1、课时跟踪检测（六） 直线与椭圆的位置关系（习题课）一、题组对点训练对点练一直线与椭圆的位置关系1直线ykx1与椭圆1的位置关系是()A相交 B相切 C相离 D不能确定解析：选A因为直线ykx1过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆1的内部，故直线ykx1与椭圆1相交2直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是_解析：由得(m3)x24mxm0.又直线与椭圆有两个公共点，(4m)24m(m3)16 m24m212m12m212m0，解得m1或m0且m3，m1且m3.答案：(1,3)(3，)对点练二弦长与中点弦问题3椭圆1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点若|AB|8，则
2、|AF1|BF1|的值为()A10 B12 C16 D18解析：选B|AB|AF1|BF1|4a，|AF1|BF1|45812.4已知斜率为2的直线l经过椭圆1的右焦点F1，与椭圆交于A，B两点，则|AB|_. 解析： 因为直线l经过椭圆的右焦点F1(1,0)，且斜率为2，则直线l的方程为y2(x1), 即2xy20.由得3x25x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x20，所以|AB| .答案： 5已知中心在原点，一个焦点为F(0，)的椭圆被直线l：y3x2截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程解：设所求椭圆的方程为1(ab0)弦两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
3、由1及y3x2得(a29b2)x212b2xb2(4a2)0，x1x2，由已知，即1，所以a23b2.又c2a2b250，所以得a275，b225，所以椭圆的方程为1.6已知F1，F2分別是椭圆y21的左、右焦点，过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且AOB(O为坐标原点)为锐角，求直线l的斜率k的取值范围解： 显然直线x0不满足题设条件，故设直线l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立消去y并整理，得x24kx30，所以x1x2，x1x2. 由(4k2)124k230，得k或k.又0AOB00，所以x1x2y1y20.又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x
4、22k(x1x2)44，所以0，即k24，所以2kb0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BPx轴，9.(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围解：直线AB的斜率为1，BAP45，即BAP是等腰直角三角形，|.9，|cos 45|2cos 459，|3.(1)P(0,1)，|1，|2，即b2，且B(3,1)B在椭圆上，1，得a212，椭圆C的标准方程为1.(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t3)，t3b，即b3t.显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程
5、得，1，解得a2.a2b20，(3t)20.1，即10，所求t的取值范围是.二、综合过关训练1已知点(m，n)在椭圆8x23y224上，则2m4的取值范围是()A42，42 B4，4 C42，42 D4，4 解析：选A方程可化为1，故椭圆焦点在y轴上，又a2，b，所以m，故422m424.2已知椭圆C：y21的右焦点为F，直线l：x2，点Al，线段AF交椭圆C于点B，若3，则|()A. B2 C. D3解析：选A设点A(2，n)，B(x0，y0)由椭圆C：y21知a22，b21，c21，即c1.右焦点F(1,0)由3得(1，n)3(x01，y0)13(x01)且n3y0.x0，y0n.将x0，
6、y0代入y21，得221.解得n21，|.3设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0,19，) B(0， 9，)C(0,14，) D(0， 4，)解析：选A当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得0m1.当m3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得m9.故m的取值范围为(0,19，)4椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_ 解析：直线y(xc)过点F1，且倾
7、斜角为60，所以MF1F260，从而MF2F130，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，所以该椭圆的离心率e1.答案：15.如图，点A，B分别是椭圆1的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴的上方，PAPF.(1)求点P的坐标；(2)设M是线段AB上一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值解：(1)由题意，得A(6,0)，B(6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x0，y0)，则(x06，y0)， (x04，y0)由题意，得即2x9x0180，解得x0或x06.由于y00，所以x0，得y0，所以点P的坐标为.(2
8、)直线AP的方程为xy60，设点M的坐标为(m,0)，则M到直线AP的距离为，依题意，知|m6|，且6m6，解得m2，即M(2,0)于是椭圆上的点(x，y)到点M的距离d满足d2(x2)2y2x24x420x2215.因为6x6，所以当x时，d取得最小值，且最小值为.6已知椭圆的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线xy20的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线yxm相交于不同的两点M，N，问是否存在实数m使|AM|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由解：(1)依题意可设椭圆方程为y21，则右焦点F(，0)由题设3，解得a23，故所求椭圆的方程为y21.(2)设P为弦MN的中点，由得4x26mx3m230.由于直线与椭圆有两个交点，所以0，即2m0恒成立设E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)，则y1y2，y0，x0my0，k.当m0时，k0；当m0时，k.4|m|8，0，0|k|，k且k0.综合可知直线MA的斜率k的取值范围是.
