：_、_、图示法。(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号_确定性互异性aAbA列举法描述法NN*(或 N)ZQR2.集合间的基本关系(1)集合相等：若集合 A 与集合 B 中的所有元素_，则称 A与 B 相等。(2)子集：若集合 A 中_均为集合 B 中的元素，则称 A是 B 的子集，记作 AB 或 BA，_是任何集合的子集。(3)真子集：若集合 A 中任意一个元素均为集合 B 中的元素，且集合 B 中_不是集合 A 的元素，则称 A 是 B 的真子集，记作 AB 或 BA。(4)空集是任何集合的子集
5、，是任何_集合的真子集。(5)含有 n 个元素的集合的子集个数为_，真子集个数为_，非空真子集个数为_。都相同每一个元素空集至少有一个元素非空2n2n12n23集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为 U，则集合 A 的补集为UA图形表示意义x|_x|21_x|22_xA 或 xBxA 且 xBxU 且 xA二、必明 5个易误点1认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件。2要注意区分元素与集合的从属关系，以及集合与集合的包含关系。3易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身。4运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心。
6、5在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合元素的互异性，否则很可能会因为不满足互异性而导致解题错误。考点一 集合的基本概念【典例 1】(1)已知集合 A0,1,2，则集合 Bxy|xA，yA中元素的个数是()A1 B3C5 D9解析：(1)当 x0，y0,1,2 时，xy0，1，2，当 x1，y0,1,2 时，xy1,0，1，当 x2，y0,1,2 时，xy2,1,0。根据集合中元素的互异性知，集合 B 中的元素为2，1,0,1,2，共 5 个。答案：(1)C(2)若集合 AxR|ax23x20中只有一个元素，则 a()A.92 B.98C0 D0 或98(2)若集合 A 中只有一个元素，则方
7、程 ax23x20 只有一个实根或有两个相等实根。当 a0 时，x23，符合题意，当 a0 时，由(3)28a0 得 a98，所以 a 的值为 0 或98。答案：(2)D悟技法与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集。(2)看这些元素满足什么限制条件。(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性。通一类1本例题(1)中，集合 A 不变，试确定集合 B(x，y)|xA，yA，xyA中元素的个数为_。解析：当 x0 时，y0，当 x1 时，y0,1，当 x2 时，y0,1,2。因此集合 B 中有 6 个元素。答
8、案：62已知集合 Aa2，(a1)2，a23a3，若 1A，则 2015a的值为_。解析：若 a21，即 a1，则(a1)20，a23a31，不满足集合元素的互异性。若(a1)21 即 a2 或 a0。当 a2 时，a20，a23a31，不满足集合元素的互异性；当 a0 时，a22，a23a33，满足题意。若 a23a31，即 a1 或2，由，可知均不满足集合元素的互异性。综上知实数 a 的取值集合为0，则 2015a 的值为 1。答案：1考点二 集合间的基本关系【典例 2】(1)已知集合 Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若 BA，则实数 m 的取值范围是_。(2)已知 Mn，log2n，N
9、1，m，若 MN，则(mn)2 014_。(，41 或 0解析：(1)当 B时，满足 BA，此时有m12m1，即 m2，当 B时，要使 BA，则有m12，m17，m2，解得 2m4。综上知 m4。(2)由 MN 知n1，2nm 或nm，2n1，m0，n1 或m2，n2。(mn)2 0141 或 0。悟技法1根据集合的关系求参数的关键点及注意点(1)根据两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且常要对参数进行讨论。(2)注意点：注意区间端点的取舍。2解决集合相等问题的一般思路若两个集合相等，首
10、先分析某一集合的已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况，然后列方程(组)求解。提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况。通一类3已知集合 Ax|x23x20，xR，Bx|0 x5，xN，则满足条件 ACB 的集合 C 的个数为()A1 B2C3 D4解析：由 x23x20 得 x1 或 x2，故 A1,2由题意知B1,2,3,4，因此满足条件的 C 可为1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4，故选 D。答案：D4已知集合 Ax|log2x2，B(，a)，若 AB，则实数 a的取值范围是(c，)，其中 c_。解析：Ax|log2x2x|0 x4，即 A(0,4，由 A
11、B，B(，a)，且 a 的取值范围是(c，)，可以结合数轴分析得 c4。答案：4考点三 集合的基本运算【典例 3】(1)已知集合 Ax|x1，Bx|x22x0，则 AB()Ax|x0 Bx|x1Cx|1x2 Dx|0 x2(2)已知集合 Mx|xx2，Ny|y4x2，xM，则 MN()Ax|0 x12 Bx|12x1Cx|0 x1 Dx|1x2(3)已知全集为 R，集合 Ax|log2x1，Bx|x10，则 A(RB)()Ax|0 x1 Bx|0 x2Cx|x1 Dx|1x2ABA解析：(1)解不等式：x22x0，得 0 x2，由并集的概念，可得 ABx|x0。(2)因为 Mx|xx2x|0
12、x1，Ny|y4x2，xMy|12y2，所以 MNx|12x1。(3)由 log2x1 可得 0 x2，所以 A(0,2)，由 Bx|x1可得RB(，1)，所以 ARB(0,1)，故选 A。悟技法集合基本运算的求解策略(1)求解思路：一般是先化简集合，再由交、并、补的定义求解。(2)求解原则：一般是先算括号里面的，然后再按运算顺序求解。(3)求解思想：注重数形结合思想的运用，利用好数轴、Venn 图等。通一类5已知 A，B 均为集合 U1,2,3,4,5,6的子集，且 AB3，(UB)A1，(UA)(UB)2,4，则 B(UA)()A1 B3,4C5,6 D3,6解析：依题意及 Venn 图可
13、得 B(UA)5,6，选 C。答案：C6设全集为 R，集合 Ax|x290，Bx|1x5，则 A(RB)()A(3,0)B(3，1)C(3，1 D(3,3)解析：因为 Ax|3x3，RBx|x1 或 x5，所以A(RB)x|3x3x|x1 或 x5x|3x1。答案：C7设全集 U 为实数集 R，Mx|x|2，Nx|x24x30，则图中阴影部分所表示的集合是()Ax|x2Bx|2x2Cx|2x1Dx|1x2解析：根据图象可知阴影部分为 NRM，由 Mx|x|2可得RMx|2x2；由 Nx|x24x30可得 Nx|1x3，所以 NRMx|1x2，故选 D。答案：D考点四 集合的新定义问题【典例 4
14、】设 S 是整数集 Z 的非空子集，如果a，bS，有 abS，则称 S 关于数的乘法是封闭的。若 T，V 是 Z 的两个不相交的非空子集，TVZ，且a，b，cT，有 abcT；x，y，zV，有xyzV，则下列结论恒成立的是()AT，V 中至少有一个关于乘法是封闭的BT，V 中至多有一个关于乘法是封闭的CT，V 中有且只有一个关于乘法是封闭的DT，V 中每一个关于乘法都是封闭的解析：取 Tx|x(，0)，且 xZ，Vx|x(0，)，且 xZ0，可得 T 关于乘法不封闭，V 关于乘法封闭，又取 T奇数，V偶数，可得 T，V 关于乘法均封闭，故排除 B、C、D，选A。答案：A悟技法解决新定义问题应注
15、意的问题(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质。(2)按新定义的要求“照章办事”，逐步分析、验证、运算，使问题得以解决。(3)对于选择题，可以结合选项通过验证、排除、对比、特值等方法解决。通一类8设 S 为实数集 R 的非空子集。若对任意 x、yS，都有 xy，xy，xyS，则称 S 为封闭集。下列命题：集合 Sab 3|a，b 为整数为封闭集；若 S 为封闭集，则一定有 0S；封闭集一定是无限集；若 S 为封闭集，则满足 STR 的任意集合 T 也是封闭集。其中的真命题是_。(写出所有真命题的序号)解析：对于，取 xa1b1 3，ya2b2 3，则 xy(a1a
16、2)(b1b2)3，所以 xyS；又 xy(a1a2)(b1b2)3，所以 xyS；同时 xy(a1a23b1b2)(a1b2a2b1)3，而 a1，b1，a2，b2Z，所以 xyS，故正确；当 xy 时，有 0S，故为真命题；当 S0时，S 为封闭集，故为假命题；对于，若 Sab 3|a，bZ，TS 2，S 为封闭集，但 T 不为封闭集，故为假命题。高考模拟1.(2015课标卷)已知集合 Ax|x3n2，nN，B6,8,10,12,14，则集合 AB 中元素的个数为()A5 B4C3 D2解析：集合 Ax|x3n2，nN，当 n0 时，3n22，当n1 时，3n25，当 n2 时，3n28，
17、当 n3 时，3n211，当 n4 时，3n214，B6,8,10,12,14)，AB 中元素的个数为 2，选 D。答案：D2(2016刑台模拟)已知全集 AxN|x22x30，By|yA，则集合 B 中元素的个数为()A2 B3C4 D5解析：全集 AxN|x22x300,1，By|yA中的元素为集合 A 的子集，所以集合 B 中元素的个数为 224，故选 C。答案：C3(2015陕西卷)设集合 Mx|x2x，Nx|lgx0，则 MN()A0,1 B(0,1C0,1)D(，1解析：由 Mx|x2x0,1，Nx|lgx0(0,1，得 MN0,1(0,10,1，故选 A。答案：A4(2015安徽卷)设全集 U1,2,3,4,5,6，A1,2，B2,3,4，则 A(UB)()A1,2,5,6 B1C2 D1,2,3,4解析：UB1,5,6，A(UB)1,21,5,61，故选B。答案：B5(2015浙江卷)已知集合 Px|x22x3，Qx|2x4，则PQ()A3,4)B(2,3C(1,2)D(1,3解析：Px|x3 或 x1，故 PQx|3x4。答案：A
