1、第3节万有引力定律的应用1.根据万有引力理论预言了哈雷彗星再次出现的时间，推算出未知天体的轨道。2利用地球表面物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg，可以计算出地球的质量。3利用万有引力提供向心力，可以计算中心天体的质量。利用MR3，可以计算中心天体的平均密度。一、预言彗星回归1哈雷根据万有引力理论，对1682年出现的哈雷彗星的轨道运动进行了计算，指出了不同年份出现的情况，并预言了再次出现的时间。21743年，克雷洛计算了遥远的木星和土星对哈雷彗星运动规律的影响，指出了运动经过近日点的时间。3总之，由万有引力理论可以预知哈雷彗星每次临近地球的时间，并且经过验证都是正确的。二、预言未知星体1
2、英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶，根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出天王星轨道外面“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置发现了这颗行星海王星。21930年，汤姆博夫根据海王星自身运动不规则性的记载发现了冥王星。三、计算天体质量1测量地球的质量若不考虑地球的自转，地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力。即有mgG，所以地球质量为M。2计算太阳的质量(1)基本思路：行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是它们间的万有引力提供的。测量出环绕周期T和环绕半径r。(2)公式：Gmr，由此可得太阳质量mS。1自主思考判一判(
3、1)利用万有引力理论，可以预言哈雷彗星再次出现的时间。()(2)天王星、海王星、冥王星都是先理论预言其存在，后观测发现的行星。()(3)天王星是人们经过长期的太空观测而发现的。()(4)牛顿发现了万有引力定律，同时测出了地球的质量。()(5)只要测量出行星的公转周期及它和太阳间距离，就能计算出太阳的质量。()2合作探究议一议(1)如果知道自己的重力，你能求出地球的质量吗？如果能，还需要知道哪些物理量？提示：能。若用G表示重力，设自身质量为m，则重力加速度g，故M，所以还需知道地球半径R、引力常量G就可算出地球质量M。(2)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？能否求出
4、月球的质量呢？图331提示：能求出地球的质量。利用Gm2r求出的质量M为中心天体的质量。做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的周期T、公转半径r，无法计算月球的质量。天体质量和密度的计算1天体质量的计算(1)“自力更生法”：若已知天体(如地球)的半径R和表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mgG，解得天体质量为M，因g、R是天体自身的参量，故称“自力更生法”。(2)“借助外援法”：借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星，计算中心天体的质量，常见的情况：GmMGm2rMGm2rM2天体密度的计算若天体的半径为R，则天体的密度。将M代入上式得：。特别地，当卫
5、星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则。典例我国探月的“嫦娥”工程已启动，在不久的将来，我国宇航员就会登上月球。假设探月宇航员站在月球表面一斜坡上的M点，并沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点N，斜面的倾角为，如图332所示。将月球视为密度均匀、半径为R的球体，引力常量为G，则月球的密度为()图332A.B.C. D.思路点拨利用平抛运动的规律可确定月球表面的重力加速度g，然后利用“自力更生法”求出月球的质量，从而得到月球的密度。解析根据平抛运动规律有MNsin ，MNcos v0t，两式相比得月球表面的重力加速度g，月球对物体的万有引力等于物体的
6、重力，有mg，月球的密度，解得，C正确。答案C(1)计算天体质量和密度的公式，既可以计算地球质量，也可以计算太阳等其他星体的质量，需明确计算的是中心天体的质量。(2)要注意理解并区分公式中的R、r，R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，只有在近“地”轨道运行时才有rR。1.“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道。观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为(弧度)，如图333所示。已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为()图333A. B.C. D.解析：选A根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径r，根据转过的角度和时间，可
7、得，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，可得Gm2r，由以上三式可得M，A正确。2假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星。若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G。(1)则该天体的密度是多少？(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？解析：(1)由万有引力提供卫星的向心力有Gm2R，根据数学知识可知天体的体积为VR3故该天体的密度为。(2)卫星距天体表面距离为h时，忽略自转有Gm(Rh)，M，。答案：(1)(2)天体运动的分析与计算1基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周
8、运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。2常用关系(1)Gmamm2rmr。(2)忽略自转时，mgG(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR2GM，该公式通常被称为“黄金代换式”。3四个重要结论设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。(1)由Gm得v ，r越大，v越小。(2)由Gm2r得，r越大，越小。(3)由Gm2r得T2，r越大，T越大。(4)由Gma向得a向，r越大，a向越小。典例据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancri e”。该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星
9、的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的()A轨道半径之比约为 B轨道半径之比约为 C向心加速度之比约为 D向心加速度之比约为 思路点拨(1)“超级地球”绕母星的运动规则与地球绕太阳的运动规则相同。(2)绕行天体的向心加速度由中心天体对它的万有引力产生。解析由公式Gm2r，可得通式r，设“55 Cancri e”的轨道半径为r1，地球轨道半径为r2，则，从而判断A错，B对；再由Gma得通式aG，则 ，所以C、D皆错。答案B(1)分析该类问题的关键是抓住“万有引力提供向心力”这一主线。(2)定量计算时，
10、除抓住以上主线外，有时要借助于“黄金代换式”才能顺利解决问题。1.研究火星是人类探索向火星移民的一个重要步骤。设火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道在地球轨道外侧，如图334所示，与地球相比较，则下列说法中正确的是()图334A火星运行速度较大B火星运行角速度较大C火星运行周期较大D火星运行的向心加速度较大解析：选C根据万有引力提供向心力Gmm2rmrma，得v，T2 ，a，由此可知，轨道半径越大，周期越大，但速度、角速度、加速度越小，因火星的轨道半径比地球的轨道半径大，故火星的周期大，但火星的速度、角速度、加速度都较小，故C正确，A、B、D错误。2已知地球半径R6.4106 m，地面附
11、近重力加速度g9.8 m/s2，计算在距离地面高为h2.0106 m的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T。解析：根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即Gm。知v。由地球表面附近的物体受到的万有引力近似等于重力，即Gmg，得GMgR2。由两式可得v 6.4106 m/s6.9103 m/s。运动周期T s7.6103 s。答案：6.9103 m/s7.6103 s宇宙双星问题1宇宙双星：相距较近仅在彼此的引力作用下围绕它们的连线上的某一固定点(圆心)做匀速圆周运动的两颗恒星。2双星特点(1)两颗恒星的向心力大小相等，都是由相互作用的万有引力提供。(2)两颗恒星的角速度、周期相同
12、。典例宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起。设二者的质量分别为m1和m2，二者相距L。求：(1)双星的轨道半径之比；(2)双星的线速度之比；(3)双星的运动周期。思路点拨处理双星问题的依据仍是万有引力充当向心力，但需充分利用双星模型的特点，并将其作为附加条件才能分析和求解相关问题。解析如图所示，两者轨迹圆的圆心为O，半径分别为R1和R2。由万有引力提供向心力，有Gm1R1Gm2R2(1)由两式相除，得。(2)因为v，所以。(3)将式消去“m1”，式消去“m2”后相加得(R1R2)又由几何关系知R1R2L所以由两式
13、可得T2 。答案(1)(2)(3)2 双星模型的两个重要结论(1)双星模型中，星体运动的轨道半径和质量成反比，即r1r2m2m1，双星系统的转动中心离质量较大的星体近。(2)双星系统的转动周期与双星的距离L、双星的总质量(m1m2)有关，即T2 。1.现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点，众多的恒星组成了不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，事实上，冥王星也是和另一星体构成双星，如图335所示，这两颗行星m1、m2各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起，现测出双星间的距离始终为L，且它们做匀速圆周运动的半径r1与r2之
14、比为32，则()图335A它们的角速度大小之比为23B它们的线速度大小之比为32C它们的质量之比为32D它们的周期之比为23解析：选B双星的角速度和周期都相同，故A、D均错；由Gm12r1，Gm22r2，解得m1m2r2r123，C错误。由vr知，v1v2r1r232，B正确。2两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的质量之和。解析：设两星质量分别为M1、M2，都绕连线上O点做周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O点的距离分别为l1、l2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得： 对M1：GM1
15、2l1，所以M2；对M2：GM22l2，所以M1；而Rl1l2，所以，两星的质量之和：MM1M2。答案：1下列说法正确的是()A海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的B天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的C海王星是人们经过长期的太空观测而发现的D天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星解析：选D由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计
16、算出“新”星的轨道，从而发现了海王星。由此可知，A、B、C错误，D正确。2为了研究太阳演化的进程需知太阳的质量，已知地球的半径为R，地球的质量为m，日地中心的距离为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为()A.B.C. D.解析：选A地球绕太阳运动有Gmr，对地球表面的物体有mgG，联立解得M日，A正确。3地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为()A. B.C. D.解析：选A忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mgG，又地球质量MVR3。代入上式化简可得，A正确。4.如图1所示，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀
17、速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则()图1A.B.C.2 D.2解析：选A对人造卫星，根据万有引力提供向心力m，可得v 。 所以对于a、b两颗人造卫星有，故选项A正确。5(多选)科学家在研究地月组成的系统时，从地球向月球发射激光，测得激光往返时间为t。若还已知万有引力常量G，月球绕地球旋转(可看成匀速圆周运动)的周期T，光速c(地球到月球的距离远大于它们的半径)。则由以上物理量可以求出()图2A月球到地球的距离B地球的质量C月球受地球的引力 D月球的质量解析：选AB根据激光往返时间为t和激光的速度可求出月球到地球的距离，A正确；又因知道月球绕地球旋
18、转的周期T，根据Gm2r可求出地球的质量M，B正确；根据题中数据只能计算中心天体的质量，D不对；因不知月球的质量，无法计算月球受地球的引力，C也不对。6火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期为T1，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为T2，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T1与T2之比为()A. B. C. D.解析：选D火星探测器绕火星做圆周运动过程中，火星对探测器的万有引力提供向心力，即GmR12T1 ，同理可知飞船绕地球的周期T2 ，所以 ，D项正确。7(多选)据观测，某
19、行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是行星的连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度的大小和该层至行星中心的距离R，以下判断中正确的是()A若v与R成正比，则环是连续物B若v与R成反比，则环是连续物C若v2与R成反比，则环是卫星群D若v2与R成正比，则环是卫星群解析：选AC若环是行星的连续物，则其角速度与行星自转的角速度相同，故v与R成正比，A对，B错。若环是行星的卫星群，则由Gm可得v2G，即v2与R成反比，C对，D错。8假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为()A.B.C. D.解析：
20、选B物体在地球的两极时，mg0G，物体在赤道上时，mgm2RG，以上两式联立解得地球的密度。故选项B正确，选项A、C、D错误。9(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是()A卫星的速度和角速度B卫星的质量和轨道半径C卫星的质量和角速度D卫星的运行周期和轨道半径解析：选AD根据线速度和角速度可以求出半径r，根据万有引力提供向心力，则有m，整理可得M，故选项A正确；由于卫星的质量m可约掉，故选项B、C错误；若知道卫星的运行周期和轨道半径，则m2r，整理得M，故选项D正确。10
21、双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()A.T B.TC.T D.T解析：选B设m1的轨道半径为R1，m2的轨道半径为R2，两星之间的距离为L。由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同。由向心力公式可得：对m1：Gm1R1对m2：Gm2R2又因为R1R2L，m1m2M由式可得：T2 所以当
22、两星总质量变为kM，两星之间的距离变为原来的n倍，圆周运动的周期为T2T，故A、C、D错误，B正确。11经过近7年时间，在太空中穿行35亿千米后，美航天局和欧航天局合作研究出的“卡西尼”号土星探测器抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族，这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测。若“卡西尼”号土星探测器进入环绕土星上空的圆轨道飞行，已知土星半径为R，探测器离土星表面高度为h，环绕n周的飞行时间为t。求土星的质量M和平均密度(球体体积公式V)。解析：土星对探测器的引力提供探测器运行的向心力：Gm(Rh)，探测器运行的周期：T，联立以上二式解得土星的质量为M，由MV和V联立解得土星的
23、平均密度为。答案：12假想科学家在宇宙中观测到一个星球以角速度自转，如果阻止它离心“瓦解”的力是万有引力，这个星球的密度应该有一个最小值，写出这个最小值的表达式。蟹状星云中心天体的自转周期为0.33 s，则其是否可能是一种白矮星？(白矮星的密度是1091011 kg/m3)解析：设该星球的质量为M，半径为R，取该星球表面赤道处的一小物体作为研究对象，设其质量为m。万有引力提供向心力，为确保小物体m不飘离该星球，则有Gm2R即M 所以星球的最小密度min蟹状星云中心天体的自转周期T0.33 s角速度将代入得蟹状星云中心天体的最小密度min1.31012 kg/m3由于以上密度值不在白矮星的密度范围内，所以不是白矮星。答案：min否
