1、考点规范练40空间几何体的表面积与体积基础巩固1.右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是()A.6+42B.4+42C.6+23D.4+232.祖暅是我国南北朝时期的数学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是()A.158B.162C.182D.3243.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为()A.22B.1C.2
2、D.34.如图,某几何体的三视图均为五个小正方形构成,则该几何体与其外接球的表面积之比为()A.153B.163C.3011D.32115.已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A.323B.4C.2D.436.陀螺是中国民间较早的体育活动工具之一,但陀螺这个名词,直到明朝刘侗、于奕正合撰的帝京景物略一书中才正式出现.下图网格纸中小正方形的边长均为1,粗线画出的是一个陀螺模型的三视图,则该陀螺模型的体积为()A.403B.523C.443D.207.点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=6,ABC=90.若四面体ABCD体积的最大值为3,则
3、这个球的表面积为()A.2B.4C.8D.168.(2021全国)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30,则该圆锥的侧面积为.9.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为,表面积为.10.(2021云南民族中学高三月考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面半径分别为4和5,则该圆台的体积为.11.学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.
4、3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.12.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为3、宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的表面积S.能力提升13.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为()(单位:cm3)A.16+85B.32+45C.16+853D.32+45314.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.123B.183C.243D.5
5、4315.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.16.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为cm3,若线段AB全部在该几何体内部(含表面),则AB长度的最大值为cm.17.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.高考预
6、测18.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=3,ASC=BSC=30,则棱锥S-ABC的体积为()A.33B.23C.3D.1答案：1.C解析由三视图可知,该几何体为三棱锥,是棱长为2的正方体一角,其表面积为31222+122222sin60=6+23.2.B解析由三视图得该棱柱的高为6,底面五边形可以看作是由两个直角梯形组合而成,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为2+623+4+6236=162.3.C解析由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为ABC所在圆面的直径,所以BAC=90,ABC的外接圆圆心N是BC
7、的中点,同理A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x,RtOMC1中,OM=x2,MC1=x2,OC1=R=1(R为球的半径),所以x22+x22=1,即x=2,则AB=AC=1.所以侧面ABB1A1的面积S=21=2.4.C解析由三视图可知,该几何体的直观图如图所示.设小正方形的边长为1,可知该几何体的表面积为S1=1156=30,其外接球的半径R满足2R=1+1+9=11,所以该几何体外接球的表面积为S2=41122=11.因此,该几何体与其外接球的表面积之比为3011.故选C.5.D解析因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径r=1212+
8、12+(2)2=1,所以V球=4313=43.故选D.6.B解析由三视图知该几何体是上部为圆锥、中部为圆柱、下部为圆锥的简单组合体,其中,上部圆锥的底面半径为2、高为2,中部圆柱的底面半径为2、高为1,下部圆锥的底面半径为4、高为2,所以该陀螺模型的体积为13222+221+13422=523.故选B.7.D解析由题意,知SABC=3,设ABC所在球的小圆的圆心为Q,则Q为AC的中点,当DQ与面ABC垂直时,四面体ABCD的最大体积为13SABCDQ=3,DQ=3,如图,设球心为O,半径为R,则在RtAQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=(3)2+(3-R)2,R=2,则这个球的表面积为S
9、=422=16.故选D.8.39解析设圆锥的高为h,母线长为l,则1362h=30,解得h=52,则l=62+h2=132,故圆锥的侧面积为6132=39.9.412+26解析由三视图,可得棱长为2的正方体被平面AJGI截成两个几何体,且J,I分别为BF,DH的中点,如图,两个几何体的体积各占正方体的一半,则该几何体的体积是1223=4.四边形AJGI为菱形,所以该几何体的表面积S=322+12IJAG=12+122223=12+26.10.61解析圆台的下底面半径为5,故下底面在外接球的大圆上.如图所示,设球的球心为O,圆台上底面的圆心为O,则圆台的高OO=OQ2-OQ2=52-42=3,据
10、此可得圆台的体积V=133(52+54+42)=61.11.118.8解析由题意得,四棱锥O-EFGH的底面积为46-41223=12(cm2),点O到平面BB1C1C的距离为3cm,则此四棱锥的体积为V1=13123=12(cm3).又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=466=144(cm3),则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其质量为0.9132=118.8(g).12.解(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为1的正方形,高为3,所以V=113=3.(2)由三视图可知,在该平行六面体中,A1D平面ABCD,CD平面B
11、CC1B1,所以AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形.S=2(11+13+12)=6+23.13.C解析根据几何体的三视图可知该几何体是一简单组合体,由一个底面半径为2、高为4的圆柱体和一个底面边长为22、高为5的正四棱锥体组成,其直观图如图所示.所以该几何体的体积V=224+1322225=16+853.故选C.14.B解析点O为球心,O为ABC的中心.由ABC为等边三角形且面积为93,设ABC边长为a,则12a32a=93.a=6,则ABC的外接圆半径r=3223a=234.设球的半径为R,如图.OO1=R2-r2=42-(23)2=2.当D在O的正上方时,VD-ABC=13
12、SABC(R+|OO1|)=13936=183,最大.故选B.15.4解析由ABCD为正方形,且边长为2,可得OC=1.设M为VC的中点,则O1M=12OC=12,O1O=12VO,VO=VC2-OC2=2,O1O=1.V圆柱=O1M2O1O=1221=4.16.9+3233解析由三视图还原该几何体如图,该几何体为简单组合体,下面部分为长方体,其底面是边长为3的正方形,高为1;上面部分为一个四分之一圆锥,该四分之一圆锥的底面半径为3,高为2.则该几何体的体积V=331+1413322=9+32(cm3),由已知可得四分之一圆锥的母线长为22+32=13.连接图中PM,可得PM=32+32+32
13、=33,设PM交长方体上底面于点N,由相似三角形对应边成比例可得PN=23=1213,则当点A,B分别与点P,M重合时,满足线段AB全部在该几何体内部,且此时AB长度取得最大值为33cm.17.解(1)交线围成的正方形EHGF如图.(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为两棱柱底面积之比,即9779也正确.18.C解析如图,过A作AD垂直SC于D,连接BD.因为SC是球的直径,所以SAC=SBC=90.又ASC=BSC=30,又SC为公共边,所以SACSBC.因为ADSC,易证BDSC.又ADBD=D,由此得SC平面ABD.所以VS-ABC=VS-ABD+VC-ABD=13SABDSC.因为在RtSAC中,ASC=30,SC=4,所以AC=2,SA=23.由于AD=SACASC=3.同理在RtBSC中也有BD=SBCBSC=3.又AB=3,所以ABD为正三角形.所以VS-ABC=13SABDSC=1312(3)2sin604=3,故选C.
