1、椭圆的基本性质强化训练（学生版）1、(2022淮北质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点若PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A.1B.C. D.12、(2022宿州质检)已知椭圆C的方程为1(ab0)，焦距为2c，直线l：yx与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|2c，则椭圆C的离心率为()A. B.C. D.3、(多选)(2022海南模拟)设椭圆1的右焦点为F，直线ym(0m)与椭圆交于A，B两点，则()A.|AF|BF|为定值B.ABF的周长的取值范围是6，12C.当m时，ABF为直角三角形D.当m1时，ABF的面积为4、(20
2、21高考全国卷乙)设B是椭圆C：1(ab0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|2b，则C的离心率的取值范围是()A. B.C. D.5、(2021重庆诊断)已知椭圆C：16x24y21，则下列结论正确的是()A.长轴长为 B.焦距为C.短轴长为 D.离心率为6、(2021新高考卷)已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|MF2|的最大值为()A.13 B.12 C.9 D.67、(2022广东六校联考)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(1，1)，则椭圆E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1
3、8、(2022山东德州模拟)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，则下列结论不正确的是()A卫星向径的取值范围是ac，acB卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小9、(2021全国乙卷)设B
4、是椭圆C：y21的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为()ABCD210、(2018课标全国)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为(D)A1B2CD111、(2017全国)椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，点P在C上，|F2P|2，F1F2P，则C的长轴长为(D)A2B2C2D2212、(2021河北省衡水中学调研)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(B)ABCD13、(2021全国高考)设B是椭圆C：1(ab0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|2b，则
5、C的离心率的取值范围是(C)A B C D 14、(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为(A)ABCD15、(2021云南昆明模拟)ABC为等腰三角形，且C90，则以A，C为焦点且过点B的椭圆的离心率为(D)ABC1D116、设B是椭圆C：y21的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为()A. B.C. D217、(2022广东华附、省实、广雅、深中联考)设F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若在直线x上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()A. B.
6、C. D.18、(2022晋中新一双语学校模拟)设F1，F2同时为椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：1)的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若2，则()A2 B. C. D219、过椭圆C：1(ab0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()A. B.C. D.20、(2022苏北四市调研)椭圆G：1(ab0)的两个焦点为F1(c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且满足0.则椭圆离心率e的取值范围为()A. B.C.
7、 D.21、(多选)如图，两个椭圆1，1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列四个说法正确的为()AP到F1(4,0)，F2(4,0)，E1(0，4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值B曲线C关于直线yx，yx均对称C曲线C所围区域面积必小于36D曲线C总长度不大于622、在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：1(ab0)的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，为直线ON的倾斜角，若，则椭圆C的离心率的取值范围为()A. B.C. D.23、已知点F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是()A4 B6C8 D1024
8、、设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0，19，) B(0， 9，)C(0，14，) D(0， 4，)25、(2022郴州模拟)已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22，离心率为，则椭圆E的方程为_.26、(2022安徽省蚌埠市二模)通过研究发现：点光源P斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点F1(如图所示)，如图是底面边长为2、高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P位于AD的中点处时，则在平面A1B1C1D1上的投影形成的椭圆的离心率是_27、(
9、2021山西怀仁期末)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点，且F1PF260，则椭圆离心率的取值范围_.28、已知点P(0，1)，椭圆y2m(m1)上两点A，B满足2，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大29、(2022浙江台州月考改编)已知P为椭圆1上一个动点，直线l过圆(x1)2y21的圆心与圆相交于A，B两点，则的最大值为_，最小值为_30、已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在一点P，使，该椭圆的离心率的取值范围为_31、(2019全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等
10、边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围32、(2022青岛调研)已知椭圆E：1(ab0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆(x1)2(y1)25的一条直径，求椭圆E的标准方程.椭圆的基本性质强化训练（解析版）1、(2022淮北质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点若PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A.1B.C. D.1解析：不妨设椭圆E的方程为1(ab0)，如
11、图所示，因为PF1F2为直角三角形，所以PF1F1F2，又|PF1|F1F2|2c，所以|PF2|2c，所以|PF1|PF2|2c2c2a，所以椭圆E的离心率e1.故选A.2、(2022宿州质检)已知椭圆C的方程为1(ab0)，焦距为2c，直线l：yx与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|2c，则椭圆C的离心率为()A. B.C. D.解析：选A.设直线与椭圆在第一象限的交点为A(x，y)，则直线yx.由|AB|2c，可知|OA|c，即c，解得x，yc，即A(c，c)，把点A的坐标代入椭圆方程，得8e418e290，即(4e23)(2e23)0，所以e.3、(多选)(2022海南模拟)设椭圆1的
12、右焦点为F，直线ym(0m)与椭圆交于A，B两点，则()A.|AF|BF|为定值B.ABF的周长的取值范围是6，12C.当m时，ABF为直角三角形D.当m1时，ABF的面积为解析：设椭圆的左焦点为F，则|AF|BF|，|AF|BF|AF|AF|6为定值，A正确；ABF的周长为|AB|AF|BF|，因为|AF|BF|为定值6，|AB|的取值范围是(0，6)，ABF的周长的取值范围是(6，12)，B错误；将y与椭圆方程联立，可解得A，B，又F(，0)，0，AFBF，ABF为直角三角形，C正确；将y1与椭圆方程联立，解得A(，1)，B(，1)，SABF21，D正确.4、(2021高考全国卷乙)设B是
13、椭圆C：1(ab0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|2b，则C的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C.依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|b，1，可得xa2y，则|PB|2x(y0b)2xy2by0b2y2by0a2b24b2.因为当y0b时，|PB|24b2，所以b，得2c2a2，所以离心率e，故选C.5、(2021重庆诊断)已知椭圆C：16x24y21，则下列结论正确的是()A.长轴长为 B.焦距为C.短轴长为 D.离心率为解析：把椭圆方程16x24y21化为标准方程可得1，所以a，b，c，则长轴长2a1，焦距2c，短轴长2b，离心率e，
14、故选D.6、(2021新高考卷)已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|MF2|的最大值为()A.13 B.12 C.9 D.6解析：由椭圆C：1，得|MF1|MF2|236，则|MF1|MF2|329，当且仅当|MF1|MF2|3时等号成立.7、(2022广东六校联考)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(1，1)，则椭圆E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：由题意可知，椭圆E的半焦距c3，所以a2b29.因为直线AB经过点(1，1)，F(3，0)，所以kAB.设点A，B的坐标分别为(x1，y
15、1)，(x2，y2)，则两式相减，得0.因为线段AB的中点坐标为(1，1)，所以x1x22，y1y22，且kAB，所以，即a22b2.由，得b29，a218，所以椭圆E的方程为1.8、(2022山东德州模拟)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，则下列结论不正确的是()A卫星向径的取值范围是ac，a
16、cB卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小解析：选C.根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是ac，ac，A正确；当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的向径长度更大，由面积守恒规律，时间更长，B正确；1，当比值越大，e越小，椭圆轨道越圆，C错误；根据面积守恒规律可知，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确9、(2021全国乙卷)设B是椭圆C：y21的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为()ABCD2解析：设点P(x，y)，则根据点P在椭圆y21上可得x255
17、y2易知点B(0,1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2x2(y1)255y2(y1)24y22y62当2y0，即y(满足|y|1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max故选A10、(2018课标全国)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为(D)A1B2CD1解析：设|PF2|x，则|PF1|x，|F1F2|2x，故2a|PF1|PF2|(1)x,2c|F1F2|2x，于是离心率e1.11、(2017全国)椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，点P在C上，|F2P|2，F1F2P，则C的长轴长为(D)A2B2C2D2
18、2解析：椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，则c1，|PF2|2，|PF1|2a|PF2|2a2，由余弦定理可得|PF1|2|F1F2|2|PF2|22|F1F2|PF2|cos ，即(2a2)244222，解得a1，a1(舍去)，2a22，故选D12、(2021河北省衡水中学调研)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(B)ABCD解析：不妨设直线l：1，即bxcybc0椭圆中心到l的距离e，故选B13、(2021全国高考)设B是椭圆C：1(ab0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|2b，则C的离心率的取值范围是(C)A B
19、 C D 解析：设P，由B，因为1，a2b2c2，所以2x2a222a2b2，因为by0b，当b，即b2c2时，4b2，即max2b，符合题意，由b2c2可得a22c2，即0b，即b2b0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为(A)ABCD解析：由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e.故选A15、(2021云南昆明模拟)ABC为等腰三角形，且C90，则以A，C为焦点且过点B的椭圆的离心率为(D)ABC1D1解析：由题意ABC为等腰三角形，且C90，
20、可知：ABC是等腰直角三角形，且：BC2c，AC2c，AB2c，由椭圆的定义可知：2c2c2a，则椭圆的离心率：e1.故选D16、设B是椭圆C：y21的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为()A. B.C. D2解析：选A.设点P(x，y)，则根据点P在椭圆y21上可得x255y2.易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2x2(y1)255y2(y1)24y22y6(2y)2.当2y0，即y(满足|y|1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max.17、(2022广东华附、省实、广雅、深中联考)设F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若在直线x上存在点P，使线段
21、PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：设P，F1(c，0)，F2(c，0)，由线段PF1的中垂线过点F2得|PF2|F1F2|，即2c，得m24c22a23c20，即3c42a2c2a40，得3e42e210，解得e2，又0e1，故e1.18、(2022晋中新一双语学校模拟)设F1，F2同时为椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：1)的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若2，则()A2 B. C. D2解析：选D. 如图，设m，n，焦距为2c，由椭圆定义可得mn2a，由双曲线
22、定义可得mn2a1，解得maa1，naa1.当2时，则F1MF290，所以m2n24c2，即a2a2c2，由离心率的公式可得2.19、过椭圆C：1(ab0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：由题设知，直线l：1，即bxcybc0，以AB为直径的圆的圆心为(c，0)，根据题意，将xc代入椭圆C的方程，得y，即圆的半径r.又圆与直线l有公共点，所以，化简得2cb，平方整理得a25c2，所以e.又0e1，所以0e.20、(2022苏北四市调研)椭圆G：1(ab0)的两个焦点为F1
23、(c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且满足0.则椭圆离心率e的取值范围为()A. B.C. D.解析：法一设点M的坐标为(x0，y0)，0，F1(c，0)，F2(c，0)，(x0c)(x0c)y0，即xyc2.又知点M在椭圆G上，1，由联立结合a2b2c2解得x，由椭圆的性质可得0xa2，即即所以c2b2，又知b2a2c2，c2a2c2，即2c2a2，解得e2，又知0e1，e1.法二椭圆G上存在点M使0，MF1MF2，即MF1F2是以M为直角顶点的直角三角形，|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，(|MF1|MF2|)22(|MF1|2|MF2|2)2|F1F2|28c2，|MF1
24、|MF2|2c，e，当且仅当|MF1|MF2|c时，等号成立，又知0eb0)的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，为直线ON的倾斜角，若，则椭圆C的离心率的取值范围为()A. B.C. D.解析：因为OPMN是平行四边形，所以MNOP且MNOP，故yN，代入椭圆方程可得xN，所以kONtan .又，所以1，所以ab，a23(a2c2)，解得0，故选A.23、已知点F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是()A4 B6C8 D10解析：设M(x0，y0)，F1(3，0)，F2(3，0)则(3x0，y0)，(3x0，y0)，所以(2x0，2y
25、0)，|，因为点M在椭圆上，所以0y16，所以当y16时，|取最小值为8.故选C.24、设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0，19，) B(0， 9，)C(0，14，) D(0， 4，)解析：当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得0m1.当m3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得m9.故m的取值范围为(0，19，)25、(2022郴州模拟)已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22，离心率为，则椭圆E的方程为_.解析：椭圆E的
26、中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22，离心率为，可得a2，c2，从而b24，椭圆E的方程为1.26、(2022安徽省蚌埠市二模)通过研究发现：点光源P斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点F1(如图所示)，如图是底面边长为2、高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P位于AD的中点处时，则在平面A1B1C1D1上的投影形成的椭圆的离心率是_解析：从P作PMA1D1于M点，在平面POM内作球截面圆的切线PN，交平面A1B1C1D1于N点，则在平面POM内形成的图形如图所示由题意得PM3，OQMF1MQ1，故PQ2，
27、tanQPOtanMPN，则MNPMtanMPN34，根据题目条件知，F1是椭圆焦点，MN是长轴，即2a4，MF1ac1，则a2，c1，离心率e.27、(2021山西怀仁期末)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点，且F1PF260，则椭圆离心率的取值范围_.解析：由题意可知当P为椭圆短轴端点时OPF1OPF230，即，即cb，3c2a2c2，即e，又0e1，eb0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解：(1)连接PF1(图略)由POF2为等边三角形
28、可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率为e1(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1由及a2b2c2得y2又由知y2，故b4由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4当b4，a4时，存在满足条件的点P所以b4，a的取值范围为4，)32、(2022青岛调研)已知椭圆E：1(ab0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆(x1)2(y1)25的一条直径，求椭圆E的标准方程.解(1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为，代入椭圆方程可得1，即a23b2，a23b23(a2c2)，2a23c2，e.(2)由(1)得椭圆E的方程为1，易知直线l的斜率存在，设其方程为yk(x1)1，A(x1，y1)，B(x2，y2).(3k21)x26k(k1)x3(k1)23b20.x1x2，x1x2.又x1x22，k，x1x2，则|AB|2，b2，则a210，椭圆E的标准方程为1.
