1、3.1圆内接四边形课时过关能力提升1.下列说法正确的有()圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角;圆内接四边形的对角相等;圆内接四边形不能是梯形;在圆的内部的四边形叫圆内接四边形.A.0个B.1个C.2个D.3个解析:是圆内接四边形的性质定理的推论,故正确;圆内接四边形的对角互补,但不一定相等,故不正确;内接于圆的梯形是等腰梯形,故圆内接四边形可以是梯形,故不正确;顶点在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形,故不正确.答案:B2.圆内接平行四边形的对角线()A.互相垂直B.互相垂直平分C.互相平分且相等D.相等且平分每组对角解析:圆内接平行四边形必为矩形,故其对角线互相平分且相等.答案:C3.
2、如图所示,四边形ABCD是O的内接四边形,E为AB的延长线上一点,CBE=40,则AOC等于()A.20B.40C.80D.100解析:已知四边形ABCD是O的内接四边形,且CBE=40,由圆内接四边形的性质知ADC=CBE=40,又由圆周角定理知AOC=2ADC=80.答案:C4. 如图所示,四边形ABCD是O的内接四边形,AHCD.如果HAD=30,那么ABC等于()A.90B.120C.135D.150解析:AHCD,AHD=90.HAD=30,ADC=90-HAD=60.又四边形ABCD内接于O,ABC=180-ADC=120.答案:B5.如图所示,四边形ABCD是O的内接四边形,延长
3、AB和DC相交于点P,若PBPD=13,则BCAD的值为_.解析:因为PBC=PDA,P=P,所以PADPCB,故BCAD=PBPD=13.答案:136.已知圆内接四边形ABCD的边长分别是AB=2,BC=6,CD=DA=4,则四边形ABCD的面积等于.解析:四边形ABCD为圆内接四边形,B+D=180.cos B=-cos D.根据余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,AC2=AD2+DC2-2ADDCcos D,AC2=22+62-226cos B=22+62+226cos D,AC2=42+42-244cos D,cos D=-17,sin D=sin B=437.四
4、边形ABCD的面积为12ABBCsin B+12ADDCsin D=83.答案:837.如图所示,已知四边形ABCD为平行四边形,过点A,B的圆与AD,BC分别交于E,F两点.求证:C,D,E,F四点共圆.分析连接EF.由B+AEF=180,B+C=180,可得AEF=C.即四边形EFCD的一个外角等于它的内对角,故C,D,E,F四点共圆.证明如图所示,连接EF.ABCD为平行四边形,B+C=180.四边形ABFE内接于圆,B+AEF=180.AEF=C.C,D,E,F四点共圆.8.如图所示,已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H,ABC=60,点F在AC上,且AE=AF.求证:(1)B
5、,D,H,E四点共圆;(2)EC平分DEF.证明(1)在ABC中,ABC=60,BAC+BCA=120.AD,CE是ABC的两条角平分线,HAC+HCA=60.AHC=180-HAC-HCA=120.EHD=AHC=120.EBD+EHD=180.B,D,H,E四点共圆.(2)如图所示,连接BH,则BH平分ABC,得HBD=30.由(1)知B,D,H,E四点共圆,CED=HBD=30,AHE=EBD=60.又AE=AF,AD平分BAC,EFAD.CEF=30.CEF=CED.EC平分DEF.9.如图所示,AD是ABC的角平分线,经过点A,D的O和BC相切于点D,且AB,AC与O相交于点E,F,
6、连接DF.求证:(1)EFBC;(2)DF2=AFBE.证明(1)O切BC于点D,CAD=CDF.AD是ABC的角平分线,BAD=CAD.又BAD=EFD,EFD=CDF.EFBC.(2)如图所示,连接DE.O切BC于点D,BAD=BDE.又BAD=FAD,BDE=FAD.四边形AEDF是O的内接四边形,BED=DFA.BEDDFA.DEAF=BEDF. BAD=CAD,BAD=EFD,CAD=DEF,EFD=DEF,DE=DF.DF2=AFBE.10. (拔高题)如图,在圆内接四边形ABCD中,AB=8,BD=7,AD=5. (1)求BCD的大小;(2)求BCD面积的最大值.解(1)在ABD
7、中,由余弦定理得cosBAD=AB2+AD2-BD22ABAD=82+52-72285=12,BAD=60.四边形ABCD内接于圆,BAD+BCD=180,BCD=120.(2)(方法一)在BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+DC2-2BCDCcosBCD,即72=BC2+DC2-2BCDCcos 120=BC2+DC2+BCDC.BC2+DC22BCDC,3BCDC49,即BCDC493,当且仅当BC=DC=733时取等号.SBCD=12BCDCsinBCD=12BCDCsin 120=34BCDC49312.BCD面积的最大值为49312.(方法二)由图易知,当C为BD的中点时,BD上的高最大,此时BCD是等腰三角形,由题意得CBD=CDB=30.如图所示,作BD上的高CE.在RtBCE中,由CBD=30,BE=72,得CE=736,则SBCD=12BDCE=BECE=72736=49312.综上可知,BCD面积的最大值为49312.
