1、考纲要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式考情分析1.本部分内容是高考中的重点内容，涉及空间几何体的表面积与体积的计算等内容。2命题形式主要以选择题、填空题为主，主要考查空间几何体表面积与体积的计算，同时着重考查空间几何体的结构特征、三视图等内容，解题要求有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想。小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和。()(2)锥体的体积等于底面积与高之积。()(3)球的体积之比等于半径比的平方。()(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差。()(5)长方体既有外接球又有内切球。()解
2、析：(1)正确。多面体的表面积等于侧面积与底面积之和。(2)错误。锥体的体积等于底面积与高之积的13。(3)错误。球的体积之比等于半径比的立方。(4)正确。简单组合体是由简单几何体拼接或截去或挖去一部分组成。(5)错误。长方体只有外接球，没有内切球。2半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为()A.324R3B.38 R3C.524R3D.58 R3解析：圆锥的母线长为 R，底面半径为R2，高为 32 R，则 V13Sh 324R3。答案：A3圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 84，则圆台较小底面的半径为()A7 B6C5 D3解析：设圆台较小底面
3、半径为 r，则另一底面半径为 3r。由 S(r3r)384，解得 r7。答案：A4用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为()A.83B.8 23C8 2D.323解析：S 圆r2r1，而截面圆圆心与球心的距离 d1，球的半径为 R r2d2 2，V43R38 23，故选 B。答案：B5三棱锥 P-ABC 中，PA底面 ABC，PA3，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，则三棱锥 P-ABC 的体积等于_。解析：依题意有，三棱锥 P-ABC 的体积 V13SABC|PA|13 34223 3。答案：3知识重温1柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S 侧_V_圆锥
4、S 侧_V_13r2 l2r2圆台S 侧_V13(S 上S 下 S上S下)h13(r21r22r1r2)h直棱柱S 侧_V_正棱锥S 侧_V_正棱台S 侧_V13(S 上S 下 S上S下)h球S 球面_V_2rhShr2hrl13Sh13r2h(r1r2)lChSh12Ch13Sh12(CC)h4R243R32.长方体的外接球(1)球心：体对角线的交点；(2)半径：r a2b2c22(a，b，c 为长方体的长、宽、高)。3正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球(1)外接球：球心是正方体中心；半径 r 32 a(a 为正方体的棱长)；(2)内切球：球心是正方体中心；半径 ra2(a 为正方体的
5、棱长)；(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径 r 22 a(a 为正方体的棱长)。4正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径 r 64 a(a 为正四面体的棱长)；(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径 r 612a(a 为正四面体的棱长)。二、必明 3个易误点1求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错。2由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误。3易混侧面积与表面积的概念。考点一 空间几何体的侧面积与表面积【典例 1】(1)一个多面体的三视图如图所示，则
6、该多面体的表面积为()A21 3B18 3C21 D18(2)(2016石家庄模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_。A38解析：(1)由三视图可知原几何体是一个正方体截去两个全等的小正三棱锥。正方体的表面积为 S24，两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点，侧面是三个全等的直角边长为 1 的等腰直角三角形，其侧面面积的和为 3，三棱锥的底面是边长为 2的正三角形，其表面积的和为 3，故所求几何体的表面积为 243 321 3。(2)由三视图可知，该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体，如图所示。长方体的长、宽、高分别为 4,3,1，表面积为 43231241238，圆柱的
7、底面圆直径为 2，母线长为 1，侧面积为 2112，圆柱的两个底面面积和为 2122。故该几何体的表面积为 382238。悟技法几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和。(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和。计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形来解决。(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理。(4)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解。通一类1(2016合肥模拟)如图所示，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视
8、图是平行四边形，则该几何体的表面积为()A153 3B9 3C306 3D18 3解析：图中所示的三视图对应的是一个横放的四棱柱，该四棱柱四个侧面都是矩形，上、下两个底面是平行四边形，其表面积为23323223 3306 3。答案：C考点二 空间几何体的体积【典例 2】(1)如图所示，已知三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长均为 1，且 AA1底面 ABC，则三棱锥 B1ABC1 的体积为()A.312B.34C.612D.64(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168B88C1616D816AA解析：(1)三棱锥 B1ABC1 的体积等于三棱锥 AB1BC1 的体积，三
9、棱锥 AB1BC1 的高为 32，底面积为12，故其体积为1312 32 312。(2)由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径 r2，长为 4，长方体长为 4，宽为 2，高为 2，所以几何体的体积为 r2412422816。故选 A。悟技法计算几何体体积的常见类型及解题策略常见类型解题策略球的体积问题直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径锥体、柱体的体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解以三视图为载体的几何体体积问题将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式求解不规则几何体的体积问题常用
10、分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解通一类2一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为 V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()AV1V2V4V3BV1V3V2V4CV2V1V3V4DV2V3V1V4C解析：由三视图可知，四个几何体自上而下分别为圆台，圆柱，四棱柱，四棱台。结合题中所给数据可得：V113(42)73，V22，V3238，V413(1648)283。故 V2V1V3V4。考点三 空间几何体的外接球与内切球【
11、典例 3】(1)已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球 O的球面上，若 AB3，AC4，ABAC，AA112，则球 O 的半径为()A.3 172B2 10C.132D3 10(2)若一个正四面体的表面积为 S1，其内切球的表面积为 S2，则S1S2_。C6 3解析：(1)如图，由球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点 M。又 AM12BC52，OM12AA16，所以球 O 的半径ROA52262132。(2)设正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S14 34 a2 3a2，其内切球半径为正四面体高的14，即 r14 63 a 612a，因此内切球表面积为 S2
12、4r2a26，则S1S2 3a26a2 6 3。悟技法空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截图，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解。(2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R2a2b2c2 求解。通一类3一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为 2 的正方形)，则该几何体外接球的体积为_。解析：依题意可知，新的几何体的外接球也
13、就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；2R2 3(R 为球的半径)，R 3，球的体积 V43R34 3。答案：4 3高考模拟1(2015北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A2 5B4 5C22 5D5C解析：由三视图分析知，该几何体为底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA平面 ABC)，由三视图中的数据可计算得SABC12222，SSAC12 51 52，SSAB12 51 52，SSBC122 5 5，所以 S 表面积22 5。2(2015陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A3B4C24 D34解析：由三视图知
14、该几何体是半个圆柱，其表面积为 S表2122122234，故选 D。答案：D3(2015重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13B.23C.132D.232解析：该几何体是半个圆柱和一个三棱锥的组合体。故其体积为12122131221113。答案：A4(2015课标卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15解析：由三视图可知，该几何体是一个正方体截去了一个三棱锥，即截去了正方体的一个角，设正方体的边长为 1，则正方体的体积为 1，截去的三棱锥的体积为 V1131211116，故剩余
15、部分的体积为V256，所求比值为V1V215。答案：D5(2015山东卷)在梯形 ABCD 中，ABC2，ADBC，BC2AD2AB2。将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.23B.43C.53D2C解析：如图，过点 D 作 BC 的垂线，垂足为 H。则由旋转体的定义可知，该梯形绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥。其中圆柱的底面半径 RAB1，高h1BC2，其体积 V1R2h11222；圆锥的底面半径 rDH1，高 h21，其体积 V213r2h2131213。故所求几何体的体积为 VV1V22353。故选 C。
